Страница 78 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

3.147 a) Скорость катера по течению реки 22 км/ч, а против течения – 18 км/ч. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера.

б) По течению реки моторная лодка проплыла 48 км за 3 ч, а против течения – за 4 ч. Найдите скорость течения реки.

в) Катер проплыл 72 км между пристанями по течению реки за 2 ч, а против течения – за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты?

а)

Пусть $v_{соб}$ — собственная скорость катера, а $v_{теч}$ — скорость течения реки.

Скорость катера по течению реки ($v_{по}$) — это сумма его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{соб} + v_{теч}$.

Скорость катера против течения ($v_{против}$) — это разность его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_{соб} - v_{теч}$.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_{соб} + v_{теч} = 22 \\ v_{соб} - v_{теч} = 18 \end{cases}$

Чтобы найти собственную скорость катера, сложим оба уравнения:

$(v_{соб} + v_{теч}) + (v_{соб} - v_{теч}) = 22 + 18$

$2 \cdot v_{соб} = 40$

$v_{соб} = \frac{40}{2} = 20$ км/ч.

Чтобы найти скорость течения реки, вычтем из первого уравнения второе:

$(v_{соб} + v_{теч}) - (v_{соб} - v_{теч}) = 22 - 18$

$2 \cdot v_{теч} = 4$

$v_{теч} = \frac{4}{2} = 2$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки — 2 км/ч, собственная скорость катера — 20 км/ч.

б)

Сначала найдем скорость моторной лодки по течению и против течения, используя формулу скорости $v = \frac{S}{t}$, где $S$ — расстояние, а $t$ — время.

1. Скорость по течению ($v_{по}$): лодка проплыла 48 км за 3 ч.

$v_{по} = \frac{48 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 16$ км/ч.

2. Скорость против течения ($v_{против}$): это же расстояние лодка проплыла за 4 ч. Но в условии не сказано, что расстояние то же самое. Перечитаем: "а против течения — за 4 ч". Это подразумевает то же расстояние, но не сказано явно. Обычно в таких задачах расстояние то же. Но в задаче в) сказано: "это расстояние". А тут - нет. Однако, фраза "а против течения — за 4 ч" после "проплыла 48 км за 3 ч" подразумевает, что речь идет о том же расстоянии 48 км. Будем считать, что расстояние то же. (Примечание: Текст задачи немного неточен. Предполагается, что лодка проплыла то же расстояние 48 км против течения). Скорость против течения:

$v_{против} = \frac{48 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 12$ км/ч.

3. Теперь, зная скорости по течению и против течения, мы можем найти скорость течения реки ($v_{теч}$). Составим систему уравнений:

$\begin{cases} v_{соб} + v_{теч} = 16 \\ v_{соб} - v_{теч} = 12 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(v_{соб} + v_{теч}) - (v_{соб} - v_{теч}) = 16 - 12$

$2 \cdot v_{теч} = 4$

$v_{теч} = \frac{4}{2} = 2$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки — 2 км/ч.

в)

1. Найдем скорость катера по течению и против течения. Расстояние $S = 72$ км.

Скорость по течению ($v_{по}$), время в пути $t_{по} = 2$ ч:

$v_{по} = \frac{72 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 36$ км/ч.

Скорость против течения ($v_{против}$), время в пути $t_{против} = 3$ ч:

$v_{против} = \frac{72 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 24$ км/ч.

2. Найдем скорость течения реки ($v_{теч}$).

$\begin{cases} v_{соб} + v_{теч} = 36 \\ v_{соб} - v_{теч} = 24 \end{cases}$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$(v_{соб} + v_{теч}) - (v_{соб} - v_{теч}) = 36 - 24$

$2 \cdot v_{теч} = 12$

$v_{теч} = \frac{12}{2} = 6$ км/ч.

3. Плоты не имеют собственной скорости и движутся со скоростью течения реки. Следовательно, скорость плотов $v_{плотов} = v_{теч} = 6$ км/ч.

4. Найдем время, за которое плоты проплывут расстояние 72 км:

$t_{плотов} = \frac{S}{v_{плотов}} = \frac{72 \text{ км}}{6 \text{ км/ч}} = 12$ ч.

Ответ: плоты проплывут это расстояние за 12 часов.

3.148 Найдите значение выражения:

$3195 : 15 \cdot 24 - (16 \cdot 175 + (175 - 157) \cdot 106).$

Для решения данного примера необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках, затем умножение и деление, а после них — сложение и вычитание, двигаясь слева направо.

Исходное выражение: $3195 : 15 \cdot 24 - (16 \cdot 175 + (175 - 157) \cdot 106)$

1. Действия в скобках.

