Страница 58 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.49 a) Мальчик проходит 80 м за одну минуту. Какое расстояние он может пройти за один час?

б) Автомобиль проезжает 1500 м в каждую минуту. Сколько километров он проезжает за один час?

а)

По условию, мальчик проходит 80 метров за одну минуту. Нам нужно узнать, какое расстояние он пройдет за один час.
В одном часе 60 минут. Чтобы найти расстояние, которое мальчик пройдет за час, нужно его скорость (расстояние за минуту) умножить на количество минут в часе.
Скорость мальчика: $v = 80 \text{ м/мин}$.
Время движения: $t = 1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$.
Найдем расстояние $S$ по формуле $S = v \cdot t$:
$S = 80 \text{ м/мин} \cdot 60 \text{ мин} = 4800 \text{ м}$.
Таким образом, за один час мальчик пройдет 4800 метров.
Ответ: 4800 м.

б)

По условию, автомобиль проезжает 1500 метров в каждую минуту. Нам нужно найти, сколько километров он проезжает за один час.
Сначала найдем, какое расстояние в метрах автомобиль проезжает за час. В одном часе 60 минут.
Скорость автомобиля: $v = 1500 \text{ м/мин}$.
Время движения: $t = 1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$.
Расстояние в метрах:
$S = 1500 \text{ м/мин} \cdot 60 \text{ мин} = 90000 \text{ м}$.
Теперь необходимо перевести полученное расстояние из метров в километры. Мы знаем, что в 1 километре 1000 метров.
$90000 \text{ м} = \frac{90000}{1000} \text{ км} = 90 \text{ км}$.
Следовательно, за один час автомобиль проезжает 90 километров.
Ответ: 90 км.

3.50 a) Поезд проехал 240 км за 3 ч. Сколько километров проедет поезд за 5 ч, если будет ехать с такой же скоростью?

б) Автомобиль проехал 140 км со скоростью 70 км/ч. С какой скоростью ему надо ехать, чтобы проехать 150 км за такое же время?

в) Велосипедист ехал 4 ч со скоростью 15 км/ч. За какое время прошёл бы он это расстояние пешком, если бы шёл со скоростью 4 км/ч?

а)
1. Сначала найдем скорость поезда. Скорость ($v$) равна расстоянию ($s$), деленному на время ($t$).
$v = \frac{s}{t} = \frac{240 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 80 \text{ км/ч}$
2. Теперь, зная скорость, вычислим расстояние, которое поезд проедет за 5 часов. Расстояние равно скорости, умноженной на время.
$s = v \cdot t = 80 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 400 \text{ км}$
Ответ: 400 км.

б)
1. Сначала определим время, которое автомобиль был в пути. Время ($t$) равно расстоянию ($s$), деленному на скорость ($v$).
$t = \frac{s}{v} = \frac{140 \text{ км}}{70 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$
2. По условию, новое расстояние в 150 км нужно проехать за такое же время, то есть за 2 часа. Найдем необходимую скорость.
$v = \frac{s}{t} = \frac{150 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 75 \text{ км/ч}$
Ответ: 75 км/ч.

в)
1. Сначала найдем расстояние, которое проехал велосипедист. Расстояние ($s$) равно скорости ($v$), умноженной на время ($t$).
$s = v \cdot t = 15 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 60 \text{ км}$
2. Теперь найдем, за какое время можно пройти это расстояние пешком со скоростью 4 км/ч.
$t = \frac{s}{v} = \frac{60 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 15 \text{ ч}$
Ответ: 15 ч.

3.51 a) Электричка идёт из города Крюково со скоростью 65 км/ч. Пассажир сел в электричку на станции, находящейся в 45 км от Крюково. На каком расстоянии от города он будет через 2 ч?

б) Автомобиль выехал из одного города в другой, расстояние до которого 240 км. Сколько ему останется проехать через 2 ч, если он едет со скоростью 85 км/ч?

