Номер 3.59, страница 59 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 3.2. Умножение и деление. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 3.59, страница 59.

3.59 Изобразите схематически с помощью рисунка условие задачи, спланируйте ход решения и решите её:

а) Пётр идёт от дома до станции метро, расстояние до которой равно 1 км 700 м. Через 16 мин после выхода ему остаётся пройти 340 м. Сколько минут занимает у Петра весь путь от дома до метро?

б) Андрей идёт от дома до станции метро. Через 8 мин после выхода ему остаётся пройти 560 м, через 12 мин – 240 м. Сколько минут занимает у Андрея вся дорога и чему равно расстояние от дома до станции?

а)

Схематическое изображение условия:
Представим путь Петра в виде отрезка прямой, где начальная точка — «Дом», а конечная — «Метро». Общая длина этого отрезка составляет 1 км 700 м. Через 16 минут Пётр находится в некоторой точке на этом отрезке, и расстояние от этой точки до «Метро» равно 340 м.

План решения:
1. Переведём общее расстояние в метры для удобства вычислений.
2. Найдём расстояние, которое Пётр уже прошёл за 16 минут.
3. Вычислим скорость движения Петра (предполагая, что она постоянна).
4. Зная скорость и общее расстояние, найдём общее время, необходимое для всего пути.

Решение:
1. Общее расстояние от дома до метро $S_{общ}$ равно:
$S_{общ} = 1 \text{ км} \ 700 \text{ м} = 1000 \text{ м} + 700 \text{ м} = 1700 \text{ м}$.
2. Через 16 минут Петру осталось пройти $S_{ост} = 340 \text{ м}$. Значит, он уже прошёл расстояние $S_{пройд}$:
$S_{пройд} = S_{общ} - S_{ост} = 1700 \text{ м} - 340 \text{ м} = 1360 \text{ м}$.
3. Найдём скорость Петра ($v$), разделив пройденное им расстояние на затраченное время $t = 16 \text{ мин}$:
$v = \frac{S_{пройд}}{t} = \frac{1360 \text{ м}}{16 \text{ мин}} = 85 \text{ м/мин}$.
4. Теперь, зная скорость, мы можем найти общее время в пути $T_{общ}$, разделив общее расстояние на эту скорость:
$T_{общ} = \frac{S_{общ}}{v} = \frac{1700 \text{ м}}{85 \text{ м/мин}} = 20 \text{ мин}$.

Ответ: 20 минут занимает у Петра весь путь от дома до метро.

б)

Схематическое изображение условия:
Путь Андрея также представим в виде отрезка «Дом» — «Метро». На этом пути есть две контрольные точки:
- Положение Андрея через 8 минут после выхода, откуда до «Метро» остаётся 560 м.
- Положение Андрея через 12 минут после выхода, откуда до «Метро» остаётся 240 м.

План решения:
1. Найдём, какое расстояние прошёл Андрей за промежуток времени с 8-й по 12-ю минуту.
2. Вычислим скорость движения Андрея.
3. Зная скорость, найдём общее расстояние от дома до станции.
4. Зная общее расстояние и скорость, найдём общее время в пути.

Решение:
1. Найдём, какое расстояние прошёл Андрей и сколько времени он на это потратил между двумя отметками.
Промежуток времени: $\Delta t = 12 \text{ мин} - 8 \text{ мин} = 4 \text{ мин}$.
За это время оставшееся расстояние уменьшилось, значит, он прошёл:
$\Delta S = 560 \text{ м} - 240 \text{ м} = 320 \text{ м}$.
2. Вычислим скорость Андрея ($v$), которая, как мы предполагаем, постоянна:
$v = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{320 \text{ м}}{4 \text{ мин}} = 80 \text{ м/мин}$.
3. Теперь найдём полное расстояние до станции ($S_{общ}$). Через 8 минут ($t_1 = 8 \text{ мин}$) ему оставалось пройти $S_{ост_1} = 560 \text{ м}$. Узнаем, сколько он прошёл за эти 8 минут:
$S_{пройд_1} = v \times t_1 = 80 \text{ м/мин} \times 8 \text{ мин} = 640 \text{ м}$.
Полное расстояние равно сумме пройденного и оставшегося пути:
$S_{общ} = S_{пройд_1} + S_{ост_1} = 640 \text{ м} + 560 \text{ м} = 1200 \text{ м}$.
4. Найдём общее время в пути ($T_{общ}$), разделив общее расстояние на скорость:
$T_{общ} = \frac{S_{общ}}{v} = \frac{1200 \text{ м}}{80 \text{ м/мин}} = 15 \text{ мин}$.

Ответ: вся дорога у Андрея занимает 15 минут, а расстояние от дома до станции равно 1200 м.