Начнем с вычисления во внутренних скобках:

$175 - 157 = 18$

Теперь подставим результат в основное выражение в скобках:

$16 \cdot 175 + 18 \cdot 106$

Выполним умножение:

$16 \cdot 175 = 2800$

$18 \cdot 106 = 1908$

Теперь выполним сложение:

$2800 + 1908 = 4708$

2. Деление и умножение.

После вычислений в скобках выражение принимает вид:

$3195 : 15 \cdot 24 - 4708$

Выполняем деление и умножение по порядку слева направо:

$3195 : 15 = 213$

$213 \cdot 24 = 5112$

3. Вычитание.

Теперь выполним последнее действие — вычитание:

$5112 - 4708 = 404$

Ответ: 404

3.149 1) Найдите квадрат числа 82. Используя полученный результат, вычислите: $820^2$, $8200^2$.

2) Значение какого из выражений больше и на сколько:

a) $3 \cdot 6^2$ или $(3 \cdot 6)^2$;

б) $(7 + 12)^2$ или $7^2 + 12^2$?

1)

Сначала найдем квадрат числа 82:

$82^2 = 82 \cdot 82 = 6724$

Теперь, используя этот результат, вычислим $820^2$ и $8200^2$.

Для $820^2$:

$820^2 = (82 \cdot 10)^2 = 82^2 \cdot 10^2 = 6724 \cdot 100 = 672400$

Для $8200^2$:

$8200^2 = (82 \cdot 100)^2 = 82^2 \cdot 100^2 = 6724 \cdot 10000 = 67240000$

Ответ: $82^2 = 6724$; $820^2 = 672400$; $8200^2 = 67240000$.

2)

а) Сравним значения выражений $3 \cdot 6^2$ и $(3 \cdot 6)^2$.

Вычислим значение первого выражения:

$3 \cdot 6^2 = 3 \cdot 36 = 108$

Вычислим значение второго выражения:

$(3 \cdot 6)^2 = 18^2 = 324$

Сравним полученные значения:

$324 > 108$

Найдем, на сколько второе выражение больше первого:

$324 - 108 = 216$

Ответ: значение выражения $(3 \cdot 6)^2$ больше на 216.

б) Сравним значения выражений $(7 + 12)^2$ и $7^2 + 12^2$.

Вычислим значение первого выражения:

$(7 + 12)^2 = 19^2 = 361$

Вычислим значение второго выражения:

$7^2 + 12^2 = 49 + 144 = 193$

Сравним полученные значения:

$361 > 193$

Найдем, на сколько первое выражение больше второго:

$361 - 193 = 168$

Разницу можно также найти, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Отсюда следует, что $(7+12)^2$ больше, чем $7^2+12^2$ на $2ab = 2 \cdot 7 \cdot 12 = 168$.

Ответ: значение выражения $(7 + 12)^2$ больше на 168.

3.150 Начертите отрезок $AB$. Отметьте точку $K$, не принадлежащую прямой $AB$. Проведите через точку $K$ прямую $b$, пересекающую отрезок $AB$, и прямую $d$, не пересекающую отрезок $AB$. Пересечёт ли прямая $d$, которую вы построили, прямую $AB$?

Сначала выполним пошаговое построение, описанное в условии задачи.
1. Начертим отрезок $AB$.
2. Отметим точку $K$, не принадлежащую прямой, содержащей отрезок $AB$.
3. Проведем через точку $K$ прямую $b$, которая пересекает отрезок $AB$. Для этого достаточно соединить точку $K$ с любой точкой, лежащей между $A$ и $B$.
4. Проведем через точку $K$ прямую $d$, которая не пересекает отрезок $AB$.

Теперь проанализируем и ответим на поставленный вопрос.

Пересечёт ли прямая d, которую вы построили, прямую AB?

Условие, что прямая $d$ проходит через точку $K$ и не пересекает отрезок $AB$, допускает два возможных варианта построения. От того, какой вариант выбран, и будет зависеть ответ.

Случай 1: Прямая $d$ параллельна прямой $AB$.
Согласно аксиоме параллельности, через точку $K$, не лежащую на прямой $AB$, можно провести единственную прямую $d$, параллельную прямой $AB$. По определению, параллельные прямые не пересекаются. Такое построение удовлетворяет условию, так как если прямая $d$ не пересекает всю прямую $AB$, то она, очевидно, не пересекает и её часть — отрезок $AB$. В этом случае прямая $d$ не пересечёт прямую $AB$.

Случай 2: Прямая $d$ не параллельна прямой $AB$.
Если две прямые на плоскости не параллельны, они обязательно пересекаются в одной точке. Пусть прямая $d$ пересекает прямую $AB$ в точке $P$. По условию задачи, прямая $d$ не должна пересекать отрезок $AB$. Это означает, что точка пересечения $P$ должна лежать на прямой $AB$, но вне отрезка $AB$. То есть точка $P$ находится на продолжении отрезка либо за точкой $A$, либо за точкой $B$. Такую прямую $d$ всегда можно построить. В этом случае прямая $d$ пересечёт прямую $AB$.

