Страница 56 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.29 Вычислите:

a) $25 \cdot 6341;$

б) $99900 : 450;$

в) $4415 \cdot 132;$

г) $6936 : 102;$

д) $50800 : 25;$

е) $1540 \cdot 602.$

а) $25 \cdot 6341$

Чтобы умножить число на 25, можно умножить его на 100 и разделить на 4, так как $25 = 100 : 4$.

$6341 \cdot 100 = 634100$

Теперь разделим полученный результат на 4:

$634100 : 4 = 158525$

Проверим умножением в столбик:

$25 \cdot 6341 = 158525$

Ответ: 158525

б) $99900 : 450$

Сначала можно упростить выражение, разделив делимое и делитель на 10:

$99900 : 450 = 9990 : 45$

Выполним деление столбиком:

Первое неполное делимое - 99. $99 : 45 = 2$ (остаток $99 - 90 = 9$).

Сносим следующую цифру 9, получаем 99. $99 : 45 = 2$ (остаток $99 - 90 = 9$).

Сносим последнюю цифру 0, получаем 90. $90 : 45 = 2$ (остаток 0).

Соединив цифры частного, получаем 222.

Ответ: 222

в) $4415 \cdot 132$

Выполним умножение в столбик. Для этого умножим 4415 последовательно на 2, 30 и 100 и сложим результаты.

$4415 \cdot 2 = 8830$

$4415 \cdot 30 = 132450$

$4415 \cdot 100 = 441500$

Сложим полученные произведения:

$8830 + 132450 + 441500 = 582780$

Ответ: 582780

г) $6936 : 102$

Выполним деление столбиком.

Первое неполное делимое - 693. Подбираем число, которое при умножении на 102 даст результат, близкий к 693. Это 6.

$102 \cdot 6 = 612$

Находим остаток: $693 - 612 = 81$.

Сносим следующую цифру 6, получаем 816. Делим 816 на 102. Подбираем число 8.

$102 \cdot 8 = 816$

Находим остаток: $816 - 816 = 0$.

Результат деления равен 68.

Ответ: 68

д) $50800 : 25$

Чтобы разделить число на 25, можно умножить его на 4 и разделить на 100, так как $: 25 = \cdot 4 : 100$.

$50800 \cdot 4 = 203200$

Теперь разделим полученный результат на 100:

$203200 : 100 = 2032$

Ответ: 2032

е) $1540 \cdot 602$

Используем распределительное свойство умножения, представив 602 как сумму $(600 + 2)$.

$1540 \cdot 602 = 1540 \cdot (600 + 2) = 1540 \cdot 600 + 1540 \cdot 2$

Вычислим каждое слагаемое:

$1540 \cdot 2 = 3080$

$1540 \cdot 600 = 924000$

Сложим результаты:

$924000 + 3080 = 927080$

Ответ: 927080

3.30 Определите, во сколько раз:

а) число 378200 больше числа 1525;

б) число 1173 меньше числа 238119;

в) число 441559 больше числа 109;

г) число 306 меньше числа 674730.

а) число 378200 больше числа 1525;

Чтобы определить, во сколько раз одно число больше другого, нужно разделить большее число на меньшее. Выполним деление:

$378200 \div 1525 = 248$

Таким образом, число 378200 больше числа 1525 в 248 раз.

Ответ: в 248 раз.

б) число 1173 меньше числа 238119;

Чтобы определить, во сколько раз одно число меньше другого, нужно разделить большее число на меньшее. Выполним деление:

$238119 \div 1173 = 203$

Таким образом, число 1173 меньше числа 238119 в 203 раза.

Ответ: в 203 раза.

в) число 441559 больше числа 109;

Чтобы определить, во сколько раз одно число больше другого, нужно разделить большее число на меньшее. Выполним деление:

$441559 \div 109 = 4051$

Таким образом, число 441559 больше числа 109 в 4051 раз.

Ответ: в 4051 раз.

г) число 306 меньше числа 674730.

Чтобы определить, во сколько раз одно число меньше другого, нужно разделить большее число на меньшее. Выполним деление:

$674730 \div 306 = 2205$

Таким образом, число 306 меньше числа 674730 в 2205 раз.

Ответ: в 2205 раз.

3.31 Запишите последовательность из шести чисел, если:

а) первое число равно 9, а каждое следующее в 5 раз больше предыдущего;

б) первое число равно 192, а каждое следующее в 2 раза меньше предыдущего;

в) первое число равно 2, второе равно 3, а каждое следующее равно произведению двух предыдущих.

