Страница 92 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

4.39 a) Мальчик и девочка собирали в лесу орехи. Всего они собрали 120 орехов. Девочка собрала орехов в 2 раза меньше мальчика. Сколько орехов собрал мальчик и сколько — девочка? Подсказка. Примите количество орехов у девочки за 1 часть.

б) Надо разложить в два пакета 56 орехов так, чтобы в одном было в 3 раза меньше, чем в другом. Сколько орехов надо положить в каждый пакет?

а)

Решим задачу, используя метод частей, как предложено в подсказке.

1. Примем количество орехов, которое собрала девочка, за 1 часть.

2. Поскольку девочка собрала в 2 раза меньше орехов, чем мальчик, значит, мальчик собрал в 2 раза больше. Таким образом, количество орехов у мальчика составляет 2 части.

3. Найдем общее количество частей: $1 \text{ (часть у девочки)} + 2 \text{ (части у мальчика)} = 3$ (части).

4. Эти 3 части составляют все 120 орехов. Найдем, сколько орехов приходится на одну часть: $120 / 3 = 40$ (орехов).

5. Теперь найдем, сколько орехов у каждого. Девочка собрала 1 часть, что равно 40 орехам. Мальчик собрал 2 части: $40 * 2 = 80$ (орехов).

Ответ: мальчик собрал 80 орехов, а девочка — 40 орехов.

б)

Решим эту задачу аналогично, используя метод частей.

1. Пусть количество орехов в первом пакете (в котором их меньше) составляет 1 часть.

2. По условию, в этом пакете в 3 раза меньше орехов, чем в другом. Следовательно, во втором пакете в 3 раза больше орехов, то есть 3 части.

3. Найдем общее количество частей: $1 \text{ (часть в первом пакете)} + 3 \text{ (части во втором пакете)} = 4$ (части).

4. Эти 4 части составляют все 56 орехов. Найдем, сколько орехов в одной части: $56 / 4 = 14$ (орехов).

5. Таким образом, в первом (меньшем) пакете 1 часть, то есть 14 орехов. Во втором пакете 3 части: $14 * 3 = 42$ (ореха).

Ответ: в один пакет надо положить 14 орехов, а в другой — 42 ореха.

4.40 a) На первой полке стояло в 4 раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг на каждой полке?

б) Коля заметил, что в первой пачке тетрадей в 5 раз меньше, чем во второй. Оля сказала, что в ней на 20 тетрадей меньше, чем во второй пачке. Сколько тетрадей в каждой пачке?

а)

Обозначим количество книг на второй полке через $x$. Согласно условию, на первой полке стояло в 4 раза больше книг, чем на второй. Значит, на первой полке было $4x$ книг.

Также известно, что количество книг на первой полке на 12 больше, чем на второй. Это можно выразить как разницу между количеством книг на первой и второй полках.

Составим и решим уравнение: $4x - x = 12$

$3x = 12$

$x = 12 / 3$

$x = 4$

Таким образом, на второй полке стояло 4 книги. Теперь найдем количество книг на первой полке, умножив количество книг на второй полке на 4:

$4 * 4 = 16$ книг.

Проверка: 16 книг в 4 раза больше, чем 4 книги ($16 / 4 = 4$), и на 12 книг больше, чем 4 книги ($16 - 4 = 12$). Условия задачи выполнены.

Ответ: на первой полке стояло 16 книг, а на второй — 4 книги.

б)

Пусть в первой пачке было $x$ тетрадей. Коля заметил, что в первой пачке тетрадей в 5 раз меньше, чем во второй. Это означает, что во второй пачке было в 5 раз больше тетрадей, то есть $5x$.

Оля сказала, что в первой пачке на 20 тетрадей меньше, чем во второй. Это значит, что разница в количестве тетрадей между второй и первой пачками равна 20.

Составим и решим уравнение: $5x - x = 20$

$4x = 20$

$x = 20 / 4$

$x = 5$

Итак, в первой пачке было 5 тетрадей. Тогда во второй пачке было:

$5 * 5 = 25$ тетрадей.