в) Толя вышел из дома в школу, расстояние до которой 1200 м. Через 12 мин ему осталось идти до школы 300 м. Сколько метров в минуту проходил Толя?

а) Чтобы найти, на каком расстоянии от города Крюково будет пассажир через 2 часа, нужно к расстоянию от города до станции, где он сел, прибавить расстояние, которое проедет электричка за 2 часа.
1) Найдем расстояние, которое проедет электричка за 2 часа:
$S = v \times t = 65 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 130 \text{ км}$.
2) Теперь найдем итоговое расстояние от города Крюково:
$S_{общ} = 45 \text{ км} + 130 \text{ км} = 175 \text{ км}$.
Ответ: через 2 часа пассажир будет на расстоянии 175 км от города Крюково.

б) Чтобы узнать, сколько километров останется проехать автомобилю, нужно из общего расстояния вычесть расстояние, которое он проедет за 2 часа.
1) Найдем расстояние, которое автомобиль проедет за 2 часа:
$S = v \times t = 85 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 170 \text{ км}$.
2) Теперь найдем оставшееся расстояние:
$S_{ост} = 240 \text{ км} - 170 \text{ км} = 70 \text{ км}$.
Ответ: автомобилю останется проехать 70 км.

в) Чтобы найти скорость Толи, нужно сначала определить, какое расстояние он прошел за 12 минут, а затем разделить это расстояние на время.
1) Найдем расстояние, которое Толя прошел за 12 минут:
$S_{прошел} = S_{общ} - S_{ост} = 1200 \text{ м} - 300 \text{ м} = 900 \text{ м}$.
2) Теперь найдем скорость Толи (количество метров в минуту):
$v = \frac{S_{прошел}}{t} = \frac{900 \text{ м}}{12 \text{ мин}} = 75 \text{ м/мин}$.
Ответ: Толя проходил 75 метров в минуту.

3.52 Выполните деление. (Попробуйте сделать это без записи уголком.) Проверьте себя умножением.

а) $352352 : 352$;
б) $787878 : 78$;
в) $727272 : 12$;
г) $164880 : 16$;
д) $4590135 : 45$;
е) $5012575 : 25$;
ж) $45030015 : 15$;
з) $900900180 : 18$;
и) $175105280 : 35$.

а) Представим делимое $352352$ в виде суммы слагаемых, которые легко делятся на $352$:
$352352 = 352000 + 352$.
Теперь выполним деление:
$352352 : 352 = (352000 + 352) : 352 = 352000 : 352 + 352 : 352 = 1000 + 1 = 1001$.
Проверка:
$1001 \times 352 = (1000 + 1) \times 352 = 1000 \times 352 + 1 \times 352 = 352000 + 352 = 352352$.
Ответ: $1001$.

б) Разложим число $787878$ на слагаемые, кратные $78$:
$787878 = 780000 + 7800 + 78$.
Выполним деление суммы на число:
$787878 : 78 = (780000 + 7800 + 78) : 78 = 780000 : 78 + 7800 : 78 + 78 : 78 = 10000 + 100 + 1 = 10101$.
Проверка:
$10101 \times 78 = (10000 + 100 + 1) \times 78 = 10000 \times 78 + 100 \times 78 + 1 \times 78 = 780000 + 7800 + 78 = 787878$.
Ответ: $10101$.

в) Представим делимое $727272$ в виде суммы слагаемых. Заметим, что $72$ делится на $12$ ($72 : 12 = 6$).
$727272 = 720000 + 7200 + 72$.
Теперь разделим каждое слагаемое на $12$:
$727272 : 12 = (720000 + 7200 + 72) : 12 = 720000 : 12 + 7200 : 12 + 72 : 12 = 60000 + 600 + 6 = 60606$.
Проверка:
$60606 \times 12 = (60000 + 600 + 6) \times 12 = 60000 \times 12 + 600 \times 12 + 6 \times 12 = 720000 + 7200 + 72 = 727272$.
Ответ: $60606$.

