Страница 57 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.40 Представьте число:

а) 2880 в виде произведения двух чисел, одно из которых равно 45;

б) 10 323 в виде произведения двух чисел, одно из которых равно 111.

Решите задачу и прокомментируйте свои действия (3.41-3.42).

а) Чтобы представить число 2880 в виде произведения двух чисел, где одно из них равно 45, необходимо найти второй множитель. Для этого нужно разделить исходное число 2880 на известный множитель 45.
Выполним деление:
$2880 \div 45 = 64$
Таким образом, второе число равно 64. Представим число 2880 в виде произведения:
$2880 = 45 \cdot 64$
Ответ: $2880 = 45 \cdot 64$.

б) Чтобы представить число 10 323 в виде произведения двух чисел, где одно из них равно 111, необходимо найти второй множитель. Для этого разделим число 10 323 на 111.
Выполним деление:
$10323 \div 111 = 93$
Следовательно, второе число равно 93. Представим число 10 323 в виде произведения:
$10323 = 111 \cdot 93$
Ответ: $10323 = 111 \cdot 93$.

3.41 а) Расфасовали 12 кг 600 г конфет в коробки, по 300 г в каждую. Сколько коробок конфет получилось?

б) Для 40 новогодних подарков купили 10 кг шоколадных конфет. Сколько граммов конфет содержится в каждом подарке?

а)

Для того чтобы найти количество коробок, необходимо общую массу конфет разделить на массу конфет в одной коробке. Сначала приведем все величины к одной единице измерения — граммам.

В одном килограмме 1000 граммов, поэтому общая масса конфет составляет:

$12 \text{ кг } 600 \text{ г} = 12 \times 1000 \text{ г} + 600 \text{ г} = 12000 \text{ г} + 600 \text{ г} = 12600 \text{ г}$.

Теперь разделим общую массу на массу конфет в одной коробке:

$12600 \text{ г} \div 300 \text{ г} = 42$.

Следовательно, получилось 42 коробки конфет.

Ответ: 42 коробки.

б)

Чтобы определить, сколько граммов конфет содержится в каждом подарке, нужно общую массу купленных конфет разделить на количество подарков. Переведем массу конфет в граммы.

В 1 кг — 1000 г, значит:

$10 \text{ кг} = 10 \times 1000 \text{ г} = 10000 \text{ г}$.

Теперь разделим общую массу конфет на количество подарков:

$10000 \text{ г} \div 40 = 250 \text{ г}$.

Таким образом, в каждом подарке содержится 250 граммов конфет.

Ответ: 250 граммов.

3.42 a) Для отделки одного бального платья нужно 1 м 25 см кружев. Сколько метров кружев понадобится для отделки 24 таких же платьев? Хватит ли 7 м кружев для отделки 6 таких платьев?

б) За одну минуту принтер печатает 16 страниц. Сколько страниц можно распечатать на этом принтере за 40 мин? Хватит ли получаса, чтобы распечатать на нём 500 страниц?

а)

Сначала переведем количество кружев, необходимое для одного платья, в одну единицу измерения. Так как в одном метре 100 сантиметров, то 1 м 25 см можно представить в виде десятичной дроби как 1,25 м.

1. Чтобы найти, сколько метров кружев понадобится для 24 платьев, умножим количество кружев на одно платье на количество платьев:
$1,25 \text{ м} \times 24 = 30 \text{ м}$.

2. Чтобы определить, хватит ли 7 м кружев для отделки 6 платьев, сначала найдем, сколько кружев для этого потребуется:
$1,25 \text{ м} \times 6 = 7,5 \text{ м}$.
Теперь сравним необходимое количество (7,5 м) с имеющимся (7 м):
$7 \text{ м} < 7,5 \text{ м}$.
Следовательно, 7 метров кружев не хватит для отделки 6 платьев.

Ответ: для отделки 24 платьев понадобится 30 м кружев; 7 м кружев не хватит для отделки 6 платьев.

б)

1. Чтобы узнать, сколько страниц можно распечатать за 40 минут, умножим скорость печати на время:
$16 \text{ страниц/мин} \times 40 \text{ мин} = 640 \text{ страниц}$.

