Страница 83 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Запишите подробно решение примера 3 с использованием скобок.

Поскольку в самом задании на изображении не указан "пример 3", для которого нужно записать решение, мы решим гипотетический пример, чтобы показать, как можно подробно записать решение с использованием скобок.

Предположим, пример 3 выглядит так:

$48 - 12 : 2 \cdot 3$

Для решения этого примера необходимо следовать правильному порядку выполнения арифметических действий: сначала выполняются умножение и деление (в порядке их следования, слева направо), а затем сложение и вычитание (также слева направо).

Чтобы наглядно и пошагово показать порядок действий, мы будем использовать скобки. Скобки указывают, какие операции должны быть выполнены в первую очередь.

1. Определение первого действия.

В выражении $48 - 12 : 2 \cdot 3$ есть вычитание, деление и умножение. Первыми по приоритету идут деление и умножение. Так как деление стоит левее, оно выполняется первым. Заключим это действие в скобки, чтобы показать его первоочередность:

$48 - (12 : 2) \cdot 3$

Выполняем действие в скобках:

$12 : 2 = 6$

Теперь наше выражение выглядит так:

$48 - 6 \cdot 3$

2. Определение второго действия.

В оставшемся выражении $48 - 6 \cdot 3$ есть вычитание и умножение. Умножение имеет более высокий приоритет. Чтобы показать это, также заключим его в скобки:

$48 - (6 \cdot 3)$

Выполняем действие в скобках:

$6 \cdot 3 = 18$

Теперь выражение выглядит так:

$48 - 18$

3. Определение третьего действия.

Осталось последнее действие — вычитание:

$48 - 18 = 30$

Таким образом, мы нашли значение выражения.

Полная запись подробного решения с использованием скобок может выглядеть так, где скобками показана последовательность вычислений:

$48 - ((12 : 2) \cdot 3) = 48 - (6 \cdot 3) = 48 - 18 = 30$

Ответ: $30$

Какие свойства сложения были использованы при вычислении суммы в примере 4?

При вычислении суммы в примере 4, для упрощения расчетов, были использованы два основных свойства сложения.

Первое свойство — переместительное свойство сложения. Оно гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. В виде формулы это выглядит так:

$$a + b = b + a$$

Второе свойство — сочетательное свойство сложения. Оно позволяет группировать слагаемые в любом порядке, что не влияет на итоговую сумму. Формула этого свойства:

$$(a + b) + c = a + (b + c)$$

Совместное применение этих свойств позволяет переставлять и группировать числа так, чтобы вычисления стали проще. Например, если в примере 4 нужно было вычислить сумму $134 + 58 + 66 + 42$, то решение выглядело бы так:

Сначала, используя переместительное свойство, меняем местами слагаемые для удобной группировки:

$$134 + 66 + 58 + 42$$

Затем, используя сочетательное свойство, расставляем скобки, чтобы определить порядок сложения:

$$(134 + 66) + (58 + 42)$$

Выполняем сложение в скобках, получая «круглые» числа:

$$200 + 100$$

В итоге получаем результат:

$$300$$

Таким образом, именно эти два свойства — переместительное и сочетательное — чаще всего используются для рационализации вычислений в подобных примерах.

Ответ: При вычислении суммы были использованы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Вычислите сумму $5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15$, используя «приём Гаусса».

«Приём Гаусса» для нахождения суммы членов арифметической прогрессии заключается в попарном сложении её членов: первого с последним, второго с предпоследним и так далее. Каждая такая пара будет давать одинаковую сумму.

Рассмотрим данную сумму: $S = 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15$.

Всего в сумме 6 слагаемых. Мы можем сгруппировать их в пары следующим образом:

• Сложим первое и последнее числа: $5 + 15 = 20$
• Сложим второе и предпоследнее числа: $7 + 13 = 20$
• Сложим третье и четвертое числа (оставшуюся пару в середине): $9 + 11 = 20$

Мы получили 3 пары, сумма чисел в каждой из которых равна 20.