г) Разложим число $164880$ на удобные слагаемые, кратные $16$ (зная, что $16 \times 3 = 48$ и $16 \times 5 = 80$):
$164880 = 160000 + 4800 + 80$.
Выполним деление:
$164880 : 16 = (160000 + 4800 + 80) : 16 = 160000 : 16 + 4800 : 16 + 80 : 16 = 10000 + 300 + 5 = 10305$.
Проверка:
$10305 \times 16 = (10000 + 300 + 5) \times 16 = 10000 \times 16 + 300 \times 16 + 5 \times 16 = 160000 + 4800 + 80 = 164880$.
Ответ: $10305$.

д) Представим делимое в виде суммы слагаемых, кратных $45$ (зная, что $45 \times 2 = 90$ и $45 \times 3 = 135$):
$4590135 = 4500000 + 90000 + 135$.
Разделим каждое слагаемое на $45$:
$4590135 : 45 = (4500000 + 90000 + 135) : 45 = 4500000 : 45 + 90000 : 45 + 135 : 45 = 100000 + 2000 + 3 = 102003$.
Проверка:
$102003 \times 45 = (100000 + 2000 + 3) \times 45 = 100000 \times 45 + 2000 \times 45 + 3 \times 45 = 4500000 + 90000 + 135 = 4590135$.
Ответ: $102003$.

е) Разложим число $5012575$ на слагаемые, которые легко делятся на $25$:
$5012575 = 5000000 + 12500 + 75$.
Выполним деление:
$5012575 : 25 = (5000000 + 12500 + 75) : 25 = 5000000 : 25 + 12500 : 25 + 75 : 25 = 200000 + 500 + 3 = 200503$.
Проверка:
$200503 \times 25 = (200000 + 500 + 3) \times 25 = 200000 \times 25 + 500 \times 25 + 3 \times 25 = 5000000 + 12500 + 75 = 5012575$.
Ответ: $200503$.

ж) Представим делимое $45030015$ в виде суммы слагаемых, кратных $15$ (зная, что $15 \times 3 = 45$ и $15 \times 2 = 30$):
$45030015 = 45000000 + 30000 + 15$.
Разделим каждое слагаемое на $15$:
$45030015 : 15 = (45000000 + 30000 + 15) : 15 = 45000000 : 15 + 30000 : 15 + 15 : 15 = 3000000 + 2000 + 1 = 3002001$.
Проверка:
$3002001 \times 15 = (3000000 + 2000 + 1) \times 15 = 3000000 \times 15 + 2000 \times 15 + 1 \times 15 = 45000000 + 30000 + 15 = 45030015$.
Ответ: $3002001$.

з) Разложим число $900900180$ на удобные слагаемые, зная, что $90$ делится на $18$ ($90 : 18 = 5$):
$900900180 = 900000000 + 900000 + 180$.
Выполним деление:
$900900180 : 18 = (900000000 + 900000 + 180) : 18 = 900000000 : 18 + 900000 : 18 + 180 : 18 = 50000000 + 50000 + 10 = 50050010$.
Проверка:
$50050010 \times 18 = (50000000 + 50000 + 10) \times 18 = 50000000 \times 18 + 50000 \times 18 + 10 \times 18 = 900000000 + 900000 + 180 = 900900180$.
Ответ: $50050010$.

и) Разложим делимое на слагаемые, кратные $35$ (зная, что $35 \times 5 = 175$, $35 \times 3 = 105$, $35 \times 8 = 280$):
$175105280 = 175000000 + 105000 + 280$.
Выполним деление:
$175105280 : 35 = (175000000 + 105000 + 280) : 35 = 175000000 : 35 + 105000 : 35 + 280 : 35 = 5000000 + 3000 + 8 = 5003008$.
Проверка:
$5003008 \times 35 = (5000000 + 3000 + 8) \times 35 = 5000000 \times 35 + 3000 \times 35 + 8 \times 35 = 175000000 + 105000 + 280 = 175105280$.
Ответ: $5003008$.