2. Чтобы определить, хватит ли получаса для печати 500 страниц, сначала выясним, сколько страниц принтер напечатает за это время. Полчаса – это 30 минут.
$16 \text{ страниц/мин} \times 30 \text{ мин} = 480 \text{ страниц}$.
Теперь сравним количество страниц, которое можно распечатать (480), с требуемым количеством (500):
$480 \text{ страниц} < 500 \text{ страниц}$.
Следовательно, получаса не хватит, чтобы распечатать 500 страниц.

Ответ: за 40 минут можно распечатать 640 страниц; получаса не хватит, чтобы распечатать 500 страниц.

3.43 Составьте выражение по условию задачи и решите её:

а) Для открытия спортивного парада всех спортсменов построили в 8 колонн. В каждой колонне 15 рядов по 25 спортсменов. Сколько спортсменов участвовало в открытии парада?

б) В кинотеатре 6 кинозалов. В каждом кинозале 25 рядов по 24 места. Сколько всего зрительских мест в кинотеатре?

а)

Чтобы найти общее количество спортсменов, участвовавших в открытии парада, необходимо умножить количество колонн на количество рядов в каждой колонне и на количество спортсменов в каждом ряду.

Составим числовое выражение по условию задачи:
$8 \times 15 \times 25$

Для удобства вычислений поменяем множители местами, так как от перестановки множителей произведение не меняется:
$8 \times 25 \times 15 = 200 \times 15 = 3000$

Таким образом, в открытии парада участвовало 3000 спортсменов.

Ответ: 3000 спортсменов.

б)

Чтобы найти общее количество зрительских мест в кинотеатре, нужно умножить количество кинозалов на количество рядов в каждом зале и на количество мест в каждом ряду.

Составим числовое выражение:
$6 \times 25 \times 24$

Вычислим значение этого выражения. Умножим сначала 25 на 24:
$25 \times 24 = 25 \times (20 + 4) = 500 + 100 = 600$
Теперь результат умножим на 6:
$6 \times 600 = 3600$

Всего в кинотеатре 3600 зрительских мест.

Ответ: 3600 зрительских мест.

3.44 Выполните прикидку результата, округлив множители до старшего разряда, затем найдите точное значение произведения. На сколько оно отличается от приближённого?

a) $47 \cdot 23$;

б) $518 \cdot 19$;

в) $192 \cdot 485$;

г) $285 \cdot 209$.

а)

Сначала выполним прикидку, округлив множители до старшего разряда (до десятков).

Для числа 47 старший разряд – десятки. Так как цифра в разряде единиц равна 7 (а $7 \ge 5$), округляем в большую сторону: $47 \approx 50$.

Для числа 23 старший разряд – десятки. Так как цифра в разряде единиц равна 3 (а $3 < 5$), округляем в меньшую сторону: $23 \approx 20$.

Приближенное значение произведения: $50 \cdot 20 = 1000$.

Теперь найдем точное значение произведения:

$47 \cdot 23 = 47 \cdot (20 + 3) = 47 \cdot 20 + 47 \cdot 3 = 940 + 141 = 1081$.

Найдем, на сколько точное значение отличается от приближенного:

$1081 - 1000 = 81$.

Ответ: приближенное значение – 1000, точное значение – 1081; точное значение отличается от приближенного на 81.

б)

Выполним прикидку, округлив множители до старшего разряда.

Для числа 518 старший разряд – сотни. Так как цифра в разряде десятков равна 1 (а $1 < 5$), округляем в меньшую сторону: $518 \approx 500$.

Для числа 19 старший разряд – десятки. Так как цифра в разряде единиц равна 9 (а $9 \ge 5$), округляем в большую сторону: $19 \approx 20$.

Приближенное значение произведения: $500 \cdot 20 = 10000$.

Теперь найдем точное значение произведения:

$518 \cdot 19 = 518 \cdot (20 - 1) = 518 \cdot 20 - 518 \cdot 1 = 10360 - 518 = 9842$.

Найдем, на сколько точное значение отличается от приближенного:

$10000 - 9842 = 158$.

Ответ: приближенное значение – 10000, точное значение – 9842; точное значение отличается от приближенного на 158.

в)

Выполним прикидку, округлив множители до старшего разряда (до сотен).

Для числа 192 старший разряд – сотни. Так как цифра в разряде десятков равна 9 (а $9 \ge 5$), округляем в большую сторону: $192 \approx 200$.