Проверка: 5 тетрадей в 5 раз меньше, чем 25 тетрадей ($25 / 5 = 5$), и на 20 тетрадей меньше, чем 25 тетрадей ($25 - 5 = 20$). Условия задачи выполнены.

Ответ: в первой пачке 5 тетрадей, во второй — 25 тетрадей.

4.41 a) За три дня Федя прочитал 84 страницы. В первый день он прочитал в 3 раза больше страниц, чем во второй, а в третий — 16 страниц. Сколько страниц прочитал Федя в первый день?

Подсказка. Сначала узнайте, сколько страниц Федя прочитал за два первых дня.

б) Кусок ткани длиной 76 м разрезали на три части. Первая из них имеет длину 25 м, а вторая — в 2 раза короче третьей. Найдите длину второй и третьей частей.

а) Сначала, следуя подсказке, найдем, сколько страниц Федя прочитал за первые два дня. Для этого из общего количества страниц вычтем количество страниц, прочитанных в третий день:
$84 - 16 = 68$ (страниц) — прочитано за первый и второй дни вместе.
Пусть $x$ — это количество страниц, которое Федя прочитал во второй день. Тогда в первый день, согласно условию, он прочитал в 3 раза больше, то есть $3x$ страниц.
Сумма страниц за первые два дня равна $68$. Составим уравнение:
$x + 3x = 68$
$4x = 68$
$x = 68 / 4$
$x = 17$ (страниц) — столько Федя прочитал во второй день.
Теперь найдем, сколько страниц он прочитал в первый день:
$3 \cdot 17 = 51$ (страница).
Ответ: 51 страница.

б) Сначала определим общую длину второй и третьей частей ткани. Для этого вычтем из общей длины куска длину первой части:
$76 - 25 = 51$ (м) — суммарная длина второй и третьей частей.
Пусть $y$ — это длина второй части. По условию, она в 2 раза короче третьей. Это значит, что третья часть в 2 раза длиннее второй, и ее длина составляет $2y$.
Сумма длин второй и третьей частей равна $51$ м. Составим уравнение:
$y + 2y = 51$
$3y = 51$
$y = 51 / 3$
$y = 17$ (м) — это длина второй части.
Теперь найдем длину третьей части:
$2 \cdot 17 = 34$ (м).
Ответ: длина второй части — 17 м, третьей — 34 м.

4.42 В трёх больших пакетах и четырёх маленьких содержится 1500 г печенья. Сколько граммов печенья в маленьком пакете, если в него входит в 2 раза меньше печенья, чем в большом?

Подсказка.

Воспользуйтесь рисунком 4.10!

Рис. 4.10

Для решения этой задачи можно использовать метод составления уравнения.

1. Обозначим неизвестную.
Пусть $x$ — это количество граммов печенья в одном маленьком пакете. По условию, в маленький пакет входит в 2 раза меньше печенья, чем в большой. Это означает, что в большой пакет входит в 2 раза больше печенья, чем в маленький. Следовательно, количество печенья в одном большом пакете равно $2x$ граммов.

2. Составим уравнение.
В задаче говорится о 3 больших и 4 маленьких пакетах.
Общий вес печенья в трёх больших пакетах: $3 \cdot (2x) = 6x$ г.
Общий вес печенья в четырёх маленьких пакетах: $4 \cdot x = 4x$ г.
Суммарный вес печенья во всех пакетах составляет 1500 г. Сложим вес печенья из всех пакетов и приравняем к общему весу:
$6x + 4x = 1500$

3. Решим уравнение.
Сначала сложим слагаемые с переменной $x$:
$10x = 1500$
Теперь найдём $x$, разделив обе части уравнения на 10:
$x = \frac{1500}{10}$
$x = 150$
Таким образом, в одном маленьком пакете содержится 150 граммов печенья.

4. Проверка.
Если в маленьком пакете 150 г печенья, то в большом: $150 \cdot 2 = 300$ г.
Вес четырёх маленьких пакетов: $4 \cdot 150 = 600$ г.
Вес трёх больших пакетов: $3 \cdot 300 = 900$ г.
Общий вес: $600 + 900 = 1500$ г.
Результат совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 150 граммов.

