Страница 71 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.122 Найдите значение выражения:

a) $510 \div 17 + 14 \cdot (48 - 80 \div 4);$

б) $20 \cdot 15 + 35 \cdot 15 - 3110 \div 51.$

а) $510 : 17 + 14 \cdot (48 - 80 : 4)$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках (внутри скобок сначала деление, затем вычитание), затем умножение и деление слева направо, и в конце сложение.
1. Выполним деление в скобках: $80 : 4 = 20$.
2. Выполним вычитание в скобках: $48 - 20 = 28$.
3. Теперь выражение выглядит так: $510 : 17 + 14 \cdot 28$.
4. Выполним деление: $510 : 17 = 30$.
5. Выполним умножение: $14 \cdot 28 = 392$.
6. Выполним сложение: $30 + 392 = 422$.
Ответ: 422

б) $20 \cdot 15 + 35 \cdot 15 - 31110 : 51$

В этом выражении сначала выполняются умножение и деление слева направо, а затем сложение и вычитание слева направо. Для упрощения вычислений можно использовать распределительный закон умножения (вынести общий множитель за скобки).
1. Вынесем общий множитель 15 за скобки: $20 \cdot 15 + 35 \cdot 15 = (20 + 35) \cdot 15$.
2. Выполним сложение в скобках: $20 + 35 = 55$.
3. Выполним умножение: $55 \cdot 15 = 825$.
4. Теперь выполним деление в исходном выражении: $31110 : 51 = 610$.
5. Выражение принимает вид: $825 - 610$.
6. Выполним вычитание: $825 - 610 = 215$.
Ответ: 215

3.123 а) Запишите все чётные трёхзначные числа, которые можно составить, используя только цифры 1, 2, 3, 4, причём цифры в числе должны быть различны. Сколько всего таких чисел имеется?

б) Сколько существует нечётных трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, причём так, чтобы цифры в числе были различны? Выпишите эти числа.

а) Необходимо составить все чётные трёхзначные числа из цифр 1, 2, 3, 4, при условии, что цифры в числе не повторяются.

Число является чётным, если его последняя цифра (цифра в разряде единиц) — чётная. В данном наборе {1, 2, 3, 4} чётными являются цифры 2 и 4. Это означает, что искомые числа должны оканчиваться либо на 2, либо на 4.

Рассмотрим оба варианта:

1. Число оканчивается на 2.
Разряд единиц занят цифрой 2. Для разрядов сотен и десятков остаются цифры {1, 3, 4}.
На место сотен можно поставить любую из 3-х оставшихся цифр.
После выбора цифры для сотен, на место десятков останется 2 варианта.
Таким образом, количество чисел, оканчивающихся на 2, равно $3 \times 2 = 6$.
Перечислим их: 132, 142, 312, 342, 412, 432.

2. Число оканчивается на 4.
Разряд единиц занят цифрой 4. Для разрядов сотен и десятков остаются цифры {1, 2, 3}.
Аналогично, на место сотен есть 3 варианта, а на место десятков — 2.
Количество чисел, оканчивающихся на 4, равно $3 \times 2 = 6$.
Перечислим их: 124, 134, 214, 234, 314, 324.

Общее количество таких чисел равно сумме чисел из обоих случаев: $6 + 6 = 12$.

Все чётные трёхзначные числа, которые можно составить: 124, 132, 134, 142, 214, 234, 312, 314, 324, 342, 412, 432.

Ответ: 124, 132, 134, 142, 214, 234, 312, 314, 324, 342, 412, 432. Всего имеется 12 таких чисел.

б) Необходимо найти количество нечётных трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4 без повторений, и выписать эти числа.

Число является нечётным, если его последняя цифра — нечётная. В наборе {1, 2, 3, 4} нечётными являются цифры 1 и 3.

Рассмотрим оба варианта:

1. Число оканчивается на 1.
Разряд единиц занят цифрой 1. Для разрядов сотен и десятков остаются цифры {2, 3, 4}.
Количество вариантов для сотен — 3, для десятков — 2.
Всего чисел, оканчивающихся на 1: $3 \times 2 = 6$.
Это числа: 231, 241, 321, 341, 421, 431.

