Страница 62 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Найдите в тексте правила порядка действий в выражениях, не содержащих скобок. Назовите порядок действий для вычисления значения выражения:

а) $15 \cdot 27 : 9 \cdot 2$

б) $11 + 12 \cdot 3 - 25$

Правило порядка действий в выражениях, не содержащих скобок: сначала выполняются по порядку слева направо умножение и деление (действия второй ступени), а затем — сложение и вычитание (действия первой ступени), также по порядку слева направо.

а) $15 \cdot 27 : 9 \cdot 2$

В данном выражении все действия (умножение и деление) являются действиями второй ступени, то есть имеют одинаковый приоритет. Поэтому они выполняются строго по порядку слева направо.

Порядок действий:

1. Первое действие: умножение $15 \cdot 27$.

2. Второе действие: деление результата первого действия на $9$.

3. Третье действие: умножение результата второго действия на $2$.

Выполним вычисления:

1) $15 \cdot 27 = 405$

2) $405 : 9 = 45$

3) $45 \cdot 2 = 90$

Или одной строкой: $15 \cdot 27 : 9 \cdot 2 = 405 : 9 \cdot 2 = 45 \cdot 2 = 90$.

Ответ: 90

б) $11 + 12 \cdot 3 - 25$

В этом выражении присутствуют действия разных ступеней: сложение и вычитание (первая ступень) и умножение (вторая ступень). Согласно правилу, сначала выполняется действие второй ступени (умножение), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание) по порядку слева направо.

Порядок действий:

1. Первое действие: умножение $12 \cdot 3$.

2. Второе действие: сложение $11$ с результатом первого действия.

3. Третье действие: вычитание $25$ из результата второго действия.

Выполним вычисления:

1) $12 \cdot 3 = 36$

2) $11 + 36 = 47$

3) $47 - 25 = 22$

Или одной строкой: $11 + 12 \cdot 3 - 25 = 11 + 36 - 25 = 47 - 25 = 22$.

Ответ: 22

Найдите в тексте правила порядка действий в выражениях, содержащих скобки. Назовите порядок действий для вычисления значения выражения:

a) $(15 \cdot 18) : (9 \cdot 2);$

б) $(11 + 12) \cdot 3 - 25.$

Правила порядка действий в выражениях, содержащих скобки:

1. Сначала выполняются действия в скобках. Если в выражении несколько пар скобок, то вычисления в них производятся слева направо. Если внутри одних скобок есть другие (вложенные) скобки, то сначала выполняются действия во внутренних скобках.
2. После вычисления всех выражений в скобках, выполняются действия умножения и деления в порядке их следования (слева направо).
3. В последнюю очередь выполняются действия сложения и вычитания в порядке их следования (слева направо).

Определим порядок действий и вычислим значения для каждого выражения.

а) $(15 \cdot 18) : (9 \cdot 2)$

В этом выражении есть две пары скобок и действие деления между ними. Согласно правилам, сначала нужно выполнить действия в скобках.

1. Первое действие — умножение в первой скобке: $15 \cdot 18$.
2. Второе действие — умножение во второй скобке: $9 \cdot 2$.
3. Третье действие — деление результата первого действия на результат второго.

Выполним вычисления:

1. $15 \cdot 18 = 270$
2. $9 \cdot 2 = 18$
3. $270 : 18 = 15$

Ответ: 15

б) $(11 + 12) \cdot 3 - 25$

В этом выражении есть скобки, умножение и вычитание. Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение и в конце — вычитание.

1. Первое действие — сложение в скобках: $11 + 12$.
2. Второе действие — умножение результата из скобок на 3.
3. Третье действие — вычитание 25 из результата умножения.

Выполним вычисления:

1. $11 + 12 = 23$
2. $23 \cdot 3 = 69$
3. $69 - 25 = 44$

Ответ: 44

Запишите выражение, убрав лишние скобки:

а) $ (10 \cdot 5) + (75 : 3) $;

б) $ (25 + 20) - (16 + 12) $.

а) Исходное выражение: $(10 \cdot 5) + (75 : 3)$.
Согласно правилам порядка выполнения арифметических действий, умножение и деление имеют более высокий приоритет, чем сложение и вычитание, и выполняются в первую очередь.
В выражении без скобок $10 \cdot 5 + 75 : 3$ сначала будут выполнены умножение $10 \cdot 5$ и деление $75 : 3$, а затем их результаты будут сложены.
Поскольку скобки в исходном выражении не меняют естественный порядок действий, они являются лишними и их можно убрать.
Вычисление с скобками: $(10 \cdot 5) + (75 : 3) = 50 + 25 = 75$.
Вычисление без скобок: $10 \cdot 5 + 75 : 3 = 50 + 25 = 75$.
Результаты совпадают.
Ответ: $10 \cdot 5 + 75 : 3$