4.43 а) Дочка младше мамы в 4 раза и младше бабушки в 9 раз. Сколько лет каждой, если вместе им 98 лет?

б) Щенок тяжелее котёнка в 3 раза и тяжелее хомяка в 6 раз, а вместе они весят 1 кг 350 г. Сколько весит каждый?

а)

Пусть возраст дочки равен $x$ лет. Так как дочка младше мамы в 4 раза, то возраст мамы составляет $4x$ лет. Дочка младше бабушки в 9 раз, значит, возраст бабушки составляет $9x$ лет.

Суммарный возраст всех троих равен 98 лет. Составим уравнение:

$x + 4x + 9x = 98$

Сложим все члены с переменной $x$:

$14x = 98$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 14:

$x = 98 / 14$

$x = 7$

Итак, возраст дочки — 7 лет.

Теперь найдем возраст мамы:

$4x = 4 * 7 = 28$ лет.

И возраст бабушки:

$9x = 9 * 7 = 63$ года.

Проверим, сходится ли сумма возрастов с условием задачи:

$7 + 28 + 63 = 98$ лет.

Все верно.

Ответ: дочке 7 лет, маме 28 лет, бабушке 63 года.

б)

Сначала переведем общий вес в граммы для удобства вычислений:

1 кг 350 г = $1 * 1000$ г + 350 г = 1350 г.

Пусть вес щенка равен $y$ граммов. Из условия задачи известно, что щенок тяжелее котенка в 3 раза, следовательно, вес котенка равен $y/3$ г. Также щенок тяжелее хомяка в 6 раз, значит, вес хомяка равен $y/6$ г.

Суммарный вес всех животных равен 1350 г. Составим уравнение:

$y + y/3 + y/6 = 1350$

Чтобы решить это уравнение, приведем все члены к общему знаменателю 6:

$(6y)/6 + (2y)/6 + y/6 = 1350$

Теперь сложим дроби в левой части:

$(6y + 2y + y)/6 = 1350$

$(9y)/6 = 1350$

Сократим дробь $(9y)/6$ на 3:

$(3y)/2 = 1350$

Теперь найдем $y$:

$3y = 1350 * 2$

$3y = 2700$

$y = 2700 / 3$

$y = 900$

Таким образом, вес щенка составляет 900 г.

Теперь найдем вес котенка:

$y/3 = 900 / 3 = 300$ г.

И вес хомяка:

$y/6 = 900 / 6 = 150$ г.

Проверим, равен ли общий вес 1350 г:

$900 + 300 + 150 = 1350$ г.

Все верно.

Ответ: щенок весит 900 г, котенок — 300 г, хомяк — 150 г.

4.44 a) Катя сделала ожерелье из красных, синих и белых бусин. Красных бусин в 5 раз меньше, чем синих, и в 3 раза меньше, чем белых. Сколько бусин каждого цвета, если синих больше, чем белых, на 12 бусин?

б) У Серёжи в коллекции в 3 раза меньше марок, чем у Васи, а у Андрея в 2 раза больше, чем у Васи. Сколько марок у каждого, если у Андрея на 80 марок больше, чем у Серёжи?

а)

Обозначим количество красных бусин за $x$.
Из условия известно, что красных бусин в 5 раз меньше, чем синих. Это значит, что синих бусин в 5 раз больше, чем красных. Количество синих бусин равно $5x$.
Также известно, что красных бусин в 3 раза меньше, чем белых. Это значит, что белых бусин в 3 раза больше, чем красных. Количество белых бусин равно $3x$.
По условию, синих бусин больше, чем белых, на 12. Составим уравнение, вычитая из количества синих бусин количество белых:
$5x - 3x = 12$
Решим это уравнение:
$2x = 12$
$x = 12 / 2$
$x = 6$
Таким образом, количество красных бусин равно 6.
Теперь найдем количество бусин других цветов:
Синие бусины: $5x = 5 \times 6 = 30$.
Белые бусины: $3x = 3 \times 6 = 18$.
Проверим, выполняется ли условие: $30 - 18 = 12$. Условие выполнено.