Теперь, чтобы найти общую сумму, нужно умножить сумму одной пары на количество пар:
$S = 20 \cdot 3 = 60$

Этот же принцип лежит в основе формулы суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, где $a_1$ — первый член, $a_n$ — последний член, а $n$ — количество членов.
В нашем случае: $a_1 = 5$, $a_n = 15$, $n = 6$.
$S = \frac{(5 + 15) \cdot 6}{2} = \frac{20 \cdot 6}{2} = \frac{120}{2} = 60$

Ответ: 60

4.1 Преобразуйте сумму так, чтобы удобно было складывать числа, и вычислите результат:

а) $23 + 11 + 47 + 29;$

б) $18 + 15 + 32 + 45;$

в) $27 + 36 + 28 + 23 + 14;$

г) $276 + 118 + 324;$

д) $127 + 32 + 93 + 308;$

е) $15 + 45 + 65 + 35 + 40.$

Для удобства вычислений воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами сложения. Будем группировать слагаемые таким образом, чтобы их сумма оканчивалась на ноль.

а) $23 + 11 + 47 + 29$

Сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглое число: 23 и 47 (так как $3+7=10$), а также 11 и 29 (так как $1+9=10$).

$(23 + 47) + (11 + 29) = 70 + 40 = 110$

Ответ: 110

б) $18 + 15 + 32 + 45$

Сгруппируем 18 и 32 (так как $8+2=10$), а также 15 и 45 (так как $5+5=10$).

$(18 + 32) + (15 + 45) = 50 + 60 = 110$

Ответ: 110

в) $27 + 36 + 28 + 23 + 14$

Сгруппируем 27 и 23 (так как $7+3=10$), а также 36 и 14 (так как $6+4=10$).

$(27 + 23) + (36 + 14) + 28 = 50 + 50 + 28 = 100 + 28 = 128$

Ответ: 128

г) $276 + 118 + 324$

Сгруппируем 276 и 324 (так как $6+4=10$).

$(276 + 324) + 118 = 600 + 118 = 718$

Ответ: 718

д) $127 + 32 + 93 + 308$

Сгруппируем 127 и 93 (так как $7+3=10$), а также 32 и 308 (так как $2+8=10$).

$(127 + 93) + (32 + 308) = 220 + 340 = 560$

Ответ: 560

е) $15 + 45 + 65 + 35 + 40$

Сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают круглые числа: 15 и 45, а также 65 и 35. Затем к результату первой суммы удобно прибавить 40.

$(15 + 45) + (65 + 35) + 40 = 60 + 100 + 40 = (60 + 40) + 100 = 100 + 100 = 200$

Ответ: 200

4.2 Вычислите устно произведение и запишите, как вы рассуждали:

а) $13 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7;$

б) $5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4;$

в) $7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5;$

г) $2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4;$

д) $8 \cdot 4 \cdot 125 \cdot 25;$

е) $5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 6.$

а) $13 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7$

Чтобы упростить вычисление, воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения. Сгруппируем множители 5 и 2, так как их произведение равно 10, на которое легко умножать.

$13 \cdot (5 \cdot 2) \cdot 7 = 13 \cdot 10 \cdot 7$

Далее, умножим 13 на 10, получим 130. Затем 130 умножим на 7.

$130 \cdot 7 = (100 + 30) \cdot 7 = 700 + 210 = 910$.

Либо можно сначала умножить 13 на 7:

$(13 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 2) = 91 \cdot 10 = 910$.

Ответ: 910

б) $5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 4$

Для удобства вычисления сгруппируем множители так, чтобы получить круглое число. Удобнее всего получить 100, умножив 25 на 4.

Сгруппируем $5 \cdot 5$ и умножим на 4:

$(5 \cdot 5 \cdot 4) \cdot 6 = (25 \cdot 4) \cdot 6 = 100 \cdot 6 = 600$.

Ответ: 600

в) $7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5$

В этом выражении есть две пары множителей 2 и 5. Каждая такая пара в произведении дает 10. Сгруппируем их.

$7 \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 7 \cdot 10 \cdot 10 = 7 \cdot 100 = 700$.

Ответ: 700

г) $2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4$

Перегруппируем множители так, чтобы получить 100. Для этого сгруппируем две пятерки и четверку.

$9 \cdot 2 \cdot (5 \cdot 5 \cdot 4) = 9 \cdot 2 \cdot (25 \cdot 4) = 9 \cdot 2 \cdot 100$.

Теперь умножим 9 на 2, а затем на 100.