а)

По условию, первый член последовательности $a_1 = 9$, а каждый последующий в 5 раз больше предыдущего. Это означает, что нам нужно найти члены геометрической прогрессии со знаменателем $q = 5$. Вычислим первые шесть членов последовательности.

Первый член: $a_1 = 9$

Второй член: $a_2 = a_1 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$

Третий член: $a_3 = a_2 \cdot 5 = 45 \cdot 5 = 225$

Четвертый член: $a_4 = a_3 \cdot 5 = 225 \cdot 5 = 1125$

Пятый член: $a_5 = a_4 \cdot 5 = 1125 \cdot 5 = 5625$

Шестой член: $a_6 = a_5 \cdot 5 = 5625 \cdot 5 = 28125$

Таким образом, искомая последовательность: 9, 45, 225, 1125, 5625, 28125.

Ответ: 9, 45, 225, 1125, 5625, 28125.

б)

По условию, первый член последовательности $b_1 = 192$, а каждый последующий в 2 раза меньше предыдущего. Это означает, что нам нужно найти члены геометрической прогрессии со знаменателем $q = 1/2$. Вычислим первые шесть членов последовательности.

Первый член: $b_1 = 192$

Второй член: $b_2 = b_1 : 2 = 192 : 2 = 96$

Третий член: $b_3 = b_2 : 2 = 96 : 2 = 48$

Четвертый член: $b_4 = b_3 : 2 = 48 : 2 = 24$

Пятый член: $b_5 = b_4 : 2 = 24 : 2 = 12$

Шестой член: $b_6 = b_5 : 2 = 12 : 2 = 6$

Таким образом, искомая последовательность: 192, 96, 48, 24, 12, 6.

Ответ: 192, 96, 48, 24, 12, 6.

в)

По условию, первый член последовательности $c_1 = 2$, второй член $c_2 = 3$, а каждый последующий член равен произведению двух предыдущих. Это рекуррентная последовательность, заданная формулой $c_n = c_{n-1} \cdot c_{n-2}$ при $n \ge 3$. Вычислим первые шесть членов.

Первый член: $c_1 = 2$

Второй член: $c_2 = 3$

Третий член: $c_3 = c_1 \cdot c_2 = 2 \cdot 3 = 6$

Четвертый член: $c_4 = c_2 \cdot c_3 = 3 \cdot 6 = 18$

Пятый член: $c_5 = c_3 \cdot c_4 = 6 \cdot 18 = 108$

Шестой член: $c_6 = c_4 \cdot c_5 = 18 \cdot 108 = 1944$

Таким образом, искомая последовательность: 2, 3, 6, 18, 108, 1944.

Ответ: 2, 3, 6, 18, 108, 1944.

3.32 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Назовите три следующих числа последовательности:

а) 1, 5, 25, ...

б) 729, 243, 81, ...

а) В данной последовательности $1, 5, 25, ...$ каждый следующий член является результатом умножения предыдущего члена на 5. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=5$.

Первый член: $1$
Второй член: $1 \times 5 = 5$
Третий член: $5 \times 5 = 25$

Чтобы найти следующие три числа, продолжим умножать на 5:

Четвертый член: $25 \times 5 = 125$
Пятый член: $125 \times 5 = 625$
Шестой член: $625 \times 5 = 3125$

Ответ: 125, 625, 3125.

б) В данной последовательности $729, 243, 81, ...$ каждый следующий член является результатом деления предыдущего члена на 3. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 1/3$.

Первый член: $729$
Второй член: $729 \div 3 = 243$
Третий член: $243 \div 3 = 81$

Чтобы найти следующие три числа, продолжим делить на 3:

Четвертый член: $81 \div 3 = 27$
Пятый член: $27 \div 3 = 9$
Шестой член: $9 \div 3 = 3$

Ответ: 27, 9, 3.

3.33 а) Сколько килограммов в 105 т; в 12 т 350 кг; в 4 ц 15 кг?

б) Сколько граммов в 20 кг; в 3 кг 120 г; в 2 ц 30 кг?

а)

Чтобы перевести различные единицы массы в килограммы, воспользуемся следующими соотношениями:
$1 \text{ тонна (т)} = 1000 \text{ килограммов (кг)}$
$1 \text{ центнер (ц)} = 100 \text{ килограммов (кг)}$

1. Сколько килограммов в 105 т?
Для перевода тонн в килограммы, необходимо умножить количество тонн на 1000.
$105 \text{ т} = 105 \times 1000 \text{ кг} = 105000 \text{ кг}$.
Ответ: 105000 кг.