Таким образом, на поставленный вопрос нельзя дать однозначный ответ "да" или "нет", так как он зависит от способа построения прямой $d$.
Ответ: Прямая $d$ может как пересечь прямую $AB$, так и не пересечь её. Если прямая $d$ построена параллельно прямой $AB$, то она её не пересечёт. Если же прямая $d$ построена непараллельно прямой $AB$, то она обязательно её пересечёт в точке, лежащей вне отрезка $AB$.

Чему вы научились

Обязательные умения

Умею выполнять сложение, вычитание, умножение и деление многозначных чисел.

1. Выполните действия:

а) $2567 + 86305$;

б) $9231 - 574$;

в) $5420 \cdot 302$;

г) $3900 : 26$.

а) Чтобы сложить числа 2567 и 86305, запишем их в столбик, выравнивая по правому краю (единицы под единицами, десятки под десятками и так далее), и выполним сложение по разрядам.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & & & \overset{1}{} & \overset{1}{} & \\ & & 8 & 6 & 3 & 0 & 5 \\ & + & & 2 & 5 & 6 & 7 \\ \hline & & 8 & 8 & 8 & 7 & 2 \\ \end{array} $
1. Складываем единицы: $5 + 7 = 12$. 2 пишем в разряд единиц, 1 запоминаем (переносим в разряд десятков).
2. Складываем десятки: $0 + 6 + 1$ (запомненный) $= 7$. 7 пишем в разряд десятков.
3. Складываем сотни: $3 + 5 = 8$. 8 пишем в разряд сотен.
4. Складываем тысячи: $6 + 2 = 8$. 8 пишем в разряд тысяч.
5. Сносим 8 из разряда десятков тысяч.
Таким образом, $2567 + 86305 = 88872$.
Ответ: 88872.

б) Чтобы вычесть 574 из 9231, запишем числа в столбик (единицы под единицами и т.д.) и выполним вычитание по разрядам.
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c} & \overset{\cdot}{9} & \overset{\cdot}{2} & \overset{\cdot}{3} & 1 \\ - & & 5 & 7 & 4 \\ \hline & 8 & 6 & 5 & 7 \\ \end{array} $
1. Вычитаем единицы: из 1 нельзя вычесть 4, поэтому занимаем 1 десяток у 3. Получаем $11 - 4 = 7$. Пишем 7 в разряд единиц.
2. Вычитаем десятки: в разряде десятков осталось 2. Из 2 нельзя вычесть 7, занимаем 1 сотню у 2. Получаем $12 - 7 = 5$. Пишем 5 в разряд десятков.
3. Вычитаем сотни: в разряде сотен осталась 1. Из 1 нельзя вычесть 5, занимаем 1 тысячу у 9. Получаем $11 - 5 = 6$. Пишем 6 в разряд сотен.
4. Вычитаем тысячи: в разряде тысяч осталось 8. Сносим 8.
Таким образом, $9231 - 574 = 8657$.
Ответ: 8657.

в) Чтобы умножить 5420 на 302, выполним умножение в столбик.
$ \begin{array}{@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c} & & & & & 5 & 4 & 2 & 0 \\ & & & & \times & & 3 & 0 & 2 \\ \hline & & & & 1 & 0 & 8 & 4 & 0 \\ & & & 0 & 0 & 0 & 0 & & \\ + & 1 & 6 & 2 & 6 & 0 & & & \\ \hline & 1 & 6 & 3 & 6 & 8 & 4 & 0 \\ \end{array} $
1. Умножаем 5420 на 2 (единицы множителя): $5420 \times 2 = 10840$. Это первое неполное произведение.
2. Умножаем 5420 на 0 (десятки множителя): $5420 \times 0 = 0$. Второе неполное произведение. Записываем его со сдвигом на один разряд влево.
3. Умножаем 5420 на 3 (сотни множителя): $5420 \times 3 = 16260$. Третье неполное произведение. Записываем его со сдвигом на два разряда влево.
4. Складываем неполные произведения: $10840 + 0 + 1626000 = 1636840$.
Таким образом, $5420 \cdot 302 = 1636840$.
Ответ: 1636840.

г) Чтобы разделить 3900 на 26, выполним деление углом (в столбик).
$ \begin{array}{r|l} 3900 & 26 \\ \cline{2-2} -\underline{26}\phantom{00} & 150 \\ 130\phantom{0} & \\ -\underline{130}\phantom{0} & \\ 00 & \\ -\underline{\phantom{0}0} & \\ 0 & \\ \end{array} $
1. Определяем первое неполное делимое. 3 на 26 не делится, берем 39. $39 \div 26 = 1$ (остаток 13). Записываем 1 в частное.
2. Находим остаток: $39 - 1 \times 26 = 13$.
3. Сносим следующую цифру делимого (0). Получаем второе неполное делимое 130.
4. Делим 130 на 26. $130 \div 26 = 5$. Записываем 5 в частное.
5. Находим остаток: $130 - 5 \times 26 = 0$.
6. Сносим следующую цифру делимого (0). $0 \div 26 = 0$. Записываем 0 в частное.
Таким образом, $3900 : 26 = 150$.
Ответ: 150.

