Страница 89 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

4.30 Запишите и вычислите:

a) квадрат суммы чисел 17 и 8; $(17 + 8)^2$

б) куб разности чисел 21 и 17; $(21 - 17)^3$

а) квадрат суммы чисел 17 и 8
Для того чтобы вычислить квадрат суммы чисел 17 и 8, необходимо сначала найти их сумму, а затем полученный результат возвести в квадрат (во вторую степень).
1. Находим сумму чисел: $17 + 8 = 25$.
2. Возводим полученную сумму в квадрат: $25^2 = 25 \times 25 = 625$.
Запишем это одним выражением: $(17 + 8)^2 = 25^2 = 625$.
Ответ: 625

б) куб разности чисел 21 и 17
Для того чтобы вычислить куб разности чисел 21 и 17, необходимо сначала найти их разность, а затем полученный результат возвести в куб (в третью степень).
1. Находим разность чисел: $21 - 17 = 4$.
2. Возводим полученную разность в куб: $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 16 \times 4 = 64$.
Запишем это одним выражением: $(21 - 17)^3 = 4^3 = 64$.
Ответ: 64

4.31 Из пункта A в пункт B выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через час навстречу ему из B в A выехал второй велосипедист со скоростью 14 км/ч и встретился с первым через полчаса после своего выезда. Чему равно расстояние от A до B? Успеет ли первый велосипедист преодолеть это расстояние за 2 ч?

Чему равно расстояние от А до В?

Для нахождения общего расстояния между пунктами А и В, нам нужно сложить расстояния, которые проехал каждый велосипедист до момента встречи.

1. Определим время, которое был в пути первый велосипедист.
Второй велосипедист выехал через час после первого и был в пути полчаса (0,5 ч) до встречи. Значит, первый велосипедист был в пути на час дольше, чем второй.
Время первого велосипедиста в пути: $t_1 = 1 \text{ ч} + 0.5 \text{ ч} = 1.5 \text{ ч}$.

2. Найдем расстояние, которое проехал первый велосипедист ($s_1$) со скоростью $v_1 = 12 \text{ км/ч}$.
$s_1 = v_1 \times t_1 = 12 \text{ км/ч} \times 1.5 \text{ ч} = 18 \text{ км}$.

3. Найдем расстояние, которое проехал второй велосипедист ($s_2$) со скоростью $v_2 = 14 \text{ км/ч}$ за время $t_2 = 0.5 \text{ ч}$.
$s_2 = v_2 \times t_2 = 14 \text{ км/ч} \times 0.5 \text{ ч} = 7 \text{ км}$.

4. Общее расстояние от А до В ($S$) равно сумме расстояний, которые проехали оба велосипедиста навстречу друг другу до момента встречи.
$S = s_1 + s_2 = 18 \text{ км} + 7 \text{ км} = 25 \text{ км}$.

Ответ: расстояние от А до В равно 25 км.

Успеет ли первый велосипедист преодолеть это расстояние за 2 ч?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассчитать, сколько времени потребуется первому велосипедисту, чтобы проехать всё расстояние в 25 км со своей скоростью 12 км/ч.

1. Используем формулу времени: $t = \frac{S}{v}$.
Время, необходимое первому велосипедисту: $t = \frac{25 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 2 \frac{1}{12} \text{ ч}$.

2. Сравним полученное время с заданным временем в 2 часа.
$2 \frac{1}{12} \text{ ч} > 2 \text{ ч}$.

Так как времени требуется больше, чем 2 часа, первый велосипедист не успеет преодолеть это расстояние за 2 часа.

Ответ: нет, не успеет.

Придумайте по рисунку 4.4 задачу на части.

Задача

В мотке было 48 метров проволоки. Для проведения ремонтных работ отрезали 4/6 всей проволоки. Сколько метров проволоки отрезали?

Решение

В данной задаче целый отрезок, изображенный на рисунке, представляет собой всю длину проволоки, то есть 48 метров. Отрезок разделен на 6 равных частей. Нам нужно найти величину, соответствующую 4 таким частям.

1. Сначала найдем, сколько метров проволоки составляет одна часть. Для этого разделим общую длину на количество частей:
$48 \div 6 = 8$ (м) - составляет одна часть проволоки.

2. Теперь найдем, сколько метров проволоки отрезали. Для этого длину одной части умножим на количество взятых частей (в данном случае на 4):
$8 \times 4 = 32$ (м).

Решение можно также записать одним выражением:
$48 \div 6 \times 4 = 32$ (м).

Ответ: 32 метра.

Расскажите план решения этой задачи.

$16$

План решения этой задачи заключается в том, чтобы сначала найти величину одной части отрезка, а затем, зная это, вычислить величину всего отрезка, состоящего из четырех таких частей.

Шаг 1: Найти величину одной части.
Из условия, представленного на схеме, видно, что 3 равные части отрезка в сумме дают 16. Чтобы найти, чему равна одна такая часть, нужно 16 разделить на 3.
$16 \div 3 = \frac{16}{3}$
При желании можно преобразовать в смешанное число: $16 \div 3 = 5$ и $1$ в остатке, то есть $5\frac{1}{3}$.
Ответ: Величина одной части отрезка равна $\frac{16}{3}$ или $5\frac{1}{3}$.

Шаг 2: Найти величину всего отрезка.
Весь отрезок, согласно схеме, состоит из 4 равных частей. Чтобы найти его полную длину, нужно величину одной части, которую мы нашли на первом шаге ($\frac{16}{3}$), умножить на общее количество частей (4).
$\frac{16}{3} \times 4 = \frac{16 \times 4}{3} = \frac{64}{3}$
Теперь преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число. Для этого разделим 64 на 3 с остатком.
$64 \div 3 = 21$ (остаток $1$)
Таким образом, $\frac{64}{3} = 21\frac{1}{3}$.
Ответ: Величина всего отрезка равна $21\frac{1}{3}$.