Страница 95 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

4.53 a) Сумма двух чисел равна 432, первое больше второго на 18. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел равна 537, первое меньше второго на 131. Найдите эти числа.

Подсказка. Сделайте схематический рисунок.

а)

Пусть второе (меньшее) число равно $x$. По условию, первое число больше второго на 18, значит, оно равно $x + 18$.

Сумма этих двух чисел равна 432. Составим и решим уравнение:

$(x + 18) + x = 432$

$2x + 18 = 432$

$2x = 432 - 18$

$2x = 414$

$x = 414 / 2$

$x = 207$

Таким образом, второе число равно 207.

Найдем первое число:

$207 + 18 = 225$

Проверка: $225 + 207 = 432$. Первое число (225) действительно больше второго (207) на 18.

Ответ: 225 и 207.

б)

Пусть первое (меньшее) число равно $y$. По условию, оно меньше второго на 131, значит, второе число равно $y + 131$.

Сумма этих двух чисел равна 537. Составим и решим уравнение:

$y + (y + 131) = 537$

$2y + 131 = 537$

$2y = 537 - 131$

$2y = 406$

$y = 406 / 2$

$y = 203$

Таким образом, первое число равно 203.

Найдем второе число:

$203 + 131 = 334$

Проверка: $203 + 334 = 537$. Первое число (203) действительно меньше второго (334) на 131.

Ответ: 203 и 334.

4.54 а) Сумма двух чисел 96, а разность – 18. Найдите эти числа.

б) Сумма двух чисел 87, а разность – 19. Найдите эти числа.

а) Пусть первое число — $x$, а второе — $y$. Согласно условию, мы можем составить систему из двух линейных уравнений:
$x + y = 96$
$x - y = 18$
Сложим первое уравнение со вторым. Это позволит нам исключить переменную $y$:
$(x + y) + (x - y) = 96 + 18$
$2x = 114$
Теперь найдём $x$:
$x = 114 / 2$
$x = 57$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$57 + y = 96$
$y = 96 - 57$
$y = 39$
Проверим наше решение: сумма чисел $57 + 39 = 96$, разность $57 - 39 = 18$. Условия задачи выполнены.
Ответ: 57 и 39.

б) Пусть первое число — $x$, а второе — $y$. Составим систему уравнений по аналогии с предыдущим пунктом:
$x + y = 87$
$x - y = 19$
Сложим два уравнения:
$(x + y) + (x - y) = 87 + 19$
$2x = 106$
Теперь найдём $x$:
$x = 106 / 2$
$x = 53$
Подставим значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:
$53 + y = 87$
$y = 87 - 53$
$y = 34$
Проверим наше решение: сумма чисел $53 + 34 = 87$, разность $53 - 34 = 19$. Условия задачи выполнены.
Ответ: 53 и 34.

4.55 а) Представьте число 75 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых на единицу меньше другого.

б) Представьте число 139 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых на единицу больше другого.

а)

Пусть большее слагаемое равно $x$. Согласно условию, меньшее слагаемое на единицу меньше, то есть оно равно $x - 1$. Сумма этих двух слагаемых равна 75. Составим и решим уравнение:

$x + (x - 1) = 75$

$2x - 1 = 75$

$2x = 75 + 1$

$2x = 76$

$x = \frac{76}{2}$

$x = 38$

Итак, большее слагаемое равно 38. Тогда меньшее слагаемое равно $38 - 1 = 37$. Проверим: $37 + 38 = 75$. Условие выполнено.

Ответ: $75 = 37 + 38$.

б)

Пусть меньшее слагаемое равно $y$. Согласно условию, большее слагаемое на единицу больше, то есть оно равно $y + 1$. Сумма этих двух слагаемых равна 139. Составим и решим уравнение:

$y + (y + 1) = 139$

$2y + 1 = 139$

$2y = 139 - 1$

$2y = 138$

$y = \frac{138}{2}$

$y = 69$

Итак, меньшее слагаемое равно 69. Тогда большее слагаемое равно $69 + 1 = 70$. Проверим: $69 + 70 = 139$. Условие выполнено.

Ответ: $139 = 69 + 70$.

4.56 Найдите три последовательных числа, сумма которых равна:

а) 48;

б) 69.

Чтобы найти три последовательных числа, сумма которых известна, можно обозначить эти числа через переменную. Пусть среднее число равно $x$. Тогда предыдущее число будет $x-1$, а следующее - $x+1$.

Сумма трех последовательных чисел равна 48. Составим уравнение, используя наши обозначения:

$(x-1) + x + (x+1) = 48$

Упростим левую часть уравнения, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$x - 1 + x + x + 1 = 48$

$3x = 48$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = 48 / 3$

$x = 16$

Мы нашли среднее число, оно равно 16. Теперь найдем два других числа:

• Первое число: $x-1 = 16-1 = 15$
• Третье число: $x+1 = 16+1 = 17$

Таким образом, искомые числа – это 15, 16 и 17.