Знаю, как связаны между собой сложение и вычитание, умножение и деление; умею находить неизвестные компоненты действий.

2. Используя равенство $678 + 1357 = 2035$, найдите значение разности: $2035 - 678$; $2035 - 1357$.

Данная задача решается на основе правила о взаимосвязи между компонентами действия сложения. Сложение и вычитание — это взаимообратные операции.

Если нам известно равенство $a + b = c$, где $a$ и $b$ — слагаемые, а $c$ — сумма, то из него следуют два других верных равенства:

$c - a = b$

$c - b = a$

В нашем случае дано равенство: $678 + 1357 = 2035$.

Здесь:

• Первое слагаемое ($a$) = $678$
• Второе слагаемое ($b$) = $1357$
• Сумма ($c$) = $2035$

Используя это правило, найдем значения разностей.

2035 – 678

Чтобы найти значение этой разности, мы из суммы ($c = 2035$) вычитаем первое слагаемое ($a = 678$). Согласно правилу, в результате мы должны получить второе слагаемое ($b$).

$2035 - 678 = 1357$.

Ответ: 1357.

2035 – 1357

Чтобы найти значение этой разности, мы из суммы ($c = 2035$) вычитаем второе слагаемое ($b = 1357$). Согласно правилу, в результате мы должны получить первое слагаемое ($a$).

$2035 - 1357 = 678$.

Ответ: 678.

3. Используя равенство $45 \cdot 637 = 28665$, запишите ещё два равенства, связывающие данные три числа.

В исходном равенстве $45 \cdot 637 = 28 665$ числа 45 и 637 являются множителями, а число 28 665 — их произведением.

Операция деления является обратной для операции умножения. Это означает, что если произведение разделить на один из множителей, то в результате получится другой множитель. Используя это свойство, можно составить два новых равенства, связывающие данные три числа.

Первое равенство можно получить, разделив произведение (28 665) на один из множителей (45). В результате мы получим другой множитель (637):

$28 665 : 45 = 637$

Второе равенство можно получить, разделив произведение (28 665) на другой множитель (637). В результате мы получим первый множитель (45):

$28 665 : 637 = 45$

Ответ: $28 665 : 45 = 637$ и $28 665 : 637 = 45$.

4. Расскажите, как найти неизвестные слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, и найдите неизвестное число:

a) $x + 298 = 356$;

б) $264 - a = 96$;

в) $y - 38 = 85$.

Чтобы найти неизвестные компоненты в уравнениях, необходимо знать следующие правила:

• Неизвестное слагаемое: Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
• Неизвестное уменьшаемое: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
• Неизвестное вычитаемое: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

а) В уравнении $x + 298 = 356$ неизвестным является первое слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы (356) вычесть известное слагаемое (298).

$x = 356 - 298$

$x = 58$

Проверка: $58 + 298 = 356$.

Ответ: 58.

б) В уравнении $264 - a = 96$ неизвестным является вычитаемое. Чтобы его найти, нужно из уменьшаемого (264) вычесть разность (96).

$a = 264 - 96$

$a = 168$

Проверка: $264 - 168 = 96$.

Ответ: 168.

в) В уравнении $y - 38 = 85$ неизвестным является уменьшаемое. Чтобы его найти, нужно к разности (85) прибавить вычитаемое (38).

$y = 85 + 38$

$y = 123$

Проверка: $123 - 38 = 85$.

Ответ: 123.

5. Расскажите, как найти неизвестные множитель, делимое, делитель, и найдите неизвестное число:

а) $53 \cdot x = 742$;

б) $y : 18 = 25$;

в) $168 : b = 24$.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.

а) В уравнении $53 \cdot x = 742$ неизвестным является множитель $x$. Чтобы найти его, разделим произведение (742) на известный множитель (53).
$x = 742 : 53$
$x = 14$
Проверка: $53 \cdot 14 = 742$.
Ответ: 14

б) В уравнении $y : 18 = 25$ неизвестным является делимое $y$. Чтобы найти его, умножим частное (25) на делитель (18).
$y = 25 \cdot 18$
$y = 450$
Проверка: $450 : 18 = 25$.
Ответ: 450

в) В уравнении $168 : b = 24$ неизвестным является делитель $b$. Чтобы найти его, разделим делимое (168) на частное (24).
$b = 168 : 24$
$b = 7$
Проверка: $168 : 7 = 24$.
Ответ: 7