$(9 \cdot 2) \cdot 100 = 18 \cdot 100 = 1800$.

Ответ: 1800

д) $8 \cdot 4 \cdot 125 \cdot 25$

Здесь удобно сгруппировать множители, которые в произведении дают круглые числа 100 и 1000. Это пары $4 \cdot 25$ и $8 \cdot 125$.

$(8 \cdot 125) \cdot (4 \cdot 25) = 1000 \cdot 100 = 100000$.

Ответ: 100000

е) $5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 6$

Посчитаем количество двоек и пятерок в выражении. Здесь четыре двойки и четыре пятерки. Каждая пара $(2 \cdot 5)$ дает 10.

Мы можем составить четыре такие пары. Оставшийся множитель — 6.

$(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 6 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 6$.

Произведение четырех десяток равно $10^4$ или 10000.

$10000 \cdot 6 = 60000$.

Ответ: 60000

4.3 Вычислите каждую сумму, дополнив одно из слагаемых до круглого числа:

а) $96 + 47$, $75 + 98$, $88 + 95$;

б) $57 + 198$, $296 + 25$, $397 + 44$.

Образец. $199 + 63 = (199 + 1) + 62 = 200 + 62 = 262$.

$96 + 47 = (96 + 4) + 43 = 100 + 43 = 143$
Чтобы вычислить сумму, дополняем первое слагаемое 96 до круглого числа 100. Для этого "занимаем" 4 у второго слагаемого 47. Затем к 100 прибавляем оставшееся число 43.
Ответ: 143.

$75 + 98 = 73 + (2 + 98) = 73 + 100 = 173$
Дополняем второе слагаемое 98 до круглого числа 100, "заняв" 2 у первого слагаемого 75. Затем к оставшемуся числу 73 прибавляем 100.
Ответ: 173.

$88 + 95 = 83 + (5 + 95) = 83 + 100 = 183$
Дополняем второе слагаемое 95 до круглого числа 100, "заняв" 5 у первого слагаемого 88. Затем к оставшемуся числу 83 прибавляем 100.
Ответ: 183.

$57 + 198 = 55 + (2 + 198) = 55 + 200 = 255$
Дополняем второе слагаемое 198 до круглого числа 200, "заняв" 2 у первого слагаемого 57. Затем к оставшемуся числу 55 прибавляем 200.
Ответ: 255.

$296 + 25 = (296 + 4) + 21 = 300 + 21 = 321$
Дополняем первое слагаемое 296 до круглого числа 300, "заняв" 4 у второго слагаемого 25. Затем к 300 прибавляем оставшееся число 21.
Ответ: 321.

$397 + 44 = (397 + 3) + 41 = 400 + 41 = 441$
Дополняем первое слагаемое 397 до круглого числа 400, "заняв" 3 у второго слагаемого 44. Затем к 400 прибавляем оставшееся число 41.
Ответ: 441.

4.4 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

Найдите разные способы вычисления произведения и запишите соответствующие цепочки равенств:

а) $36 \cdot 25;$

б) $125 \cdot 12;$

в) $24 \cdot 75;$

г) $150 \cdot 42.$

а) 36 · 25

Способ 1: Использование свойства $25 = 100/4$
Этот способ удобен для устного счета. Мы представляем 25 как $100 : 4$ и используем сочетательное свойство умножения.
$36 \cdot 25 = 36 \cdot (100 : 4) = (36 : 4) \cdot 100 = 9 \cdot 100 = 900$.

Способ 2: Разложение одного из множителей
Разложим число 36 на множители 9 и 4. Это позволяет сгруппировать 4 и 25, что дает в произведении 100.
$36 \cdot 25 = (9 \cdot 4) \cdot 25 = 9 \cdot (4 \cdot 25) = 9 \cdot 100 = 900$.

Способ 3: Использование распределительного свойства умножения
Представим число 36 в виде суммы $(30 + 6)$ и применим распределительное свойство.
$36 \cdot 25 = (30 + 6) \cdot 25 = 30 \cdot 25 + 6 \cdot 25 = 750 + 150 = 900$.

Ответ: 900

б) 125 · 12

Способ 1: Разложение одного из множителей
Разложим число 12 на множители 4 и 3. Произведение $125 \cdot 4$ легко вычислить.
$125 \cdot 12 = 125 \cdot (4 \cdot 3) = (125 \cdot 4) \cdot 3 = 500 \cdot 3 = 1500$.

