Страница 88 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

4.23 Вычислите:

a) $90 \cdot 25 + 10 \cdot 25;$

б) $123 \cdot 27 - 23 \cdot 27;$

в) $23 \cdot 16 + 16 \cdot 27;$

г) $40 \cdot 87 - 39 \cdot 87;$

а) Чтобы упростить вычисление выражения $90 \cdot 25 + 10 \cdot 25$, воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$. Вынесем общий множитель $25$ за скобки:
$90 \cdot 25 + 10 \cdot 25 = (90 + 10) \cdot 25$
Сначала выполним сложение в скобках:
$90 + 10 = 100$
Затем умножим полученный результат на $25$:
$100 \cdot 25 = 2500$
Ответ: 2500

б) В выражении $123 \cdot 27 - 23 \cdot 27$ применим распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$. Вынесем общий множитель $27$ за скобки:
$123 \cdot 27 - 23 \cdot 27 = (123 - 23) \cdot 27$
Выполним вычитание в скобках:
$123 - 23 = 100$
Теперь умножим результат на $27$:
$100 \cdot 27 = 2700$
Ответ: 2700

в) В выражении $23 \cdot 16 + 16 \cdot 27$ общим множителем является число $16$. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство умножения:
$23 \cdot 16 + 16 \cdot 27 = (23 + 27) \cdot 16$
Выполним сложение в скобках:
$23 + 27 = 50$
Далее умножим полученную сумму на $16$:
$50 \cdot 16 = 800$
Ответ: 800

г) Для вычисления выражения $40 \cdot 87 - 39 \cdot 87$ вынесем общий множитель $87$ за скобки, применяя распределительное свойство умножения:
$40 \cdot 87 - 39 \cdot 87 = (40 - 39) \cdot 87$
Вычислим разность в скобках:
$40 - 39 = 1$
Наконец, умножим результат на $87$:
$1 \cdot 87 = 87$
Ответ: 87

4.24 РАССУЖДАЕМ Как вычислить значение выражения $29 \cdot 11 + 29^2$ с помощью распределительного свойства? Мы знаем, что степень можно записать в виде произведения, т. е. $29 \cdot 11 + 29^2 = 29 \cdot 11 + 29 \cdot 29 = \dots$.

Закончите вычисления.

Рассуждая так же, вычислите:

a) $37^2 + 37 \cdot 13$;

б) $25^2 - 25 \cdot 15$.

В задаче предлагается использовать распределительное свойство умножения для упрощения вычислений. Распределительное свойство гласит: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$ для сложения и $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$ для вычитания.

Сначала закончим вычисления для примера, приведенного в условии:

$29 \cdot 11 + 29^2 = 29 \cdot 11 + 29 \cdot 29$

Выносим общий множитель $29$ за скобки:

$29 \cdot (11 + 29) = 29 \cdot 40 = 1160$.

Теперь, используя тот же подход, решим предложенные задачи.

а)

Нужно вычислить значение выражения $37^2 + 37 \cdot 13$.

Представим $37^2$ в виде произведения $37 \cdot 37$:

$37 \cdot 37 + 37 \cdot 13$

Вынесем общий множитель $37$ за скобки, используя распределительное свойство:

$37 \cdot (37 + 13)$

Выполним сложение в скобках:

$37 + 13 = 50$

Теперь умножим результат на $37$:

$37 \cdot 50 = 1850$

Ответ: 1850

б)

Нужно вычислить значение выражения $25^2 - 25 \cdot 15$.

Представим $25^2$ в виде произведения $25 \cdot 25$:

$25 \cdot 25 - 25 \cdot 15$

Вынесем общий множитель $25$ за скобки:

$25 \cdot (25 - 15)$

Выполним вычитание в скобках:

$25 - 15 = 10$

Теперь умножим результат на $25$:

$25 \cdot 10 = 250$

Ответ: 250

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ (4.25–4.26)

4.25 1) Разберите, как выполнено умножение на 15:

$24 \cdot 15 = 24 \cdot (10 + 5)$
$24 \cdot 10 + 24 \cdot 5 = 240 + 120 = 360$

Вы видите, что
$24 \cdot 15 = 240 + 120 = 360.$

Отсюда понятен приём умножения числа на 15: к числу надо приписать 0
и к результату прибавить его половину.

Например:
$36 \cdot 15 = 360 + 180 = 540.$

2) Пользуясь рассмотренным приёмом, вычислите:

а) $180 \cdot 15$
б) $32 \cdot 15$
в) $840 \cdot 15$
г) $56 \cdot 15$

Для решения примеров используем приём умножения на 15, описанный в условии: чтобы умножить число на 15, нужно к этому числу приписать 0 (т.е. умножить на 10) и к полученному результату прибавить его половину. Математически это можно записать так: $a \cdot 15 = a \cdot (10 + 5) = a \cdot 10 + a \cdot 5 = (a \cdot 10) + \frac{a \cdot 10}{2}$.