3.53 Составьте пример на деление так, чтобы:

a) делитель и частное были двузначными числами;

б) делитель был трёхзначным числом, а частное – двузначным;

в) делитель и частное были трёхзначными числами.

а) Чтобы составить пример, в котором делитель и частное являются двузначными числами, нужно выбрать два любых двузначных числа (от 10 до 99) и перемножить их. Произведение будет делимым.

Возьмем в качестве делителя число 25, а в качестве частного — число 40. Оба числа являются двузначными.

Найдём делимое, умножив делитель на частное:

Делимое = Делитель × Частное = $25 \times 40 = 1000$.

Таким образом, мы получаем пример на деление, удовлетворяющий условию: $1000 \div 25 = 40$. В этом примере делитель (25) и частное (40) — двузначные числа. Ответ: $1000 \div 25 = 40$.

б) В этом примере делитель должен быть трёхзначным числом (от 100 до 999), а частное — двузначным (от 10 до 99). Выберем трёхзначный делитель, например, 200. Выберем двузначное частное, например, 50.

Теперь найдём делимое, умножив делитель на частное:

Делимое = $200 \times 50 = 10000$.

Таким образом, искомый пример: $10000 \div 200 = 50$. Здесь делитель (200) — трёхзначное число, а частное (50) — двузначное. Ответ: $10000 \div 200 = 50$.

в) Здесь и делитель, и частное должны быть трёхзначными числами (от 100 до 999). Возьмём в качестве делителя число 150, и в качестве частного — число 100. Оба числа являются трёхзначными.

Найдём делимое, перемножив их:

Делимое = $150 \times 100 = 15000$.

Получаем пример на деление, который соответствует условию: $15000 \div 150 = 100$. В этом примере и делитель (150), и частное (100) являются трёхзначными числами. Ответ: $15000 \div 150 = 100$.

3.54 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Найдите:

а) три предыдущих числа в последовательности ..., 32, 64, 128;

б) три предыдущих и три следующих числа в последовательности ..., 112, 224, 448, ...

а)

Проанализируем данную последовательность: ..., 32, 64, 128. Чтобы найти закономерность, вычислим отношение между соседними членами:
$64 \div 32 = 2$
$128 \div 64 = 2$
Каждый следующий член последовательности получается умножением предыдущего на 2. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 2$.
Чтобы найти три предыдущих числа, необходимо выполнить обратную операцию — деление на 2.
Первое предыдущее число: $32 \div 2 = 16$.
Второе предыдущее число: $16 \div 2 = 8$.
Третье предыдущее число: $8 \div 2 = 4$.
Таким образом, последовательность выглядит так: ..., 4, 8, 16, 32, 64, 128.

Ответ: 4, 8, 16.

б)

Проанализируем данную последовательность: ..., 112, 224, 448, ... Найдем закономерность, вычислив отношение между соседними членами:
$224 \div 112 = 2$
$448 \div 224 = 2$
Это также геометрическая прогрессия со знаменателем $q = 2$. Каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего.

Чтобы найти три предыдущих числа, будем последовательно делить на 2:
Первое предыдущее число: $112 \div 2 = 56$.
Второе предыдущее число: $56 \div 2 = 28$.
Третье предыдущее число: $28 \div 2 = 14$.
Три предыдущих числа: 14, 28, 56.

Чтобы найти три следующих числа, будем последовательно умножать на 2:
Первое следующее число: $448 \times 2 = 896$.
Второе следующее число: $896 \times 2 = 1792$.
Третье следующее число: $1792 \times 2 = 3584$.
Три следующих числа: 896, 1792, 3584.

Ответ: три предыдущих числа - 14, 28, 56; три следующих числа - 896, 1792, 3584.

