Страница 94 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

4.49 а) В двух коробках 60 кассет. В одной из них на 12 кассет меньше, чем в другой. Сколько кассет в каждой коробке?

б) Саша собрал на 5 кг картофеля больше, чем Катя, а вместе они собрали 43 кг картофеля. Сколько картофеля собрал каждый?

а)

Обозначим количество кассет в первой коробке как $x$, а во второй — как $y$.
Согласно условию, всего в двух коробках 60 кассет, что можно записать в виде уравнения:
$x + y = 60$
Также известно, что в одной коробке на 12 кассет меньше, чем в другой. Предположим, что в первой коробке кассет больше. Тогда:
$x = y + 12$
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим второе уравнение в первое:
$(y + 12) + y = 60$
$2y + 12 = 60$
$2y = 60 - 12$
$2y = 48$
$y = 48 / 2 = 24$
В одной коробке 24 кассеты. Теперь найдем количество кассет во второй коробке:
$x = 24 + 12 = 36$
Проверка: $24 + 36 = 60$. Разница: $36 - 24 = 12$. Все верно.
Ответ: В одной коробке 24 кассеты, а в другой 36 кассет.

б)

Пусть Катя собрала $k$ кг картофеля. По условию, Саша собрал на 5 кг больше, значит, он собрал $(k + 5)$ кг картофеля.
Вместе они собрали 43 кг. Составим уравнение:
$k + (k + 5) = 43$
$2k + 5 = 43$
Теперь решим это уравнение. Вычтем 5 из обеих частей:
$2k = 43 - 5$
$2k = 38$
$k = 38 / 2 = 19$
Таким образом, Катя собрала 19 кг картофеля.
Саша собрал на 5 кг больше:
$19 + 5 = 24$ кг.
Проверка: $19 + 24 = 43$ кг. Все верно.
Ответ: Саша собрал 24 кг картофеля, а Катя – 19 кг.

4.50 а) Таня на 3 года младше своей сестры, а вместе им 27 лет. Сколько лет каждой из них?

б) Журнал дороже газеты на 110 р., а вместе они стоят 144 р. Сколько стоят газета и журнал в отдельности?

а)

Давайте решим эту задачу с помощью уравнения.
Пусть возраст Тани - это $x$ лет.
Поскольку Таня на 3 года младше сестры, то возраст сестры равен $(x + 3)$ лет.
Их суммарный возраст составляет 27 лет. Составим и решим уравнение:
$x + (x + 3) = 27$
$2x + 3 = 27$
Теперь вычтем 3 из обеих частей уравнения, чтобы найти удвоенный возраст Тани:
$2x = 27 - 3$
$2x = 24$
Разделим результат на 2, чтобы найти возраст Тани:
$x = 24 / 2$
$x = 12$
Итак, Тане 12 лет.
Теперь найдем возраст ее сестры:
$12 + 3 = 15$ лет.
Проверим: $12 + 15 = 27$. Все верно.
Ответ: Тане 12 лет, а ее сестре 15 лет.

б)

Эту задачу также можно решить с помощью уравнения.
Пусть цена газеты - это $y$ рублей.
Так как журнал дороже газеты на 110 рублей, его цена составляет $(y + 110)$ рублей.
Общая стоимость покупки равна 144 рубля. Составим и решим уравнение:
$y + (y + 110) = 144$
$2y + 110 = 144$
Вычтем 110 из обеих частей уравнения, чтобы найти удвоенную стоимость газеты:
$2y = 144 - 110$
$2y = 34$
Разделим результат на 2, чтобы найти стоимость газеты:
$y = 34 / 2$
$y = 17$
Итак, газета стоит 17 рублей.
Теперь найдем стоимость журнала:
$17 + 110 = 127$ рублей.
Проверим: $17 + 127 = 144$. Все верно.
Ответ: газета стоит 17 рублей, а журнал - 127 рублей.

4.51 Из «Арифметики» Л. Н. Толстого:

а) У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

б) У двух мужиков 40 овец, а у одного меньше против другого на 6. Сколько у каждого?

а)

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть у первого мужика $x$ овец, а у второго $y$ овец.

Исходя из условия, вместе у них 35 овец:

$x + y = 35$

У одного на 9 овец больше, чем у другого. Предположим, что у первого мужика овец больше:

$x = y + 9$

Теперь подставим второе уравнение в первое:

$(y + 9) + y = 35$

Решим полученное уравнение:

$2y + 9 = 35$
$2y = 35 - 9$
$2y = 26$
$y = 13$

Итак, у второго мужика 13 овец. Теперь найдем, сколько овец у первого:

$x = 13 + 9 = 22$

Проверим: общее количество $13 + 22 = 35$, разница $22 - 13 = 9$. Условия задачи выполнены.

Ответ: у одного мужика 13 овец, а у другого 22 овцы.

б)

Решим эту задачу аналогичным способом. Пусть у одного мужика $x$ овец, а у другого $y$ овец.

Всего у них 40 овец:

$x + y = 40$

У одного меньше овец, чем у другого, на 6. Это значит, что разница в количестве овец равна 6. Пусть у первого мужика овец больше:

$x = y + 6$

Подставим второе уравнение в первое:

$(y + 6) + y = 40$

Решим уравнение:

$2y + 6 = 40$
$2y = 40 - 6$
$2y = 34$
$y = 17$

У мужика, у которого меньше овец, их 17. Найдем, сколько овец у второго:

$x = 17 + 6 = 23$

Проверим: общее количество $17 + 23 = 40$, разница $23 - 17 = 6$. Условия задачи выполнены.