б) Исходное выражение: $(25 + 20) - (16 + 12)$.
Проанализируем необходимость каждой пары скобок.
1. Первые скобки $(25 + 20)$. Если их убрать, выражение примет вид $25 + 20 - (16 + 12)$. При вычислении выражения, действия сложения и вычитания выполняются по порядку слева направо. Поэтому действие $25 + 20$ все равно будет выполнено первым. Следовательно, эти скобки являются лишними.
2. Вторые скобки $(16 + 12)$. Они стоят после знака вычитания. Это означает, что из результата первого действия нужно вычесть сумму чисел 16 и 12. Если убрать эти скобки, то выражение будет выглядеть так: $25 + 20 - 16 + 12$. Порядок действий изменится: мы вычтем 16, а затем прибавим 12.
Сравним результаты вычислений:
Исходное выражение: $(25 + 20) - (16 + 12) = 45 - 28 = 17$.
Выражение без второй пары скобок: $25 + 20 - 16 + 12 = 45 - 16 + 12 = 29 + 12 = 41$.
Поскольку результаты различны, вторая пара скобок не является лишней, и ее убирать нельзя.
Таким образом, убрать можно только первую пару скобок.
Ответ: $25 + 20 - (16 + 12)$

ДЕЙСТВУЕМ ПО ПРАВИЛУ (3.64–3.66)

3.64 Найдите значение выражения:

а) $2307 - 453 + 636;$

б) $734 + 2586 - 1090 + 175;$

в) $7488 \div 144 \div 4 \cdot 20;$

г) $6400 \div 16 \cdot 50 \div 125.$

а) $2307 - 453 + 636$

В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание, действия выполняются по порядку слева направо.

1) Сначала выполним вычитание: $2307 - 453 = 1854$.

2) Затем к результату прибавим 636: $1854 + 636 = 2490$.

Ответ: 2490

б) $734 + 2586 - 1090 + 175$

Действия выполняются по порядку слева направо.

1) Выполним первое сложение: $734 + 2586 = 3320$.

2) Из полученного результата вычтем 1090: $3320 - 1090 = 2230$.

3) К результату прибавим 175: $2230 + 175 = 2405$.

Ответ: 2405

в) $7488 : 144 : 4 \cdot 20$

В выражениях без скобок, содержащих только умножение и деление, действия выполняются по порядку слева направо.

1) Выполним первое деление: $7488 : 144 = 52$.

2) Полученный результат разделим на 4: $52 : 4 = 13$.

3) Результат умножим на 20: $13 \cdot 20 = 260$.

Ответ: 260

г) $6400 : 16 \cdot 50 : 125$

Действия выполняются по порядку слева направо.

1) Выполним деление: $6400 : 16 = 400$.

2) Полученный результат умножим на 50: $400 \cdot 50 = 20000$.

3) Результат разделим на 125: $20000 : 125 = 160$.

Ответ: 160

3.65 Укажите порядок действий и выполните вычисления:

1) $15 + 15 \cdot 10 - 10;$

2) $(15 + 15) \cdot 10 - 10;$

3) $(15 + 15) \cdot (10 - 10);$

4) $15 + 15 \cdot (10 - 10).$

Чем похожи и чем различаются эти выражения?

1) $15 + 15 \cdot 10 - 10$

Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняются умножение и деление, а затем сложение и вычитание в порядке их следования слева направо.

1. Первое действие – умножение: $15 \cdot 10 = 150$.
Выражение принимает вид: $15 + 150 - 10$.

2. Второе действие – сложение: $15 + 150 = 165$.
Выражение принимает вид: $165 - 10$.

3. Третье действие – вычитание: $165 - 10 = 155$.

Ответ: 155

2) $(15 + 15) \cdot 10 - 10$

Действия в скобках выполняются в первую очередь.

1. Первое действие (в скобках): $15 + 15 = 30$.
Выражение принимает вид: $30 \cdot 10 - 10$.

2. Второе действие – умножение: $30 \cdot 10 = 300$.
Выражение принимает вид: $300 - 10$.

3. Третье действие – вычитание: $300 - 10 = 290$.

Ответ: 290

3) $(15 + 15) \cdot (10 - 10)$

Сначала выполняются действия в каждой из скобок.

1. Первое действие (в первой скобке): $15 + 15 = 30$.

2. Второе действие (во второй скобке): $10 - 10 = 0$.

3. Третье действие – умножение результатов: $30 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

4) $15 + 15 \cdot (10 - 10)$

Сначала выполняется действие в скобках, затем умножение, и в последнюю очередь – сложение.

1. Первое действие (в скобках): $10 - 10 = 0$.
Выражение принимает вид: $15 + 15 \cdot 0$.

2. Второе действие – умножение: $15 \cdot 0 = 0$.
Выражение принимает вид: $15 + 0$.

