Номер 3.147, страница 78 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 3.5. Задачи на движение. Глава 3. Действия с натуральными числами - номер 3.147, страница 78.

3.147 a) Скорость катера по течению реки 22 км/ч, а против течения – 18 км/ч. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера.

б) По течению реки моторная лодка проплыла 48 км за 3 ч, а против течения – за 4 ч. Найдите скорость течения реки.

в) Катер проплыл 72 км между пристанями по течению реки за 2 ч, а против течения – за 3 ч. За сколько часов это расстояние проплывут плоты?

а)

Пусть $v_{соб}$ — собственная скорость катера, а $v_{теч}$ — скорость течения реки.

Скорость катера по течению реки ($v_{по}$) — это сумма его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{соб} + v_{теч}$.

Скорость катера против течения ($v_{против}$) — это разность его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_{соб} - v_{теч}$.

Исходя из условий задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

$\begin{cases} v_{соб} + v_{теч} = 22 \\ v_{соб} - v_{теч} = 18 \end{cases}$

Чтобы найти собственную скорость катера, сложим оба уравнения:

$(v_{соб} + v_{теч}) + (v_{соб} - v_{теч}) = 22 + 18$

$2 \cdot v_{соб} = 40$

$v_{соб} = \frac{40}{2} = 20$ км/ч.

Чтобы найти скорость течения реки, вычтем из первого уравнения второе:

$(v_{соб} + v_{теч}) - (v_{соб} - v_{теч}) = 22 - 18$

$2 \cdot v_{теч} = 4$

$v_{теч} = \frac{4}{2} = 2$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки — 2 км/ч, собственная скорость катера — 20 км/ч.

б)

Сначала найдем скорость моторной лодки по течению и против течения, используя формулу скорости $v = \frac{S}{t}$, где $S$ — расстояние, а $t$ — время.

1. Скорость по течению ($v_{по}$): лодка проплыла 48 км за 3 ч.

$v_{по} = \frac{48 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 16$ км/ч.

2. Скорость против течения ($v_{против}$): это же расстояние лодка проплыла за 4 ч. Но в условии не сказано, что расстояние то же самое. Перечитаем: "а против течения — за 4 ч". Это подразумевает то же расстояние, но не сказано явно. Обычно в таких задачах расстояние то же. Но в задаче в) сказано: "это расстояние". А тут - нет. Однако, фраза "а против течения — за 4 ч" после "проплыла 48 км за 3 ч" подразумевает, что речь идет о том же расстоянии 48 км. Будем считать, что расстояние то же. (Примечание: Текст задачи немного неточен. Предполагается, что лодка проплыла то же расстояние 48 км против течения). Скорость против течения:

$v_{против} = \frac{48 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 12$ км/ч.

3. Теперь, зная скорости по течению и против течения, мы можем найти скорость течения реки ($v_{теч}$). Составим систему уравнений:

$\begin{cases} v_{соб} + v_{теч} = 16 \\ v_{соб} - v_{теч} = 12 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(v_{соб} + v_{теч}) - (v_{соб} - v_{теч}) = 16 - 12$

$2 \cdot v_{теч} = 4$

$v_{теч} = \frac{4}{2} = 2$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки — 2 км/ч.

в)

1. Найдем скорость катера по течению и против течения. Расстояние $S = 72$ км.

Скорость по течению ($v_{по}$), время в пути $t_{по} = 2$ ч:

$v_{по} = \frac{72 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 36$ км/ч.

Скорость против течения ($v_{против}$), время в пути $t_{против} = 3$ ч:

$v_{против} = \frac{72 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 24$ км/ч.

2. Найдем скорость течения реки ($v_{теч}$).

$\begin{cases} v_{соб} + v_{теч} = 36 \\ v_{соб} - v_{теч} = 24 \end{cases}$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$(v_{соб} + v_{теч}) - (v_{соб} - v_{теч}) = 36 - 24$

$2 \cdot v_{теч} = 12$

$v_{теч} = \frac{12}{2} = 6$ км/ч.

3. Плоты не имеют собственной скорости и движутся со скоростью течения реки. Следовательно, скорость плотов $v_{плотов} = v_{теч} = 6$ км/ч.

4. Найдем время, за которое плоты проплывут расстояние 72 км:

$t_{плотов} = \frac{S}{v_{плотов}} = \frac{72 \text{ км}}{6 \text{ км/ч}} = 12$ ч.

Ответ: плоты проплывут это расстояние за 12 часов.