Ответ: 6 красных бусин, 30 синих бусин и 18 белых бусин.

б)

Обозначим количество марок у Васи за $y$.
Из условия известно, что у Серёжи в 3 раза меньше марок, чем у Васи. Значит, у Серёжи $y/3$ марок.
У Андрея в 2 раза больше марок, чем у Васи. Значит, у Андрея $2y$ марок.
По условию, у Андрея на 80 марок больше, чем у Серёжи. Составим уравнение, вычитая из количества марок Андрея количество марок Серёжи:
$2y - y/3 = 80$
Решим это уравнение. Для удобства умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:
$3 \times (2y) - 3 \times (y/3) = 3 \times 80$
$6y - y = 240$
$5y = 240$
$y = 240 / 5$
$y = 48$
Таким образом, у Васи 48 марок.
Теперь найдем количество марок у остальных:
У Серёжи: $y/3 = 48 / 3 = 16$ марок.
У Андрея: $2y = 2 \times 48 = 96$ марок.
Проверим, выполняется ли условие: $96 - 16 = 80$. Условие выполнено.

Ответ: у Серёжи 16 марок, у Васи 48 марок, у Андрея 96 марок.

4.45 Шарф дешевле куртки в 6 раз, куртка дороже шапки в 2 раза. Что дешевле:

а) 7 шарфов или 3 шапки?

б) 5 шапок или 2 куртки?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие цены товаров:

• Пусть $Ш$ – цена шарфа.

• Пусть $К$ – цена куртки.

• Пусть $П$ – цена шапки.

Исходя из условий задачи, составим соотношения между ценами:

1. Шарф дешевле куртки в 6 раз, значит, цена куртки в 6 раз больше цены шарфа: $К = 6 \cdot Ш$.

2. Куртка дороже шапки в 2 раза, значит, цена куртки в 2 раза больше цены шапки: $К = 2 \cdot П$.

Теперь мы можем выразить все цены через одну, например, через цену шарфа $Ш$.

Из двух уравнений выше следует, что $6 \cdot Ш = 2 \cdot П$.

Отсюда найдем цену шапки, выраженную через цену шарфа: $П = \frac{6 \cdot Ш}{2} = 3 \cdot Ш$.

Итак, мы имеем следующие соотношения:

• Цена куртки: $К = 6 \cdot Ш$ (одна куртка стоит как 6 шарфов).

• Цена шапки: $П = 3 \cdot Ш$ (одна шапка стоит как 3 шарфа).

Теперь можем сравнить стоимости в каждом подпункте.

а) Сравним стоимость 7 шарфов и 3 шапок.

Стоимость 7 шарфов равна $7 \cdot Ш$.

Стоимость 3 шапок равна $3 \cdot П$. Подставим выражение для цены шапки $П = 3 \cdot Ш$:

$3 \cdot П = 3 \cdot (3 \cdot Ш) = 9 \cdot Ш$.

Сравниваем стоимость 7 шарфов ($7 \cdot Ш$) и стоимость 3 шапок ($9 \cdot Ш$).

Так как $7 < 9$, то $7 \cdot Ш < 9 \cdot Ш$.

Следовательно, 7 шарфов дешевле, чем 3 шапки.

Ответ: 7 шарфов.

б) Сравним стоимость 5 шапок и 2 курток.

Стоимость 5 шапок равна $5 \cdot П$. Подставим выражение для цены шапки $П = 3 \cdot Ш$:

$5 \cdot П = 5 \cdot (3 \cdot Ш) = 15 \cdot Ш$.

Стоимость 2 курток равна $2 \cdot К$. Подставим выражение для цены куртки $К = 6 \cdot Ш$:

$2 \cdot К = 2 \cdot (6 \cdot Ш) = 12 \cdot Ш$.

Сравниваем стоимость 5 шапок ($15 \cdot Ш$) и стоимость 2 курток ($12 \cdot Ш$).

Так как $12 < 15$, то $12 \cdot Ш < 15 \cdot Ш$.

Следовательно, 2 куртки дешевле, чем 5 шапок.

Ответ: 2 куртки.