Номер 2.81, страница 45 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 2. Натуральные числа. 2.5. Логика перебора при решении задач. Упражнения - номер 2.81, страница 45.

Условие.

2.81 Саша выбрал в библиотеке пять книг, но одновременно можно взять только две книги. Сколько вариантов выбора двух книг из пяти есть у Саши?

Подсказка. Дайте книгам номера 1, 2, 3, 4 и 5.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Данная задача является классической задачей по комбинаторике. Нам нужно определить, сколькими способами можно выбрать 2 книги из 5, причем порядок выбора не имеет значения. Это означает, что мы ищем число сочетаний из 5 по 2.

Решить задачу можно двумя способами.

Способ 1: Метод перебора вариантов
Следуя подсказке, пронумеруем книги от 1 до 5. Теперь будем последовательно составлять все возможные уникальные пары:
1. Пары, включающие книгу №1: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}. (4 варианта)
2. Пары, включающие книгу №2 (исключая уже учтенную пару {1, 2}): {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}. (3 варианта)
3. Пары, включающие книгу №3 (исключая пары с книгами 1 и 2): {3, 4}, {3, 5}. (2 варианта)
4. Пары, включающие книгу №4 (исключая пары с книгами 1, 2 и 3): {4, 5}. (1 вариант)

Теперь сложим количество всех найденных вариантов: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Способ 2: Использование формулы числа сочетаний
Число сочетаний (количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов без учета порядка) находится по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$
В нашем случае:
$n = 5$ (общее количество книг)
$k = 2$ (количество книг, которое нужно выбрать)

Подставляем наши значения в формулу:
$C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3)}$
Сокращаем $3!$ в числителе и знаменателе:
$C_5^2 = \frac{4 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{20}{2} = 10$.

Таким образом, у Саши есть 10 различных вариантов выбора двух книг из пяти.

Ответ: 10