Номер 3.63, страница 60 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 3.2. Умножение и деление. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 3.63, страница 60.

3.63 Наблюдаем и анализируем

Окна, расположенные на центральной башне церкви, построенной в готическом стиле (рис. 3.4, а), имеют форму, показанную на рисунке 3.4, б. Воспроизведите рисунок, задав ширину окна самостоятельно.

Подсказка. Радиус самой маленькой окружности в 6 раз меньше ширины окна.

а) б) Рис. 3.4

Для воспроизведения рисунка готического окна необходимо выполнить ряд геометрических построений, используя заданные соотношения. В основе рисунка лежит большая полуокружность, в которую вписаны две меньшие полуокружности и одна окружность.

Построение

1. Определение основных параметров.
Сначала зададим ширину окна, обозначив ее как $W$. Пусть, для примера, $W = 18$ см. Эта ширина является диаметром большой полуокружности, которая образует арку окна.Радиус большой полуокружности, $R$, будет равен половине ее диаметра:$R = W/2 = 18/2 = 9$ см.

2. Расчет радиусов вписанных фигур.
На основании большой полуокружности расположены две одинаковые меньшие полуокружности. Их суммарный диаметр равен диаметру большой полуокружности. Следовательно, диаметр каждой меньшей полуокружности равен $R$, а их радиус, $r_1$, равен:$r_1 = R/2 = 9/2 = 4.5$ см.
В задаче дана подсказка: радиус самой маленькой окружности, $r_2$, в 6 раз меньше ширины окна.$r_2 = W/6 = 18/6 = 3$ см.

3. Проверка соотношений и нахождение центра маленькой окружности.
Проверим, согласуется ли это значение с геометрией рисунка. Установим систему координат так, чтобы центр основания окна (и центр большой полуокружности) находился в точке $(0, 0)$.
Из соображений симметрии, центр маленькой окружности должен лежать на оси $y$, пусть его координаты $(0, y_c)$.Так как маленькая окружность касается большой полуокружности изнутри, расстояние между их центрами равно разности их радиусов:$y_c = R - r_2$.
Маленькая окружность также касается двух меньших полуокружностей снаружи. Центр правой меньшей полуокружности находится в точке $(r_1, 0) = (R/2, 0)$. Расстояние между центрами маленькой и правой меньшей окружности должно быть равно сумме их радиусов:$\sqrt{(R/2 - 0)^2 + (0 - y_c)^2} = r_1 + r_2 = R/2 + r_2$.
Подставим $y_c = R - r_2$ в это уравнение и возведем обе части в квадрат:$(R/2)^2 + (R - r_2)^2 = (R/2 + r_2)^2$$R^2/4 + R^2 - 2Rr_2 + r_2^2 = R^2/4 + Rr_2 + r_2^2$$R^2 - 2Rr_2 = Rr_2$$R^2 = 3Rr_2$
Отсюда получаем, что $r_2 = R/3$.Если подставить $R = W/2$, то $r_2 = (W/2)/3 = W/6$. Это подтверждает правильность подсказки.Теперь найдем координату центра маленькой окружности:$y_c = R - r_2 = 9 - 3 = 6$ см.

4. Пошаговая инструкция для рисования.
1. Начертите горизонтальный отрезок $AB$ длиной $W=18$ см. 2. Найдите его середину, точку $O$. 3. Из точки $O$ как из центра проведите полуокружность радиусом $R=9$ см над отрезком $AB$. 4. Разделите отрезок $AB$ на четыре равные части точками $O_1$ и $O_2$ (точка $O_1$ - середина $AO$, точка $O_2$ - середина $OB$). 5. Из точки $O_1$ как из центра проведите полуокружность радиусом $r_1=4.5$ см над отрезком $AO$. 6. Аналогично, из точки $O_2$ проведите полуокружность радиусом $r_1=4.5$ см над отрезком $OB$. 7. От точки $O$ вверх по оси симметрии отложите отрезок длиной $y_c = 6$ см и отметьте точку $O_3$. Это будет центр маленькой окружности. 8. Из точки $O_3$ как из центра проведите окружность радиусом $r_2=3$ см.

Ответ: Для воспроизведения рисунка необходимо задать ширину окна $W$. Затем построить большую полуокружность с радиусом $R = W/2$. На ее основании построить две меньшие полуокружности с радиусами $r_1 = R/2 = W/4$. Наконец, вписать между тремя дугами окружность с радиусом $r_2 = R/3 = W/6$. Центр этой окружности будет находиться на оси симметрии на расстоянии $y_c = 2R/3 = W/3$ от основания окна.