2. Число оканчивается на 3.
Разряд единиц занят цифрой 3. Для разрядов сотен и десятков остаются цифры {1, 2, 4}.
Количество вариантов для сотен — 3, для десятков — 2.
Всего чисел, оканчивающихся на 3: $3 \times 2 = 6$.
Это числа: 123, 143, 213, 243, 413, 423.

Общее количество нечётных трёхзначных чисел: $6 + 6 = 12$.

Все нечётные трёхзначные числа, которые можно составить: 123, 143, 213, 231, 241, 243, 321, 341, 413, 421, 423, 431.

Ответ: Существует 12 нечётных трёхзначных чисел. Вот они: 123, 143, 213, 231, 241, 243, 321, 341, 413, 421, 423, 431.

3.124 ИЩЕМ СХОДСТВО И РАЗЛИЧИЕ Чем схожи и чем различаются две линии, изображённые на рисунке 3.9? Перерисуйте этих «бабочек» на нелинованный лист бумаги.

Для полного и точного ответа на данный вопрос необходимо изображение из рисунка 3.92, которое отсутствует. Решение ниже основано на гипотетическом, но вероятном в учебном контексте, предположении о содержании рисунка. Допустим, на нем сравниваются две фигуры-«бабочки»: первая образована двумя пересекающимися прямыми, заданными уравнением $y^2 = x^2$ (т.е. $y = x$ и $y = -x$), а вторая — двумя параболами с общей вершиной, заданными уравнением $y^2 = x^4$ (т.е. $y = x^2$ и $y = -x^2$).

Сходства и различия линий

Сходства: Обе фигуры обладают высокой степенью симметрии: они симметричны относительно оси абсцисс (Ox), оси ординат (Oy) и начала координат (центральная симметрия). Обе проходят через точку $(0, 0)$. Визуально обе фигуры напоминают «бабочку» или «бант» и являются неограниченными.

Различия: Основное различие заключается в типе линий, образующих фигуры. Первая «бабочка» состоит из двух прямых, а вторая — из двух кривых (парабол). Как следствие, форма «крыльев» у них разная: у первой они прямолинейные, у второй — изогнутые. Фигуры описываются уравнениями разной степени: $x^2 - y^2 = 0$ (вторая степень) и $x^4 - y^2 = 0$ (четвертая степень). Вблизи начала координат прямые пересекаются под прямым углом, в то время как параболы имеют общую касательную (ось Ox), из-за чего вторая фигура выглядит более «плоской» в центре.

Ответ: Сходства заключаются в симметрии, прохождении через начало координат и общем внешнем виде. Различия — в типе составляющих линий (прямые против кривых), их форме, алгебраическом описании и поведении вблизи центра.

Перерисовка «бабочек»

Для перерисовки фигур на нелинованный лист бумаги следует построить их графики в декартовой системе координат.

Первая «бабочка» (из прямых): Начертите оси Ox и Oy. Постройте прямую $y = x$ (биссектриса I и III координатных углов, проходит через точки $(1,1), (2,2)$) и прямую $y = -x$ (биссектриса II и IV координатных углов, проходит через точки $(1,-1), (2,-2)$). Две пересекающиеся прямые образуют искомую фигуру.

Вторая «бабочка» (из парабол): Начертите оси Ox и Oy. Постройте параболу $y = x^2$ с вершиной в $(0,0)$ и ветвями вверх (проходит через точки $(\pm 1, 1), (\pm 2, 4)$). Затем постройте параболу $y = -x^2$, симметричную первой относительно оси Ox, с ветвями вниз (проходит через точки $(\pm 1, -1), (\pm 2, -4)$). Две параболы с общей вершиной образуют вторую фигуру.

Ответ: Перерисовка заключается в построении на координатной плоскости графиков соответствующих линий: для первой фигуры — двух пересекающихся прямых $y = \pm x$, для второй — двух парабол $y = \pm x^2$.