Страница 37 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.53 Назовите какие-нибудь общие свойства чисел 2014 и 2818. Придумайте ещё какое-нибудь число, обладающее такими же свойствами.

Проанализируем числа 2014 и 2818 и выделим несколько их общих свойств.

• Четность. Оба числа заканчиваются на четную цифру (4 и 8 соответственно), поэтому оба являются четными, то есть делятся на 2.
• Значность. Оба числа являются четырехзначными.
• Составные числа. Оба числа не являются простыми, так как имеют делители, отличные от 1 и самих себя. Например, они оба делятся на 2.
  Разложение на простые множители:
  $2014 = 2 \cdot 19 \cdot 53$
  $2818 = 2 \cdot 1409$
• Сумма цифр. Сумма цифр каждого из этих чисел является простым числом.
  Для числа 2014: $2 + 0 + 1 + 4 = 7$ (7 — простое число).
  Для числа 2818: $2 + 8 + 1 + 8 = 19$ (19 — простое число).
• Делимость на 4. Оба числа делятся на 2, но не делятся на 4. Признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4.
  Для 2014: число 14 не делится нацело на 4.
  Для 2818: число 18 не делится нацело на 4.

Ответ: Общими свойствами чисел 2014 и 2818 являются: они четные, четырехзначные, составные, сумма цифр каждого из них является простым числом, и оба они делятся на 2, но не делятся на 4.

Подберем число, которое будет обладать всеми перечисленными выше свойствами:

1. Быть четырехзначным.
2. Быть четным (и, следовательно, составным).
3. Делиться на 2, но не делиться на 4.
4. Сумма его цифр должна быть простым числом.

Рассмотрим число 2126. Проверим его на соответствие этим свойствам:

• Оно четырехзначное.
• Оно четное, так как заканчивается на 6. Так как оно делится на 2, оно является составным.
• Проверим делимость на 4. Число, образованное последними двумя цифрами, — это 26. Так как 26 не делится на 4, то и 2126 не делится на 4. Свойство выполняется.
• Найдем сумму его цифр: $2 + 1 + 2 + 6 = 11$. Число 11 является простым.

Таким образом, число 2126 обладает тем же набором свойств. Другие возможные примеры: 2342 (сумма цифр 11), 2522 (сумма цифр 11), 2942 (сумма цифр 17).

Ответ: 2126.

2.54 Расположите в порядке возрастания числа: $90087$, $90807$, $90078$, $90708$.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, то есть от наименьшего к наибольшему, необходимо сравнить их поразрядно, начиная с самых старших разрядов (слева направо).

Даны числа: 90 087, 90 807, 90 078, 90 708.

1. Сначала сравним самые старшие разряды. Все числа начинаются с 90, то есть разряды десятков тысяч и тысяч у них одинаковы. Значит, для сравнения нужно смотреть на следующие разряды.

2. Сравним разряд сотен (третья цифра).
- У чисел 90 087 и 90 078 в разряде сотен стоит 0.
- У числа 90 708 в разряде сотен стоит 7.
- У числа 90 807 в разряде сотен стоит 8.
Поскольку $0 < 7 < 8$, самыми маленькими будут числа 90 087 и 90 078.

3. Теперь сравним между собой числа 90 087 и 90 078. Их разряды сотен одинаковы, поэтому переходим к разряду десятков (четвертая цифра).
- У числа 90 087 в разряде десятков стоит 8.
- У числа 90 078 в разряде десятков стоит 7.
Так как $7 < 8$, то число 90 078 меньше, чем 90 087. Таким образом, самое маленькое число — 90 078, а следующее за ним — 90 087.

4. Сравним оставшиеся числа: 90 708 и 90 807. Мы уже выяснили, что в разряде сотен у них стоят 7 и 8 соответственно. Так как $7 < 8$, то число 90 708 меньше, чем 90 807.

5. Объединяя все результаты, получаем итоговую последовательность чисел в порядке их возрастания: 90 078, 90 087, 90 708, 90 807.

Ответ: 90 078, 90 087, 90 708, 90 807.

2.55 Сравните массы:

а) $130 \text{ кг}$ и $17\ 000 \text{ г}$;

б) $300 \text{ кг}$ и $5 \text{ ц}$;

в) $7 \text{ ц } 93 \text{ кг}$ и $7093 \text{ кг}$;

г) $2 \text{ т}$ и $2300 \text{ кг}$;

д) $35 \text{ т}$ и $350 \text{ ц}$;

е) $6 \text{ т } 20 \text{ кг}$ и $6 \text{ т } 2 \text{ ц}$.

Для сравнения масс необходимо привести их к одной единице измерения.

а) Сравним 130 кг и 17 000 г.
Переведем граммы в килограммы, зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.
$17\ 000 \text{ г} = \frac{17\ 000}{1000} \text{ кг} = 17 \text{ кг}$.
Теперь сравним килограммы: $130 \text{ кг} > 17 \text{ кг}$.
Следовательно, $130 \text{ кг} > 17\ 000 \text{ г}$.
Ответ: $130 \text{ кг} > 17\ 000 \text{ г}$.