Ответ: у одного мужика 17 овец, а у другого 23 овцы.

4.52 РАЗБИРАЕМ СПОСОБ РЕШЕНИЯ 1) Разберите способ решения задачи: «На трёх полках 47 книг. На средней полке на 4 книги меньше, чем на верхней, и на 2 книги больше, чем на нижней полке. Сколько книг на верхней полке?»

Решение. Если на среднюю полку добавить 4 книги, а на нижнюю – 6 книг (рис. 4.14), то книг на полках станет поровну – столько, сколько на верхней полке. Всего добавили 10 книг. Сколько теперь книг будет на трёх полках?

Верхняя полка

Средняя полка

Нижняя полка

4

Всего 47 книг

2 + 4

Рис. 4.14

$47 + 10 = 57$ (кн.)

Сколько книг на верхней полке?

$57 : 3 = 19$ (кн.)

Ответ: 19 книг.

2) Решите рассмотренным способом задачу:

а) Для занятий художественным творчеством ребята собрали библиотечку из 34 книг и разместили их на трёх полках. На верхней – книги по рисованию. На средней – книги по рукоделию; их на 6 меньше, чем книг по рисованию. На нижней полке – книги по лепке; их на 5 меньше, чем книг по рукоделию. Сколько в библиотечке книг по каждому виду творчества?

б) У плиточника есть ящик с синей и ящик с белой плиткой для облицовки стен, по 60 штук в каждом. Он выложил синей плиткой три ряда: в верхнем ряду синих плиток на 3 больше, чем в среднем, а в среднем – на 3 больше, чем в нижнем. Каждый ряд плиточник закончил белой плиткой. Сколько синих плиток в каждом ряду, если израсходованы все синие плитки, лежащие в ящике?

а) Для решения задачи воспользуемся способом "уравнивания", который предполагает приведение всех величин к наибольшей из них. В данном случае, наибольшее количество книг находится на верхней полке (книги по рисованию).

1. Сначала определим, на сколько книг на средней полке (по рукоделию) меньше, чем на верхней (по рисованию). Согласно условию, эта разница составляет 6 книг.

2. Далее определим, на сколько книг на нижней полке (по лепке) меньше, чем на верхней. Мы знаем, что книг по лепке на 5 меньше, чем по рукоделию, а книг по рукоделию на 6 меньше, чем по рисованию. Следовательно, разница между количеством книг на нижней и верхней полках будет:

$6 + 5 = 11$ (книг)

3. Теперь мысленно добавим книги на среднюю и нижнюю полки, чтобы их количество стало равным количеству книг на верхней полке. Общее количество добавленных книг составит:

$6 + 11 = 17$ (книг)

4. Узнаем, каким стало бы общее количество книг, если бы на всех трех полках их было поровну (столько же, сколько на верхней):

$34 + 17 = 51$ (книга)

5. Так как теперь на трех полках условно находится одинаковое количество книг, мы можем найти, сколько книг на верхней полке (по рисованию), разделив общее количество на 3:

$51 : 3 = 17$ (книг) – по рисованию.

6. Теперь найдем количество книг на остальных полках, исходя из полученного результата:

• Книг по рукоделию (на 6 меньше, чем по рисованию): $17 - 6 = 11$ (книг).
• Книг по лепке (на 5 меньше, чем по рукоделию): $11 - 5 = 6$ (книг).

Проверка: $17 + 11 + 6 = 34$. Расчеты верны.

Ответ: в библиотечке 17 книг по рисованию, 11 книг по рукоделию и 6 книг по лепке.

б) Решим задачу аналогичным способом, приведя количество плиток во всех рядах к наибольшему значению (к количеству в верхнем ряду). Всего было использовано 60 синих плиток.

1. Определим, на сколько синих плиток в среднем ряду меньше, чем в верхнем. По условию, на 3 плитки.

2. Определим, на сколько синих плиток в нижнем ряду меньше, чем в верхнем. В среднем ряду на 3 плитки меньше, чем в верхнем, а в нижнем — еще на 3 меньше, чем в среднем. Значит, общая разница между верхним и нижним рядами составляет:

$3 + 3 = 6$ (плиток)

3. Теперь мысленно "добавим" плитки в средний и нижний ряды, чтобы их количество сравнялось с верхним рядом. Всего нужно добавить:

$3 + 6 = 9$ (плиток)

4. Найдем, сколько всего было бы плиток, если бы во всех трех рядах их было поровну (как в верхнем):

$60 + 9 = 69$ (плиток)

5. Теперь, когда в каждом из трех рядов условно одинаковое количество плиток, найдем, сколько плиток в верхнем ряду:

$69 : 3 = 23$ (плитки) – в верхнем ряду.

6. Найдем количество плиток в остальных рядах:

• В среднем ряду (на 3 меньше, чем в верхнем): $23 - 3 = 20$ (плиток).
• В нижнем ряду (на 3 меньше, чем в среднем): $20 - 3 = 17$ (плиток).

Проверка: $23 + 20 + 17 = 60$. Расчеты верны.

Ответ: в верхнем ряду 23 синие плитки, в среднем – 20, а в нижнем – 17.