Для числа 485 старший разряд – сотни. Так как цифра в разряде десятков равна 8 (а $8 \ge 5$), округляем в большую сторону: $485 \approx 500$.

Приближенное значение произведения: $200 \cdot 500 = 100000$.

Теперь найдем точное значение произведения:

$192 \cdot 485 = 93120$.

Найдем, на сколько точное значение отличается от приближенного:

$100000 - 93120 = 6880$.

Ответ: приближенное значение – 100000, точное значение – 93120; точное значение отличается от приближенного на 6880.

г)

Выполним прикидку, округлив множители до старшего разряда (до сотен).

Для числа 285 старший разряд – сотни. Так как цифра в разряде десятков равна 8 (а $8 \ge 5$), округляем в большую сторону: $285 \approx 300$.

Для числа 209 старший разряд – сотни. Так как цифра в разряде десятков равна 0 (а $0 < 5$), округляем в меньшую сторону: $209 \approx 200$.

Приближенное значение произведения: $300 \cdot 200 = 60000$.

Теперь найдем точное значение произведения:

$285 \cdot 209 = 285 \cdot (200 + 9) = 285 \cdot 200 + 285 \cdot 9 = 57000 + 2565 = 59565$.

Найдем, на сколько точное значение отличается от приближенного:

$60000 - 59565 = 435$.

Ответ: приближенное значение – 60000, точное значение – 59565; точное значение отличается от приближенного на 435.

3.45 Определите последнюю цифру результата:

а) $23 \cdot 24;$

б) $689 \cdot 13;$

в) $215 \cdot 33;$

г) $8624 \cdot 22;$

д) $520 \cdot 107;$

е) $4991 \cdot 217.$

Чтобы определить последнюю цифру результата произведения, нет необходимости выполнять полное умножение. Достаточно перемножить последние цифры каждого из множителей и посмотреть, какой будет последняя цифра у полученного произведения.

а) $23 \cdot 24$
Последние цифры множителей – 3 и 4.
Их произведение: $3 \cdot 4 = 12$.
Последняя цифра этого результата – 2.
Ответ: 2.

б) $689 \cdot 13$
Последние цифры множителей – 9 и 3.
Их произведение: $9 \cdot 3 = 27$.
Последняя цифра этого результата – 7.
Ответ: 7.

в) $215 \cdot 33$
Последние цифры множителей – 5 и 3.
Их произведение: $5 \cdot 3 = 15$.
Последняя цифра этого результата – 5.
Ответ: 5.

г) $8624 \cdot 22$
Последние цифры множителей – 4 и 2.
Их произведение: $4 \cdot 2 = 8$.
Последняя цифра этого результата – 8.
Ответ: 8.

д) $520 \cdot 107$
Последние цифры множителей – 0 и 7.
Их произведение: $0 \cdot 7 = 0$.
Последняя цифра этого результата – 0.
Ответ: 0.

е) $4991 \cdot 217$
Последние цифры множителей – 1 и 7.
Их произведение: $1 \cdot 7 = 7$.
Последняя цифра этого результата – 7.
Ответ: 7.

3.46 РАССУЖДАЕМ

Из четырёх равенств только одно верное. Найдите его, не выполняя вычислений. (Воспользуйтесь результатами упражнений 3.44 и 3.45.)

1) $915 \cdot 25 = 22870.$

2) $735 : 35 = 201.$

3) $4860 : 45 = 108.$

4) $206 \cdot 42 = 852.$

Чтобы найти единственное верное равенство, не выполняя полных вычислений, проанализируем каждое из них с помощью оценки результата (прикидки) и проверки по последней цифре.

1) 915 ⋅ 25 = 22 870

Произведение числа, оканчивающегося на 5 (915), и числа, оканчивающегося на 5 (25), должно оканчиваться на ту же цифру, что и произведение $5 \cdot 5 = 25$, то есть на 5. Число 22 870 оканчивается на 0, поэтому равенство неверное.

Ответ: неверно.

2) 735 : 35 = 201

Данное равенство равносильно утверждению $35 \cdot 201 = 735$. Оценим произведение, округлив 201 до 200: $35 \cdot 200 = 7000$. Это значение значительно больше, чем 735, следовательно, равенство неверно.

Ответ: неверно.