Проверка: $15 + 16 + 17 = 31 + 17 = 48$.

Ответ: 15, 16, 17.

Сумма трех последовательных чисел равна 69. По аналогии с предыдущим пунктом составим уравнение:

$(x-1) + x + (x+1) = 69$

Упростим левую часть:

$3x = 69$

Найдем $x$:

$x = 69 / 3$

$x = 23$

Среднее число равно 23. Найдем остальные числа:

• Первое число: $x-1 = 23-1 = 22$
• Третье число: $x+1 = 23+1 = 24$

Таким образом, искомые числа – это 22, 23 и 24.

Проверка: $22 + 23 + 24 = 45 + 24 = 69$.

Ответ: 22, 23, 24.

4.57 a) Андрей на 2 года старше Бориса, а Борис на 1 год старше Василия. Сколько лет каждому, если вместе им 40 лет?

б) Анна на 1 год младше Ольги, а Ольга на 3 года младше Елены. Сколько лет каждой, если вместе им 50 лет?

Для решения задачи введем переменную. Пусть возраст самого младшего, Василия, равен $x$ лет.

Согласно условию, Борис на 1 год старше Василия, следовательно, возраст Бориса составляет $x + 1$ год.

Андрей на 2 года старше Бориса, поэтому его возраст равен $(x + 1) + 2 = x + 3$ года.

Сумма возрастов Андрея, Бориса и Василия равна 40 лет. Составим уравнение на основе этих данных:

$(x + 3) + (x + 1) + x = 40$

Теперь решим это уравнение:

$3x + 4 = 40$

$3x = 40 - 4$

$3x = 36$

$x = \frac{36}{3}$

$x = 12$

Мы нашли возраст Василия — ему 12 лет.

Теперь можем найти возраст остальных:

Возраст Бориса: $12 + 1 = 13$ лет.

Возраст Андрея: $13 + 2 = 15$ лет.

Проверка: $15 + 13 + 12 = 40$. Все верно.

Ответ: Андрею 15 лет, Борису 13 лет, Василию 12 лет.

Для решения этой задачи также введем переменную. Пусть возраст самой старшей, Елены, равен $y$ лет.

Согласно условию, Ольга на 3 года младше Елены, следовательно, возраст Ольги составляет $y - 3$ года.

Анна на 1 год младше Ольги, поэтому ее возраст равен $(y - 3) - 1 = y - 4$ года.

Сумма возрастов Анны, Ольги и Елены равна 50 лет. Составим уравнение:

$(y - 4) + (y - 3) + y = 50$

Теперь решим это уравнение:

$3y - 7 = 50$

$3y = 50 + 7$

$3y = 57$

$y = \frac{57}{3}$

$y = 19$

Мы нашли возраст Елены — ей 19 лет.

Теперь можем найти возраст остальных:

Возраст Ольги: $19 - 3 = 16$ лет.

Возраст Анны: $16 - 1 = 15$ лет.

Проверка: $15 + 16 + 19 = 50$. Все верно.

Ответ: Анне 15 лет, Ольге 16 лет, Елене 19 лет.

4.58 Семья состоит из четырёх человек: матери, отца, сына и дочери. Отец на 5 лет старше матери. Мать в 4 раза старше сына и в 5 раз старше дочери. Сколько лет каждому, если сумма их возрастов 103 года?

Подсказка. Примите возраст матери за 20 частей.

Для решения задачи воспользуемся подсказкой и примем возраст матери за 20 частей. Такой выбор удобен, так как возраст матери должен делиться и на 4 (поскольку она в 4 раза старше сына), и на 5 (поскольку она в 5 раз старше дочери). Наименьшее общее кратное для 4 и 5 — это 20.

Пусть одна часть равна $x$ лет. Тогда возрасты членов семьи можно выразить следующим образом:

• Возраст матери: $20x$ лет.
• Возраст сына: мать в 4 раза старше, следовательно, возраст сына составляет $20x / 4 = 5x$ лет.
• Возраст дочери: мать в 5 раз старше, следовательно, возраст дочери составляет $20x / 5 = 4x$ лет.
• Возраст отца: отец на 5 лет старше матери, следовательно, его возраст составляет $20x + 5$ лет.