2. Сколько килограммов в 12 т 350 кг?
Сначала переведем тонны в килограммы, а затем прибавим к результату оставшиеся килограммы.
$12 \text{ т} = 12 \times 1000 \text{ кг} = 12000 \text{ кг}$.
$12000 \text{ кг} + 350 \text{ кг} = 12350 \text{ кг}$.
Ответ: 12350 кг.

3. Сколько килограммов в 4 ц 15 кг?
Сначала переведем центнеры в килограммы, а затем прибавим к результату оставшиеся килограммы.
$4 \text{ ц} = 4 \times 100 \text{ кг} = 400 \text{ кг}$.
$400 \text{ кг} + 15 \text{ кг} = 415 \text{ кг}$.
Ответ: 415 кг.

б)

Чтобы перевести различные единицы массы в граммы, воспользуемся следующими соотношениями:
$1 \text{ килограмм (кг)} = 1000 \text{ граммов (г)}$
$1 \text{ центнер (ц)} = 100 \text{ кг} = 100 \times 1000 \text{ г} = 100000 \text{ г}$

1. Сколько граммов в 20 кг?
Для перевода килограммов в граммы, необходимо умножить количество килограммов на 1000.
$20 \text{ кг} = 20 \times 1000 \text{ г} = 20000 \text{ г}$.
Ответ: 20000 г.

2. Сколько граммов в 3 кг 120 г?
Сначала переведем килограммы в граммы, а затем прибавим к результату оставшиеся граммы.
$3 \text{ кг} = 3 \times 1000 \text{ г} = 3000 \text{ г}$.
$3000 \text{ г} + 120 \text{ г} = 3120 \text{ г}$.
Ответ: 3120 г.

3. Сколько граммов в 2 ц 30 кг?
Сначала переведем всю величину в килограммы, а затем переведем полученное значение в граммы.
$2 \text{ ц} = 2 \times 100 \text{ кг} = 200 \text{ кг}$.
$2 \text{ ц } 30 \text{ кг} = 200 \text{ кг} + 30 \text{ кг} = 230 \text{ кг}$.
Теперь переведем килограммы в граммы:
$230 \text{ кг} = 230 \times 1000 \text{ г} = 230000 \text{ г}$.
Ответ: 230000 г.

3.34 a) Сколько минут в $15 \text{ ч}$; в $10 \text{ ч } 24 \text{ мин}$; в $3 \text{ сут}$?

б) Сколько секунд в $30 \text{ мин}$; в $3 \text{ ч}$; в $2 \text{ ч } 12 \text{ мин}$?

а)

• Чтобы перевести 15 часов в минуты, нужно количество часов умножить на 60, так как в 1 часе 60 минут.
  $15 \text{ ч} = 15 \times 60 \text{ мин} = 900 \text{ мин}$.
  Ответ: 900 минут.

• Чтобы перевести 10 часов 24 минуты в минуты, сначала переведем часы в минуты, а затем прибавим к результату оставшиеся 24 минуты.
  $10 \text{ ч} = 10 \times 60 \text{ мин} = 600 \text{ мин}$.
  $600 \text{ мин} + 24 \text{ мин} = 624 \text{ мин}$.
  Ответ: 624 минуты.

• Чтобы перевести 3 суток в минуты, сначала переведем сутки в часы (в 1 сутках 24 часа), а затем полученное количество часов переведем в минуты.
  $3 \text{ сут} = 3 \times 24 \text{ ч} = 72 \text{ ч}$.
  $72 \text{ ч} = 72 \times 60 \text{ мин} = 4320 \text{ мин}$.
  Ответ: 4320 минут.

б)

• Чтобы перевести 30 минут в секунды, нужно количество минут умножить на 60, так как в 1 минуте 60 секунд.
  $30 \text{ мин} = 30 \times 60 \text{ с} = 1800 \text{ с}$.
  Ответ: 1800 секунд.

• Чтобы перевести 3 часа в секунды, можно сначала перевести часы в минуты, а затем минуты в секунды. В 1 часе $60 \times 60 = 3600$ секунд.
  $3 \text{ ч} = 3 \times 3600 \text{ с} = 10800 \text{ с}$.
  Ответ: 10800 секунд.

• Чтобы перевести 2 часа 12 минут в секунды, переведем отдельно часы и минуты в секунды, а затем сложим полученные значения.
  $2 \text{ ч} = 2 \times 3600 \text{ с} = 7200 \text{ с}$.
  $12 \text{ мин} = 12 \times 60 \text{ с} = 720 \text{ с}$.
  $7200 \text{ с} + 720 \text{ с} = 7920 \text{ с}$.
  Ответ: 7920 секунд.

3.35 а) Что больше: 5 км или 500 м? Во сколько раз?

