Номер 3.63, страница 60 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 3. Действия с натуральными числами. 3.2. Умножение и деление. Упражнения - номер 3.63, страница 60.

Условие.

3.63 Наблюдаем и анализируем

Окна, расположенные на центральной башне церкви, построенной в готическом стиле (рис. 3.4, а), имеют форму, показанную на рисунке 3.4, б. Воспроизведите рисунок, задав ширину окна самостоятельно.

Подсказка. Радиус самой маленькой окружности в 6 раз меньше ширины окна.

а) б) Рис. 3.4

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для воспроизведения рисунка готического окна необходимо выполнить ряд геометрических построений, используя заданные соотношения. В основе рисунка лежит большая полуокружность, в которую вписаны две меньшие полуокружности и одна окружность.

Построение

1. Определение основных параметров.
Сначала зададим ширину окна, обозначив ее как $W$. Пусть, для примера, $W = 18$ см. Эта ширина является диаметром большой полуокружности, которая образует арку окна.Радиус большой полуокружности, $R$, будет равен половине ее диаметра:$R = W/2 = 18/2 = 9$ см.

2. Расчет радиусов вписанных фигур.
На основании большой полуокружности расположены две одинаковые меньшие полуокружности. Их суммарный диаметр равен диаметру большой полуокружности. Следовательно, диаметр каждой меньшей полуокружности равен $R$, а их радиус, $r_1$, равен:$r_1 = R/2 = 9/2 = 4.5$ см.
В задаче дана подсказка: радиус самой маленькой окружности, $r_2$, в 6 раз меньше ширины окна.$r_2 = W/6 = 18/6 = 3$ см.

3. Проверка соотношений и нахождение центра маленькой окружности.
Проверим, согласуется ли это значение с геометрией рисунка. Установим систему координат так, чтобы центр основания окна (и центр большой полуокружности) находился в точке $(0, 0)$.
Из соображений симметрии, центр маленькой окружности должен лежать на оси $y$, пусть его координаты $(0, y_c)$.Так как маленькая окружность касается большой полуокружности изнутри, расстояние между их центрами равно разности их радиусов:$y_c = R - r_2$.
Маленькая окружность также касается двух меньших полуокружностей снаружи. Центр правой меньшей полуокружности находится в точке $(r_1, 0) = (R/2, 0)$. Расстояние между центрами маленькой и правой меньшей окружности должно быть равно сумме их радиусов:$\sqrt{(R/2 - 0)^2 + (0 - y_c)^2} = r_1 + r_2 = R/2 + r_2$.
Подставим $y_c = R - r_2$ в это уравнение и возведем обе части в квадрат:$(R/2)^2 + (R - r_2)^2 = (R/2 + r_2)^2$$R^2/4 + R^2 - 2Rr_2 + r_2^2 = R^2/4 + Rr_2 + r_2^2$$R^2 - 2Rr_2 = Rr_2$$R^2 = 3Rr_2$
Отсюда получаем, что $r_2 = R/3$.Если подставить $R = W/2$, то $r_2 = (W/2)/3 = W/6$. Это подтверждает правильность подсказки.Теперь найдем координату центра маленькой окружности:$y_c = R - r_2 = 9 - 3 = 6$ см.

4. Пошаговая инструкция для рисования.
1. Начертите горизонтальный отрезок $AB$ длиной $W=18$ см. 2. Найдите его середину, точку $O$. 3. Из точки $O$ как из центра проведите полуокружность радиусом $R=9$ см над отрезком $AB$. 4. Разделите отрезок $AB$ на четыре равные части точками $O_1$ и $O_2$ (точка $O_1$ - середина $AO$, точка $O_2$ - середина $OB$). 5. Из точки $O_1$ как из центра проведите полуокружность радиусом $r_1=4.5$ см над отрезком $AO$. 6. Аналогично, из точки $O_2$ проведите полуокружность радиусом $r_1=4.5$ см над отрезком $OB$. 7. От точки $O$ вверх по оси симметрии отложите отрезок длиной $y_c = 6$ см и отметьте точку $O_3$. Это будет центр маленькой окружности. 8. Из точки $O_3$ как из центра проведите окружность радиусом $r_2=3$ см.

Ответ: Для воспроизведения рисунка необходимо задать ширину окна $W$. Затем построить большую полуокружность с радиусом $R = W/2$. На ее основании построить две меньшие полуокружности с радиусами $r_1 = R/2 = W/4$. Наконец, вписать между тремя дугами окружность с радиусом $r_2 = R/3 = W/6$. Центр этой окружности будет находиться на оси симметрии на расстоянии $y_c = 2R/3 = W/3$ от основания окна.