По условию, сумма всех возрастов составляет 103 года. Составим и решим уравнение, сложив возрасты всех членов семьи:

$(\text{возраст матери}) + (\text{возраст отца}) + (\text{возраст сына}) + (\text{возраст дочери}) = 103$

$(20x) + (20x + 5) + (5x) + (4x) = 103$

Приведем подобные слагаемые (части с $x$):

$49x + 5 = 103$

Теперь найдем $x$. Сначала перенесем 5 в правую часть уравнения:

$49x = 103 - 5$

$49x = 98$

Разделим обе части на 49, чтобы найти значение одной части:

$x = \frac{98}{49} = 2$

Итак, одна часть составляет 2 года. Теперь мы можем найти точный возраст каждого члена семьи, подставив значение $x=2$ в ранее полученные выражения:

• Мать: $20x = 20 \cdot 2 = 40$ лет.
• Отец: $20x + 5 = 20 \cdot 2 + 5 = 40 + 5 = 45$ лет.
• Сын: $5x = 5 \cdot 2 = 10$ лет.
• Дочь: $4x = 4 \cdot 2 = 8$ лет.

Для проверки сложим полученные возрасты: $40 + 45 + 10 + 8 = 103$. Сумма сходится с условием задачи.

Ответ: возраст матери — 40 лет, возраст отца — 45 лет, возраст сына — 10 лет, возраст дочери — 8 лет.

4.59 Сравните значения выражений:

а) $11 \cdot 2^4$ и $8 \cdot 11$;

б) $17 \cdot 15$ и $3^3 \cdot 15$;

в) $10^2 \cdot 12$ и $12^2 \cdot 10$;

г) $5^2 \cdot 7 \cdot 11$ и $125 \cdot 11$.

а) Чтобы сравнить выражения $11 \cdot 2^4$ и $8 \cdot 11$, сначала вычислим значение степени $2^4$.
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Теперь нам нужно сравнить $11 \cdot 16$ и $8 \cdot 11$.
Оба произведения имеют общий множитель 11. Поскольку $16 > 8$, то и произведение $11 \cdot 16$ будет больше, чем $8 \cdot 11$.
Можно также вычислить полные значения:
$11 \cdot 16 = 176$
$8 \cdot 11 = 88$
$176 > 88$, следовательно, $11 \cdot 2^4 > 8 \cdot 11$.
Ответ: $11 \cdot 2^4 > 8 \cdot 11$.

б) Сравним выражения $17 \cdot 15$ и $3^3 \cdot 15$.
Сначала вычислим значение степени $3^3$.
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Теперь сравним $17 \cdot 15$ и $27 \cdot 15$.
Оба произведения имеют общий множитель 15. Так как $17 < 27$, то произведение $17 \cdot 15$ будет меньше, чем $27 \cdot 15$.
Следовательно, $17 \cdot 15 < 3^3 \cdot 15$.
Ответ: $17 \cdot 15 < 3^3 \cdot 15$.

в) Сравним выражения $10^2 \cdot 12$ и $12^2 \cdot 10$.
Представим выражения в виде произведения простых множителей:
Первое выражение: $10^2 \cdot 12 = 10 \cdot 10 \cdot 12$.
Второе выражение: $12^2 \cdot 10 = 12 \cdot 12 \cdot 10$.
Оба выражения имеют общий множитель $10 \cdot 12$. Чтобы их сравнить, достаточно сравнить оставшиеся множители: 10 в первом выражении и 12 во втором.
Так как $10 < 12$, то и $10 \cdot (10 \cdot 12) < 12 \cdot (10 \cdot 12)$.
Следовательно, $10^2 \cdot 12 < 12^2 \cdot 10$.
Ответ: $10^2 \cdot 12 < 12^2 \cdot 10$.

г) Сравним выражения $5^2 \cdot 7 \cdot 11$ и $125 \cdot 11$.
Оба выражения имеют общий множитель 11. Сравним оставшиеся части выражений: $5^2 \cdot 7$ и $125$.
Вычислим значение первого выражения:
$5^2 \cdot 7 = 25 \cdot 7 = 175$.
Теперь сравним полученное значение с числом 125.
Так как $175 > 125$, то и $175 \cdot 11 > 125 \cdot 11$.
Следовательно, $5^2 \cdot 7 \cdot 11 > 125 \cdot 11$.
Ответ: $5^2 \cdot 7 \cdot 11 > 125 \cdot 11$.

4.60 Найдите значение выражения, используя свойства арифметических действий:

a) $(49^2 + 49) + (50^2 - 50)$;

б) $(25^2 + 25) - (24^2 + 24)$;

в) $20 \cdot 19 - 19 \cdot 18 + 18 \cdot 17 - 17 \cdot 16$;

г) $26 \cdot 25 - 25 \cdot 24 + 24 \cdot 23 - 23 \cdot 22$.