3.55 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Представьте, что вам поручено купить для участников школьного праздника шоколадки массой 50 г. В центре оптовой торговли продаются упаковки таких шоколадок, при этом цена одной плитки зависит от массы упаковки:

16 р. за плитку при покупке меньше 500 г шоколада;

14 р. за плитку при покупке от 500 г шоколада, но меньше 1300 г;

12 р. за плитку при покупке от 1300 г шоколада и больше.

Заполните таблицу, в которой будет указана стоимость различных упаковок, продающихся в центре оптовой торговли.

Масса упаковки, г: 100, 300, 500, 700, 900, 1100, 1300, 1500

Количество шоколадок:

Стоимость упаковки, р.:

Рассчитайте наиболее выгодную стоимость покупки, если в празднике будет участвовать 60 человек.

Заполнение таблицы

Для заполнения таблицы необходимо выполнить два шага для каждой массы упаковки: рассчитать количество шоколадок и затем определить стоимость упаковки на основе цены за одну плитку.

1. Количество шоколадок в упаковке находится делением массы упаковки на массу одной шоколадки (50 г).

2. Стоимость упаковки зависит от ее массы:

• При массе меньше 500 г (упаковки 100 г, 300 г) цена за плитку — 16 р.
• При массе от 500 г до 1300 г (упаковки 500 г, 700 г, 900 г, 1100 г) цена за плитку — 14 р.
• При массе 1300 г и больше (упаковки 1300 г, 1500 г) цена за плитку — 12 р.

Проведем расчеты для каждой упаковки:

• 100 г: $100 / 50 = 2$ шоколадки. Стоимость: $2 \times 16 = 32$ р.
• 300 г: $300 / 50 = 6$ шоколадок. Стоимость: $6 \times 16 = 96$ р.
• 500 г: $500 / 50 = 10$ шоколадок. Стоимость: $10 \times 14 = 140$ р.
• 700 г: $700 / 50 = 14$ шоколадок. Стоимость: $14 \times 14 = 196$ р.
• 900 г: $900 / 50 = 18$ шоколадок. Стоимость: $18 \times 14 = 252$ р.
• 1100 г: $1100 / 50 = 22$ шоколадки. Стоимость: $22 \times 14 = 308$ р.
• 1300 г: $1300 / 50 = 26$ шоколадок. Стоимость: $26 \times 12 = 312$ р.
• 1500 г: $1500 / 50 = 30$ шоколадок. Стоимость: $30 \times 12 = 360$ р.

Итоговая таблица:

Ответ: Заполненная таблица представлена выше.

Расчет наиболее выгодной стоимости покупки для 60 человек

1. Определяем необходимое количество шоколадок.

На 60 человек требуется 60 шоколадок.

$60 \text{ человек} \times 1 \text{ шоколадка/чел.} = 60 \text{ шоколадок}$

2. Находим самый выгодный способ покупки.

Чтобы покупка была наиболее выгодной, нужно купить шоколадки по минимально возможной цене. Из условий задачи и расчетов для таблицы видно, что самая низкая цена — 12 р. за плитку. Эта цена доступна при покупке упаковок массой 1300 г (26 плиток) или 1500 г (30 плиток).

Для покупки ровно 60 шоколадок наиболее рационально использовать упаковки по 1500 г, так как в каждой из них содержится 30 плиток, а $60$ делится на $30$ без остатка.

3. Рассчитываем количество упаковок и итоговую стоимость.

Необходимое количество упаковок по 1500 г:

$60 \text{ шоколадок} / 30 \text{ шоколадок в упаковке} = 2 \text{ упаковки}$

Стоимость одной такой упаковки, как мы рассчитали ранее, составляет 360 р. Общая стоимость покупки будет:

$2 \text{ упаковки} \times 360 \text{ р./упаковка} = 720 \text{ р.}$

Этот способ позволяет приобрести все 60 шоколадок по минимальной цене 12 рублей за штуку.

Ответ: 720 р.