б) Сравним 300 кг и 5 ц.
Переведем центнеры в килограммы, зная, что $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
$5 \text{ ц} = 5 \times 100 \text{ кг} = 500 \text{ кг}$.
Теперь сравним килограммы: $300 \text{ кг} < 500 \text{ кг}$.
Следовательно, $300 \text{ кг} < 5 \text{ ц}$.
Ответ: $300 \text{ кг} < 5 \text{ ц}$.

в) Сравним 7 ц 93 кг и 7093 кг.
Переведем первую массу полностью в килограммы, зная, что $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
$7 \text{ ц} \ 93 \text{ кг} = 7 \times 100 \text{ кг} + 93 \text{ кг} = 700 \text{ кг} + 93 \text{ кг} = 793 \text{ кг}$.
Теперь сравним килограммы: $793 \text{ кг} < 7093 \text{ кг}$.
Следовательно, $7 \text{ ц} \ 93 \text{ кг} < 7093 \text{ кг}$.
Ответ: $7 \text{ ц} \ 93 \text{ кг} < 7093 \text{ кг}$.

г) Сравним 2 т и 2300 кг.
Переведем тонны в килограммы, зная, что $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.
$2 \text{ т} = 2 \times 1000 \text{ кг} = 2000 \text{ кг}$.
Теперь сравним килограммы: $2000 \text{ кг} < 2300 \text{ кг}$.
Следовательно, $2 \text{ т} < 2300 \text{ кг}$.
Ответ: $2 \text{ т} < 2300 \text{ кг}$.

д) Сравним 35 т и 350 ц.
Переведем тонны в центнеры, зная, что $1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$.
$35 \text{ т} = 35 \times 10 \text{ ц} = 350 \text{ ц}$.
Теперь сравним центнеры: $350 \text{ ц} = 350 \text{ ц}$.
Следовательно, $35 \text{ т} = 350 \text{ ц}$.
Ответ: $35 \text{ т} = 350 \text{ ц}$.

е) Сравним 6 т 20 кг и 6 т 2 ц.
Переведем обе массы полностью в килограммы, зная, что $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$ и $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
Первая масса: $6 \text{ т} \ 20 \text{ кг} = 6 \times 1000 \text{ кг} + 20 \text{ кг} = 6000 \text{ кг} + 20 \text{ кг} = 6020 \text{ кг}$.
Вторая масса: $6 \text{ т} \ 2 \text{ ц} = 6 \times 1000 \text{ кг} + 2 \times 100 \text{ кг} = 6000 \text{ кг} + 200 \text{ кг} = 6200 \text{ кг}$.
Теперь сравним килограммы: $6020 \text{ кг} < 6200 \text{ кг}$.
Следовательно, $6 \text{ т} \ 20 \text{ кг} < 6 \text{ т} \ 2 \text{ ц}$.
Ответ: $6 \text{ т} \ 20 \text{ кг} < 6 \text{ т} \ 2 \text{ ц}$.

2.56 Спортсмен три дня тренировался по 45 мин в день и ещё три дня – по 20 мин в день. Сколько всего времени (в часах и минутах) он тренировался в эти шесть дней?

Для того чтобы найти общее время тренировок, необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить общее время тренировок за первые три дня. Спортсмен тренировался по 45 минут в день.

$3 \times 45 = 135$ минут

2. Вычислить общее время тренировок за следующие три дня. Спортсмен тренировался по 20 минут в день.

$3 \times 20 = 60$ минут

3. Сложить время тренировок за все шесть дней, чтобы найти общее количество минут.

$135 + 60 = 195$ минут

4. Перевести полученное время в часы и минуты. В одном часе 60 минут.

$195 \text{ мин} = 3 \times 60 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 3 \text{ часа } 15 \text{ минут}$

Ответ: 3 ч 15 мин.

2.57 Хордой называют отрезок, соединяющий две точки окружности.

1) Начертите окружность и проведите какую-нибудь хорду. Обозначьте концы хорды буквами $A$ и $B$.

2) Проведите хорду $CD$, пересекающую хорду $AB$.

3) На этом же рисунке проведите хорду наибольшей длины. Как называют такую хорду?

1) Начертите окружность и проведите какую-нибудь хорду. Обозначьте концы хорды буквами А и В.

Сначала начертим окружность с произвольным центром в точке $O$ и произвольным радиусом. Затем на этой окружности выберем две любые точки и обозначим их буквами $A$ и $B$. Соединив точки $A$ и $B$ отрезком, мы получим хорду $AB$. Это построение показано на рисунке ниже синим цветом.

Ответ: Построение выполнено.

2) Проведите хорду CD, пересекающую хорду AB.

На этой же окружности выберем еще две точки, $C$ и $D$, таким образом, чтобы отрезок, соединяющий их, пересекал уже построенную хорду $AB$. Проведем хорду $CD$. На рисунке ниже она показана зеленым цветом.

Ответ: Построение выполнено.

3) На этом же рисунке проведите хорду наибольшей длины. Как называют такую хорду?

Хорда имеет наибольшую возможную длину, когда она проходит через центр окружности $O$. Такая хорда называется диаметром. Длина диаметра $d$ равна удвоенному радиусу $R$ окружности, то есть $d = 2R$. Любая другая хорда, не проходящая через центр, будет короче диаметра. На нашем рисунке проведем хорду $MN$, проходящую через центр $O$. Она является диаметром и, следовательно, самой длинной хордой. На рисунке она показана красным цветом.

Ответ: Хорда наибольшей длины называется диаметром.