3. Третье действие – сложение: $15 + 0 = 15$.

Ответ: 15

Чем похожи и чем различаются эти выражения?

Сходства:
Все четыре выражения состоят из одних и тех же чисел (две 15 и две 10) и используют одни и те же арифметические действия (сложение, вычитание, умножение).

Различия:
Выражения различаются наличием и расстановкой скобок. Это, в свою очередь, изменяет порядок выполнения действий. Из-за разного порядка действий получаются совершенно разные результаты: 155, 290, 0 и 15.

3.66 В каком случае неправильно указан порядок действий?

1) $12 \overset{\textcircled{1}}{\cdot} 24 + \overset{\textcircled{3}}{72} : \overset{\textcircled{2}}{4};$

2) $17 \overset{\textcircled{2}}{\cdot} 85 - (\overset{\textcircled{3}}{63} - \overset{\textcircled{1}}{29});$

3) $27 + (\overset{\textcircled{3}}{58} - \overset{\textcircled{1}}{7}) \overset{\textcircled{2}}{\cdot} 6;$

4) $100 - (\overset{\textcircled{3}}{25} + 90 \overset{\textcircled{1}}{:} \overset{\textcircled{2}}{5}).$

Чтобы определить, в каком случае неправильно указан порядок действий, проанализируем каждый пример, следуя общепринятым правилам порядка выполнения арифметических операций:

1. Действия в скобках.
2. Умножение и деление (слева направо).
3. Сложение и вычитание (слева направо).

1) $12 \cdot 24 + 72 : 4$

В этом выражении нет скобок. Сначала выполняются умножение и деление, а затем сложение.
Первое действие: $12 \cdot 24$ (умножение).
Второе действие: $72 : 4$ (деление).
Третье действие: сложение результатов первого и второго действий.
Указанный в примере порядок (① умножение, ② деление, ③ сложение) является правильным.
Ответ: порядок действий указан верно.

2) $17 \cdot 85 - (63 - 29)$

Сначала выполняется действие в скобках.
Первое действие: $63 - 29$ (в скобках).
Затем выполняется умножение.
Второе действие: $17 \cdot 85$ (умножение).
Последним выполняется вычитание.
Третье действие: из результата второго действия вычитается результат первого.
Указанный в примере порядок (① действие в скобках, ② умножение, ③ вычитание) является правильным.
Ответ: порядок действий указан верно.

3) $27 + (58 - 7) \cdot 6$

Сначала выполняется действие в скобках.
Первое действие: $58 - 7$.
Затем выполняется умножение.
Второе действие: результат первого действия умножается на $6$.
Последним выполняется сложение.
Третье действие: к $27$ прибавляется результат второго действия.
Указанный в примере порядок (① действие в скобках, ② умножение, ③ сложение) является правильным.
Ответ: порядок действий указан верно.

4) $100 - (25 + 90 : 5)$

Сначала необходимо выполнить действия в скобках. Внутри скобок также соблюдается порядок действий: сначала деление, затем сложение.
Правильный порядок:
Первое действие: $90 : 5$ (деление в скобках).
Второе действие: $25 +$ (результат первого действия) (сложение в скобках).
Третье действие: $100 -$ (результат второго действия) (вычитание).
В примере указан следующий порядок: ① $25 + 90$, ② деление на $5$, ③ вычитание из $100$. Это неверно, так как внутри скобок деление должно выполняться раньше сложения.
Ответ: порядок действий указан неверно.

Таким образом, неправильно указан порядок действий в случае 4.

3.67 РАССУЖДАЕМ Попробуйте сравнить значения выражений, не выполняя вычислений. Расскажите, как вы рассуждали. Проверьте себя с помощью вычислений:

а) $1200 - (432 - 153)$ и $1200 - 432 - 153$;

б) $6480 : 15 \cdot 24$ и $6480 : (15 \cdot 24)$.

а) Сравним значения выражений $1200 - (432 - 153)$ и $1200 - 432 - 153$.

Рассуждение без вычислений:
В первом выражении $1200 - (432 - 153)$ из числа 1200 вычитается разность чисел 432 и 153. Если раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «минус», то знаки слагаемых внутри скобок изменятся на противоположные. Выражение примет вид: $1200 - 432 + 153$.

Второе выражение $1200 - 432 - 153$ можно оставить без изменений.

Сравним полученные выражения: $1200 - 432 + 153$ и $1200 - 432 - 153$. Часть $1200 - 432$ у них одинаковая. В первом случае к результату этой части мы прибавляем 153, а во втором — вычитаем 153. Очевидно, что прибавление числа даст больший результат, чем его вычитание. Следовательно, значение первого выражения больше, чем значение второго.