б) Что меньше: 3 ч или 90 мин? Во сколько раз?

а) Чтобы сравнить 5 км и 500 м, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем километры в метры. Известно, что в одном километре содержится 1000 метров:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
Следовательно, 5 км будут равны:
$5 \text{ км} = 5 \times 1000 \text{ м} = 5000 \text{ м}$
Теперь сравним $5000 \text{ м}$ и $500 \text{ м}$. Очевидно, что $5000 > 500$. Значит, 5 км больше, чем 500 м.
Чтобы определить, во сколько раз 5 км больше, чем 500 м, разделим большее значение на меньшее:
$\frac{5000 \text{ м}}{500 \text{ м}} = 10$
Ответ: 5 км больше, чем 500 м, в 10 раз.

б) Чтобы сравнить 3 ч и 90 мин, необходимо привести их к одной единице измерения. Переведем часы в минуты. Известно, что в одном часе содержится 60 минут:
$1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$
Следовательно, 3 часа будут равны:
$3 \text{ ч} = 3 \times 60 \text{ мин} = 180 \text{ мин}$
Теперь сравним $180 \text{ мин}$ и $90 \text{ мин}$. Очевидно, что $90 < 180$. Значит, 90 мин меньше, чем 3 ч.
Чтобы определить, во сколько раз 90 мин меньше, чем 3 ч, разделим большее значение на меньшее:
$\frac{180 \text{ мин}}{90 \text{ мин}} = 2$
Ответ: 90 мин меньше, чем 3 ч, в 2 раза.

3.36 Заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо последовательно вычислить недостающие значения в каждом столбце.

Столбец 1

Даны значения $a = 8$ и $b = 4$.

Находим произведение $a \cdot b$: $8 \cdot 4 = 32$.

Находим частное $a : b$: $8 : 4 = 2$.

Ответ: $a \cdot b = 32$, $a : b = 2$.

Столбец 2

Даны значения $a = 18$ и $b = 3$.

Находим произведение $a \cdot b$: $18 \cdot 3 = 54$.

Находим частное $a : b$: $18 : 3 = 6$.

Ответ: $a \cdot b = 54$, $a : b = 6$.

Столбец 3

Даны значения $a = 24$ и $a \cdot b = 144$.

Чтобы найти $b$, нужно произведение разделить на известный множитель: $b = 144 : 24 = 6$.

Теперь находим частное $a : b$: $24 : 6 = 4$.

Ответ: $b = 6$, $a : b = 4$.

Столбец 4

Даны значения $b = 7$ и $a \cdot b = 245$.

Чтобы найти $a$, нужно произведение разделить на известный множитель: $a = 245 : 7 = 35$.

Теперь находим частное $a : b$: $35 : 7 = 5$.

Ответ: $a = 35$, $a : b = 5$.

Столбец 5

Даны значения $a = 66$ и $a : b = 6$.

Чтобы найти делитель $b$, нужно делимое $a$ разделить на частное: $b = 66 : 6 = 11$.

Теперь находим произведение $a \cdot b$: $66 \cdot 11 = 726$.

Ответ: $b = 11$, $a \cdot b = 726$.

Столбец 6

Даны значения $a = 72$ и $a : b = 9$.

Чтобы найти делитель $b$, нужно делимое $a$ разделить на частное: $b = 72 : 9 = 8$.

Теперь находим произведение $a \cdot b$: $72 \cdot 8 = 576$.

Ответ: $b = 8$, $a \cdot b = 576$.

Столбец 7

Даны значения $a = 0$ и $b = 25$.

Находим произведение $a \cdot b$: $0 \cdot 25 = 0$.

Находим частное $a : b$: $0 : 25 = 0$.

Ответ: $a \cdot b = 0$, $a : b = 0$.

Столбец 8

Даны значения $a = 75$ и $b = 1$.

Находим произведение $a \cdot b$: $75 \cdot 1 = 75$.

Находим частное $a : b$: $75 : 1 = 75$.

Ответ: $a \cdot b = 75$, $a : b = 75$.

Итоговая заполненная таблица:

3.37 Известно, что $1524 : 356 = 542544$. Используя это равенство, найдите значения выражений $542544 : 356$ и $542544 : 1524$. Объясните, как вы рассуждали.

Это задание основано на взаимосвязи между компонентами умножения и деления. Умножение и деление — это взаимно обратные операции. Если произведение разделить на один из множителей, то в результате получится другой множитель.

В исходном равенстве $1524 \cdot 356 = 542544$:

Число $1524$ — первый множитель.

Число $356$ — второй множитель.