Способ 2: Использование распределительного свойства умножения
Представим 12 в виде суммы $(10 + 2)$.
$125 \cdot 12 = 125 \cdot (10 + 2) = 125 \cdot 10 + 125 \cdot 2 = 1250 + 250 = 1500$.

Способ 3: Использование свойства $125 = 1000/8$
Этот способ основан на знании, что $8 \cdot 125 = 1000$.
$125 \cdot 12 = (1000 : 8) \cdot 12 = 1000 \cdot (12 : 8) = 1000 \cdot 1,5 = 1500$.

Ответ: 1500

в) 24 · 75

Способ 1: Разложение одного из множителей
Разложим число 24 на множители 6 и 4. Произведение $4 \cdot 75$ равно 300, что упрощает вычисление.
$24 \cdot 75 = (6 \cdot 4) \cdot 75 = 6 \cdot (4 \cdot 75) = 6 \cdot 300 = 1800$.

Способ 2: Использование свойства $75 = 300/4$
Представим 75 как $300 : 4$ и изменим порядок действий.
$24 \cdot 75 = 24 \cdot (300 : 4) = (24 : 4) \cdot 300 = 6 \cdot 300 = 1800$.

Способ 3: Использование распределительного свойства умножения
Представим 24 в виде суммы $(20 + 4)$.
$24 \cdot 75 = (20 + 4) \cdot 75 = 20 \cdot 75 + 4 \cdot 75 = 1500 + 300 = 1800$.

Ответ: 1800

г) 150 · 42

Способ 1: Разложение одного из множителей
Разложим число 42 на множители 2 и 21. Умножение на 2 числа 150 дает "круглое" число 300.
$150 \cdot 42 = 150 \cdot (2 \cdot 21) = (150 \cdot 2) \cdot 21 = 300 \cdot 21 = 6300$.

Способ 2: Использование распределительного свойства умножения
Представим 42 в виде суммы $(40 + 2)$.
$150 \cdot 42 = 150 \cdot (40 + 2) = 150 \cdot 40 + 150 \cdot 2 = 6000 + 300 = 6300$.

Способ 3: Другой вариант использования распределительного свойства
Представим 150 в виде суммы $(100 + 50)$.
$150 \cdot 42 = (100 + 50) \cdot 42 = 100 \cdot 42 + 50 \cdot 42 = 4200 + 2100 = 6300$.

Ответ: 6300

Составьте выражение по условию задачи и вычислите его значение (4.5–4.6).

4.5 Туристы прошли маршрут за 5 дней. В первый день они прошли 15 км, а в каждый следующий день проходили на 5 км больше, чем в предыдущий. Какова длина маршрута?

Для решения задачи необходимо составить выражение, представляющее собой сумму расстояний, пройденных туристами за каждый из пяти дней, а затем вычислить значение этого выражения.

Найдем расстояние, которое туристы проходили каждый день:

В первый день они прошли $15$ км.

Во второй день они прошли на 5 км больше, чем в первый: $15 + 5$ км.

В третий день — на 5 км больше, чем во второй: $(15 + 5) + 5$, или $15 + 2 \cdot 5$ км.

В четвертый день — на 5 км больше, чем в третий: $(15 + 2 \cdot 5) + 5$, или $15 + 3 \cdot 5$ км.

В пятый день — на 5 км больше, чем в четвертый: $(15 + 3 \cdot 5) + 5$, или $15 + 4 \cdot 5$ км.

Теперь составим выражение для нахождения общей длины маршрута (S), сложив расстояния за все пять дней:

$S = 15 + (15 + 5) + (15 + 2 \cdot 5) + (15 + 3 \cdot 5) + (15 + 4 \cdot 5)$

Вычислим значение этого выражения. Для этого сначала определим расстояние, пройденное в каждый из дней:

День 1: $15$ км

День 2: $15 + 5 = 20$ км

День 3: $15 + 10 = 25$ км

День 4: $15 + 15 = 30$ км

День 5: $15 + 20 = 35$ км

Теперь сложим полученные значения:

$S = 15 + 20 + 25 + 30 + 35 = 125$ км.

Ответ: 125 км.