Вычислим произведение $180 \cdot 15$.

1. Умножим 180 на 10:

$180 \cdot 10 = 1800$

2. Найдем половину от полученного результата:

$1800 : 2 = 900$

3. Сложим эти два числа:

$1800 + 900 = 2700$

Таким образом, $180 \cdot 15 = 2700$.

Ответ: 2700

Вычислим произведение $32 \cdot 15$.

1. Умножим 32 на 10:

$32 \cdot 10 = 320$

2. Найдем половину от 320:

$320 : 2 = 160$

3. Сложим полученные результаты:

$320 + 160 = 480$

Таким образом, $32 \cdot 15 = 480$.

Ответ: 480

Вычислим произведение $840 \cdot 15$.

1. Умножим 840 на 10:

$840 \cdot 10 = 8400$

2. Найдем половину от 8400:

$8400 : 2 = 4200$

3. Сложим полученные числа:

$8400 + 4200 = 12600$

Таким образом, $840 \cdot 15 = 12600$.

Ответ: 12600

Вычислим произведение $56 \cdot 15$.

1. Умножим 56 на 10:

$56 \cdot 10 = 560$

2. Найдем половину от 560:

$560 : 2 = 280$

3. Сложим полученные значения:

$560 + 280 = 840$

Таким образом, $56 \cdot 15 = 840$.

Ответ: 840

4.26 1) С помощью распределительного свойства вычислите произведение $27 \cdot 101$. Используя полученный результат, найдите короткий способ умножения двузначного числа на 101.

2) Найдите произведение:

а) $19 \cdot 101$;

б) $25 \cdot 101$;

в) $33 \cdot 101$.

1) Чтобы вычислить произведение $27 \cdot 101$ с помощью распределительного свойства, представим число 101 в виде суммы $(100 + 1)$.

Применим распределительное свойство умножения относительно сложения, которое выглядит так: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

$27 \cdot 101 = 27 \cdot (100 + 1) = 27 \cdot 100 + 27 \cdot 1 = 2700 + 27 = 2727$.

На основе полученного результата $27 \cdot 101 = 2727$ можно найти короткий способ умножения двузначного числа на 101. Мы видим, что результат состоит из числа 27, записанного дважды. Следовательно, чтобы умножить любое двузначное число на 101, достаточно просто записать это число два раза подряд.

Ответ: 2727. Короткий способ умножения двузначного числа на 101 заключается в том, чтобы записать это двузначное число два раза подряд.

2) Используя найденный короткий способ, найдем произведения:

а) $19 \cdot 101$. Записываем число 19 два раза подряд.

$19 \cdot 101 = 1919$.

Ответ: 1919.

б) $25 \cdot 101$. Записываем число 25 два раза подряд.

$25 \cdot 101 = 2525$.

Ответ: 2525.

в) $33 \cdot 101$. Записываем число 33 два раза подряд.

$33 \cdot 101 = 3333$.

Ответ: 3333.

4.27 Найдите значение выражения, дважды воспользовавшись распределительным свойством:

а) $22 \cdot 26 - 11 \cdot 26;$

б) $32 \cdot 26 - 11 \cdot 32;$

в) $43 \cdot 16 + 43 \cdot 13;$

г) $48 \cdot 11 + 48 \cdot 4.$

Образец. $43 \cdot 25 - 43 \cdot 13 = 43 \cdot (25 - 13) = 43 \cdot 12 = 43 \cdot (10 + 2) = 430 + 86 = 516.$

а) $22 \cdot 26 - 11 \cdot 26$

Первым шагом вынесем общий множитель 26 за скобки, применив распределительное свойство умножения относительно вычитания:

$22 \cdot 26 - 11 \cdot 26 = (22 - 11) \cdot 26 = 11 \cdot 26$.

Вторым шагом применим распределительное свойство еще раз для удобства вычисления. Представим число 11 в виде суммы $(10 + 1)$ и раскроем скобки:

$11 \cdot 26 = (10 + 1) \cdot 26 = 10 \cdot 26 + 1 \cdot 26 = 260 + 26 = 286$.

Ответ: 286.

б) $32 \cdot 26 - 11 \cdot 32$

Сначала вынесем общий множитель 32 за скобки, используя распределительное свойство:

$32 \cdot 26 - 11 \cdot 32 = 32 \cdot (26 - 11) = 32 \cdot 15$.