Число $542544$ — произведение.

542544 : 356

В этом выражении мы делим произведение ($542544$) на второй множитель ($356$). Согласно правилу, результатом должен быть первый множитель, то есть $1524$.

$542544 : 356 = 1524$

Ответ: 1524.

542544 : 1524

В этом выражении мы делим произведение ($542544$) на первый множитель ($1524$). Следовательно, результатом будет второй множитель, то есть $356$.

$542544 : 1524 = 356$

Ответ: 356.

3.38 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Проверьте с помощью умножения, верно ли равенство.

1) $23550 : 75 = 314$

2) $52208 : 104 = 502$

3) $512052 : 852 = 601$

4) $213060 : 212 = 1005$

1) Чтобы проверить равенство $23550 : 75 = 314$, нужно выполнить проверку умножением. Для этого частное ($314$) умножим на делитель ($75$). Если результат будет равен делимому ($23550$), то равенство верно.

$314 \times 75 = 23550$

Результат умножения совпадает с делимым. Следовательно, равенство верно.

Ответ: верно.

2) Проверим равенство $52208 : 104 = 502$ с помощью умножения. Умножим частное ($502$) на делитель ($104$).

$502 \times 104 = 52208$

Результат умножения совпадает с делимым. Следовательно, равенство верно.

Ответ: верно.

3) Проверим равенство $512052 : 852 = 601$ с помощью умножения. Умножим частное ($601$) на делитель ($852$).

$601 \times 852 = 512052$

Результат умножения совпадает с делимым. Следовательно, равенство верно.

Ответ: верно.

4) Проверим равенство $213060 : 212 = 1005$ с помощью умножения. Умножим частное ($1005$) на делитель ($212$).

$1005 \times 212 = 213060$

Результат умножения совпадает с делимым. Следовательно, равенство верно.

Ответ: верно.

3.39 ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ Расскажите, как найти неизвестные множитель, делимое, делитель, и найдите неизвестный компонент действия:

а) $18 \cdot x = 450;$

б) $b \cdot 23 = 2346;$

в) $44 \cdot d = 24200;$

г) $1190 : c = 34;$

д) $b : 17 = 201;$

е) $1881 : k = 19;$

ж) $25 \cdot x = 20200;$

з) $21840 : d = 52;$

и) $30 \cdot b = 23310.$

Для нахождения неизвестных компонентов в уравнениях используются следующие правила:

1. Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель. Для уравнения вида $a \cdot x = c$, неизвестный множитель $x$ находится как $x = c : a$.

2. Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель. Для уравнения вида $x : a = c$, неизвестное делимое $x$ находится как $x = c \cdot a$.

3. Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное. Для уравнения вида $a : x = c$, неизвестный делитель $x$ находится как $x = a : c$.

а) $18 \cdot x = 450$
Здесь $x$ — неизвестный множитель. Чтобы его найти, разделим произведение (450) на известный множитель (18).
$x = 450 : 18$
$x = 25$
Ответ: 25

б) $b \cdot 23 = 2346$
Здесь $b$ — неизвестный множитель. Разделим произведение (2346) на известный множитель (23).
$b = 2346 : 23$
$b = 102$
Ответ: 102

в) $44 \cdot d = 24200$
Здесь $d$ — неизвестный множитель. Разделим произведение (24200) на известный множитель (44).
$d = 24200 : 44$
$d = 550$
Ответ: 550

г) $1190 : c = 34$
Здесь $c$ — неизвестный делитель. Чтобы его найти, разделим делимое (1190) на частное (34).
$c = 1190 : 34$
$c = 35$
Ответ: 35

д) $b : 17 = 201$
Здесь $b$ — неизвестное делимое. Чтобы его найти, умножим частное (201) на делитель (17).
$b = 201 \cdot 17$
$b = 3417$
Ответ: 3417

е) $1881 : k = 19$
Здесь $k$ — неизвестный делитель. Разделим делимое (1881) на частное (19).
$k = 1881 : 19$
$k = 99$
Ответ: 99

ж) $25 \cdot x = 20200$
Здесь $x$ — неизвестный множитель. Разделим произведение (20200) на известный множитель (25).
$x = 20200 : 25$
$x = 808$
Ответ: 808

з) $21840 : d = 52$
Здесь $d$ — неизвестный делитель. Разделим делимое (21840) на частное (52).
$d = 21840 : 52$
$d = 420$
Ответ: 420

и) $30 \cdot b = 23310$
Здесь $b$ — неизвестный множитель. Разделим произведение (23310) на известный множитель (30).
$b = 23310 : 30$
$b = 777$
Ответ: 777