3) 4860 : 45 = 108

Проверим равенство, используя обратное действие: $45 \cdot 108 = 4860$. Последняя цифра произведения $5 \cdot 8 = 40$ — это 0, что совпадает с последней цифрой числа 4860. Оценка также показывает, что результат правдоподобен: $45 \cdot 100 = 4500$, что близко к 4860. Для точной проверки воспользуемся свойством делимости. Оба числа, 4860 (сумма цифр $4+8+6+0=18$) и 45 (сумма цифр $4+5=9$), делятся на 9. Упростим деление: $4860 : 45 = (4860:9) : (45:9) = 540 : 5$. Результат $540 : 5$ равен 108 ($500:5=100$, $40:5=8$). Следовательно, равенство верное.

Ответ: верно.

4) 206 ⋅ 42 = 852

Оценим произведение, округлив множители: $200 \cdot 40 = 8000$. Полученная оценка 8000 на порядок больше, чем 852 в предложенном равенстве. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: неверно.

3.47 Спланируйте ход решения задачи и решите её:

a) В 9 вагонах с креслами для сидения столько же мест, сколько в 14 купейных вагонах. Сколько мест в одном вагоне с креслами, если в купейном 36 мест?

б) За 5 мин в бассейн из крана наливается столько воды, сколько вытекает через сливное отверстие за 6 мин. Сколько литров воды вытекает за одну минуту через сливное отверстие, если через кран вливается 30 л в минуту?

Вспомните, как найти пройденный путь, если известны скорость и время движения, и решите задачу (3.48–3.51).

а) План решения:

1. Сначала нужно найти общее количество мест в 14 купейных вагонах, зная, что в одном купейном вагоне 36 мест.
2. Так как общее количество мест в вагонах с креслами такое же, полученный результат нужно разделить на 9, чтобы найти количество мест в одном вагоне с креслами.

Решение:

1. Найдем общее количество мест в 14 купейных вагонах:
$14 \times 36 = 504$ (места)

2. Это же количество мест находится в 9 вагонах с креслами. Найдем количество мест в одном таком вагоне:
$504 / 9 = 56$ (мест)

Ответ: 56 мест.

б) План решения:

1. Сначала определим, какой объем воды наливается в бассейн из крана за 5 минут, зная, что скорость налива составляет 30 л в минуту.
2. Так как этот объем равен тому, что вытекает за 6 минут, разделим полученный объем на 6, чтобы найти, сколько литров воды вытекает за одну минуту.

Решение:

1. Найдем, сколько воды наливается в бассейн за 5 минут:
$30 \times 5 = 150$ (л)

2. Этот же объем воды (150 л) вытекает через сливное отверстие за 6 минут. Найдем, сколько воды вытекает за одну минуту:
$150 / 6 = 25$ (л)

Ответ: 25 литров.

3.48 а) Какое расстояние проехал автомобиль за 4 ч со скоростью 75 км/ч?

б) Электричка прошла 168 км за 3 ч. С какой скоростью она шла?

в) Велосипедист проехал 24 км. Сколько времени он был в пути, если ехал со скоростью 12 км/ч?

а) Чтобы найти расстояние, которое проехал автомобиль, необходимо умножить его скорость на время в пути. Используем формулу: $S = v \cdot t$, где $S$ – это расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

Дано:

• Скорость ($v$) = 75 км/ч
• Время ($t$) = 4 ч

Вычисляем расстояние:

$S = 75 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 300 \text{ км}$

Ответ: автомобиль проехал 300 км.

б) Чтобы найти скорость электрички, необходимо разделить расстояние, которое она прошла, на время, затраченное на этот путь. Используем формулу: $v = S / t$, где $v$ – это скорость, $S$ – расстояние, а $t$ – время.

Дано:

• Расстояние ($S$) = 168 км
• Время ($t$) = 3 ч

Вычисляем скорость:

$v = 168 \text{ км} / 3 \text{ ч} = 56 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость электрички была 56 км/ч.

в) Чтобы найти время, которое велосипедист был в пути, необходимо разделить пройденное им расстояние на его скорость. Используем формулу: $t = S / v$, где $t$ – это время, $S$ – расстояние, а $v$ – скорость.

Дано:

• Расстояние ($S$) = 24 км
• Скорость ($v$) = 12 км/ч

Вычисляем время:

$t = 24 \text{ км} / 12 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$

Ответ: велосипедист был в пути 2 часа.