Теперь, чтобы вычислить произведение $32 \cdot 15$, представим число 15 как сумму $(10 + 5)$ и снова воспользуемся распределительным свойством:

$32 \cdot 15 = 32 \cdot (10 + 5) = 32 \cdot 10 + 32 \cdot 5 = 320 + 160 = 480$.

Ответ: 480.

в) $43 \cdot 16 + 43 \cdot 13$

Вынесем общий множитель 43 за скобки, применив распределительное свойство умножения относительно сложения:

$43 \cdot 16 + 43 \cdot 13 = 43 \cdot (16 + 13) = 43 \cdot 29$.

Для удобства вычисления произведения $43 \cdot 29$ представим число 29 в виде разности $(30 - 1)$ и применим распределительное свойство второй раз:

$43 \cdot 29 = 43 \cdot (30 - 1) = 43 \cdot 30 - 43 \cdot 1 = 1290 - 43 = 1247$.

Ответ: 1247.

г) $48 \cdot 11 + 48 \cdot 4$

Сначала вынесем общий множитель 48 за скобки, используя распределительное свойство:

$48 \cdot 11 + 48 \cdot 4 = 48 \cdot (11 + 4) = 48 \cdot 15$.

Теперь, чтобы вычислить произведение $48 \cdot 15$, представим число 15 как сумму $(10 + 5)$ и снова применим распределительное свойство:

$48 \cdot 15 = 48 \cdot (10 + 5) = 48 \cdot 10 + 48 \cdot 5 = 480 + 240 = 720$.

Ответ: 720.

4.28 Вычислите удобным способом:

а) $12 \cdot 17 + 35 \cdot 13 + 17 \cdot 23$;

б) $41 \cdot 80 - 25 \cdot 41 + 55 \cdot 29$;

в) $29 \cdot 25 + 15 \cdot 6 + 19 \cdot 15$;

г) $26 \cdot 18 + 26 \cdot 17 + 14 \cdot 35$.

а) $12 \cdot 17 + 35 \cdot 13 + 17 \cdot 23 = (12 \cdot 17 + 17 \cdot 23) + 35 \cdot 13 = 17 \cdot (12 + 23) + 35 \cdot 13 = 17 \cdot 35 + 35 \cdot 13 = 35 \cdot (17 + 13) = 35 \cdot 30 = 1050$.
Ответ: 1050

б) $41 \cdot 80 - 25 \cdot 41 + 55 \cdot 29 = 41 \cdot (80 - 25) + 55 \cdot 29 = 41 \cdot 55 + 55 \cdot 29 = 55 \cdot (41 + 29) = 55 \cdot 70 = 3850$.
Ответ: 3850

в) $29 \cdot 25 + 15 \cdot 6 + 19 \cdot 15 = 29 \cdot 25 + (15 \cdot 6 + 19 \cdot 15) = 29 \cdot 25 + 15 \cdot (6 + 19) = 29 \cdot 25 + 15 \cdot 25 = 25 \cdot (29 + 15) = 25 \cdot 44 = 1100$.
Ответ: 1100

г) $26 \cdot 18 + 26 \cdot 17 + 14 \cdot 35 = 26 \cdot (18 + 17) + 14 \cdot 35 = 26 \cdot 35 + 14 \cdot 35 = 35 \cdot (26 + 14) = 35 \cdot 40 = 1400$.
Ответ: 1400

4.29 Даны числа: 526 000, 520 060, 5260, 5 260 000.

а) Расположите числа в порядке убывания.

б) На сколько наименьшее число меньше наибольшего?

а) Чтобы расположить числа в порядке убывания, необходимо сравнить их между собой, двигаясь от самого большого к самому маленькому.
Сначала сравним числа по количеству знаков (разрядов):
- 5 260 000 (7 знаков)
- 526 000 (6 знаков)
- 520 060 (6 знаков)
- 5260 (4 знака)
Наибольшее число — то, у которого больше всего знаков, то есть 5 260 000.
Наименьшее число — то, у которого меньше всего знаков, то есть 5260.
Теперь сравним два шестизначных числа: 526 000 и 520 060. Сравниваем их поразрядно слева направо. Первые две цифры (5 и 2) у них одинаковые. Третья цифра у числа 526 000 — это 6, а у числа 520 060 — это 0. Так как $6 > 0$, то число 526 000 больше, чем 520 060.
Таким образом, выстраиваем числа от наибольшего к наименьшему.
Ответ: 5 260 000, 526 000, 520 060, 5260.

б) Чтобы найти, на сколько наименьшее число меньше наибольшего, нужно из наибольшего числа вычесть наименьшее.
Из пункта а) мы знаем, что:
- Наибольшее число: 5 260 000
- Наименьшее число: 5260
Вычислим разность:
$5 260 000 - 5260 = 5 254 740$
Ответ: на 5 254 740.