Проверка с помощью вычислений:
1) $1200 - (432 - 153) = 1200 - 279 = 921$.
2) $1200 - 432 - 153 = 768 - 153 = 615$.
Сравнивая результаты, получаем $921 > 615$. Рассуждения оказались верными.

Ответ: $1200 - (432 - 153) > 1200 - 432 - 153$.

б) Сравним значения выражений $6480 : 15 \cdot 24$ и $6480 : (15 \cdot 24)$.

Рассуждение без вычислений:
В первом выражении $6480 : 15 \cdot 24$ действия выполняются последовательно слева направо: сначала деление, потом умножение. То есть, мы сначала делим 6480 на 15, а затем полученный результат умножаем на 24.

Во втором выражении $6480 : (15 \cdot 24)$ из-за скобок сначала выполняется умножение, а затем деление. То есть, мы делим 6480 на произведение чисел 15 и 24. Это выражение можно представить как $6480 : 15 : 24$.

Сравним выражения: $(6480 : 15) \cdot 24$ и $(6480 : 15) : 24$. Общая часть в обоих выражениях — это $(6480 : 15)$. В первом случае этот результат умножается на 24, а во втором — делится на 24. Умножение положительного числа на 24 даст значительно больший результат, чем деление на 24. Следовательно, значение первого выражения больше, чем значение второго.

Проверка с помощью вычислений:
1) $6480 : 15 \cdot 24 = 432 \cdot 24 = 10368$.
2) $6480 : (15 \cdot 24) = 6480 : 360 = 18$.
Сравнивая результаты, получаем $10368 > 18$. Рассуждения оказались верными.

Ответ: $6480 : 15 \cdot 24 > 6480 : (15 \cdot 24)$.

РАБОТАЕМ С ТЕРМИНАМИ И СИМВОЛАМИ (3.68–3.69)

3.68 Прочитайте выражения, используя термины «сумма», «разность», «произведение», «частное», и найдите их значения:

a) $(174 + 29) \cdot (18 + 83)$ и $174 + 29 \cdot 18 + 83$;

б) $840 : 8 + 97$ и $840 : (8 + 97)$.

а)

Первое выражение: $(174 + 29) \cdot (18 + 83)$.
Это выражение читается как произведение суммы чисел 174 и 29 и суммы чисел 18 и 83.
Найдем его значение, соблюдая порядок действий (сначала в скобках, затем умножение):
1) $174 + 29 = 203$
2) $18 + 83 = 101$
3) $203 \cdot 101 = 20503$
Ответ: 20503

Второе выражение: $174 + 29 \cdot 18 + 83$.
Это выражение читается как сумма числа 174, произведения чисел 29 и 18, и числа 83.
Найдем его значение, соблюдая порядок действий (сначала умножение, затем сложение):
1) $29 \cdot 18 = 522$
2) $174 + 522 + 83 = 696 + 83 = 779$
Ответ: 779

б)

Первое выражение: $840 : 8 + 97$.
Это выражение читается как сумма частного чисел 840 и 8 и числа 97.
Найдем его значение (сначала деление, затем сложение):
1) $840 : 8 = 105$
2) $105 + 97 = 202$
Ответ: 202

Второе выражение: $840 : (8 + 97)$.
Это выражение читается как частное числа 840 и суммы чисел 8 и 97.
Найдем его значение (сначала действие в скобках, затем деление):
1) $8 + 97 = 105$
2) $840 : 105 = 8$
Ответ: 8

3.69 Составьте выражение и найдите его значение:

а) сумма произведения $24 \cdot 11$ и частного $96 : 3$;

б) разность числа $510$ и суммы $236 + 128$;

в) произведение суммы $27 + 13$ и разности $52 - 22$;

г) частное суммы $31 + 29$ и числа $30$.

а)

Составим выражение для суммы произведения $24 \cdot 11$ и частного $96:3$:
$(24 \cdot 11) + (96:3)$.
Теперь найдем его значение, выполняя действия по порядку:
1) $24 \cdot 11 = 264$
2) $96 : 3 = 32$
3) $264 + 32 = 296$
Ответ: 296

б)

Составим выражение для разности числа 510 и суммы $236 + 128$:
$510 - (236 + 128)$.
Найдем его значение:
1) $236 + 128 = 364$
2) $510 - 364 = 146$
Ответ: 146

в)

Составим выражение для произведения суммы $27 + 13$ и разности $52 - 22$:
$(27 + 13) \cdot (52 - 22)$.
Вычислим значение по действиям:
1) $27 + 13 = 40$
2) $52 - 22 = 30$
3) $40 \cdot 30 = 1200$
Ответ: 1200

г)

Составим выражение для частного суммы $31 + 29$ и числа 30:
$(31 + 29) : 30$.
Вычислим его значение:
1) $31 + 29 = 60$
2) $60 : 30 = 2$
Ответ: 2