а) Для решения используем распределительное свойство умножения. Сначала вынесем общий множитель за скобки в каждом из двух слагаемых.
В первом слагаемом $(49^2 + 49)$ вынесем за скобки 49:
$49^2 + 49 = 49 \cdot 49 + 49 \cdot 1 = 49 \cdot (49 + 1) = 49 \cdot 50$.
Во втором слагаемом $(50^2 - 50)$ вынесем за скобки 50:
$50^2 - 50 = 50 \cdot 50 - 50 \cdot 1 = 50 \cdot (50 - 1) = 50 \cdot 49$.
Теперь сложим полученные выражения:
$49 \cdot 50 + 50 \cdot 49 = 2450 + 2450 = 4900$.
Можно было также заметить, что это $2 \cdot (49 \cdot 50)$, что также равно 4900.
Ответ: 4900

б) Используем тот же подход, что и в пункте а). Вынесем общие множители за скобки.
В уменьшаемом $(25^2 + 25)$ вынесем за скобки 25:
$25^2 + 25 = 25 \cdot 25 + 25 \cdot 1 = 25 \cdot (25 + 1) = 25 \cdot 26$.
В вычитаемом $(24^2 + 24)$ вынесем за скобки 24:
$24^2 + 24 = 24 \cdot 24 + 24 \cdot 1 = 24 \cdot (24 + 1) = 24 \cdot 25$.
Теперь выполним вычитание и снова вынесем общий множитель 25 за скобки:
$25 \cdot 26 - 24 \cdot 25 = 25 \cdot (26 - 24) = 25 \cdot 2 = 50$.
Ответ: 50

в) Сгруппируем слагаемые попарно и в каждой паре вынесем общий множитель за скобки.
$20 \cdot 19 - 19 \cdot 18 + 18 \cdot 17 - 17 \cdot 16 = (20 \cdot 19 - 19 \cdot 18) + (18 \cdot 17 - 17 \cdot 16)$.
В первой группе вынесем за скобки 19:
$19 \cdot (20 - 18) = 19 \cdot 2 = 38$.
Во второй группе вынесем за скобки 17:
$17 \cdot (18 - 16) = 17 \cdot 2 = 34$.
Сложим полученные результаты:
$38 + 34 = 72$.
Ответ: 72

г) Решаем аналогично предыдущему пункту, группируя слагаемые.
$26 \cdot 25 - 25 \cdot 24 + 24 \cdot 23 - 23 \cdot 22 = (26 \cdot 25 - 25 \cdot 24) + (24 \cdot 23 - 23 \cdot 22)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель 25:
$25 \cdot (26 - 24) = 25 \cdot 2 = 50$.
Во второй группе вынесем за скобки общий множитель 23:
$23 \cdot (24 - 22) = 23 \cdot 2 = 46$.
Сложим полученные результаты:
$50 + 46 = 96$.
Ответ: 96

4.61 Скопируйте рисунок 4.15. Чему рав-ны радиусы дуг окружностей?

Рис. 4.15

Для того чтобы определить радиусы дуг, воспользуемся координатной сеткой, на которой расположен рисунок. Примем сторону одной клетки за единицу длины.

Фигура состоит из четырех симметричных дуг. Рассмотрим одну из них, например, дугу в правом верхнем квадранте. Мы видим, что эта дуга соединяет точку на вертикальной оси, отстоящую на 1 клетку от центра, с точкой на горизонтальной оси, также отстоящей на 1 клетку от центра. Однако это не концы дуги. Концы дуги находятся в точках, где она пересекается с линиями сетки. Поместим начало координат в точку пересечения центральных линий.

Концы дуги в правом верхнем углу находятся в точках с координатами (1, 4) и (4, 1). Эта дуга является сектором окружности (четвертью круга). Касательная к дуге в точке (1, 4) — это вертикальная линия $x=1$, а касательная в точке (4, 1) — это горизонтальная линия $y=1$.

Радиус, проведенный к точке касания, всегда перпендикулярен касательной. Это означает, что:

• Радиус, проведенный к точке (1, 4), должен быть горизонтальным. Следовательно, y-координата центра окружности равна 4.
• Радиус, проведенный к точке (4, 1), должен быть вертикальным. Следовательно, x-координата центра окружности равна 4.

Таким образом, центр окружности, частью которой является эта дуга, находится в точке с координатами (4, 4).

Теперь мы можем вычислить радиус $R$ как расстояние от центра (4, 4) до любой из конечных точек дуги, например, до точки (4, 1):

$R = \sqrt{(4 - 4)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$

Радиус равен 3 клеткам.

Так как все четыре дуги на рисунке симметричны, их радиусы будут одинаковы.

Чему равны радиусы дуг окружностей?

Радиусы всех четырех дуг окружностей равны 3 клеткам (единицам сетки).

Ответ: 3 клетки.