Страница 100 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.7 НАБЛЮДАЕМ

1) Сравните углы, на которые поворачивается стрелка часов от цифры 1 до цифры 3 и от цифры 4 до цифры 6.

2) На какой угол (острый, прямой, тупой или развёрнутый) поворачивается часовая стрелка за 1 ч; 2 ч; 3 ч; 4 ч; 5 ч; 6 ч?

3) Минутная стрелка за 15 мин поворачивается на некоторый угол. За какое время на тот же угол поворачивается часовая стрелка?

1)

Циферблат часов представляет собой окружность, градусная мера которой равна $360^\circ$. На циферблате 12 делений, соответствующих часам. Следовательно, угол между двумя соседними цифрами составляет $360^\circ \div 12 = 30^\circ$.

Найдем угол, на который поворачивается часовая стрелка при движении от цифры 1 до цифры 3. Это движение охватывает $3 - 1 = 2$ часовых деления. Величина этого угла равна $2 \times 30^\circ = 60^\circ$.

Найдем угол, на который поворачивается часовая стрелка при движении от цифры 4 до цифры 6. Это движение охватывает $6 - 4 = 2$ часовых деления. Величина этого угла также равна $2 \times 30^\circ = 60^\circ$.

Сравнивая полученные углы, видим, что $60^\circ = 60^\circ$.

Ответ: эти углы равны.

2)

Часовая стрелка за 1 час поворачивается на угол, равный $30^\circ$. Рассчитаем углы для каждого промежутка времени и определим их вид:

• За 1 час: $1 \times 30^\circ = 30^\circ$. Угол меньше $90^\circ$, значит, он острый.
• За 2 часа: $2 \times 30^\circ = 60^\circ$. Угол меньше $90^\circ$, значит, он острый.
• За 3 часа: $3 \times 30^\circ = 90^\circ$. Угол равен $90^\circ$, значит, он прямой.
• За 4 часа: $4 \times 30^\circ = 120^\circ$. Угол больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, значит, он тупой.
• За 5 часов: $5 \times 30^\circ = 150^\circ$. Угол больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, значит, он тупой.
• За 6 часов: $6 \times 30^\circ = 180^\circ$. Угол равен $180^\circ$, значит, он развёрнутый.

Ответ: за 1 ч — острый, за 2 ч — острый, за 3 ч — прямой, за 4 ч — тупой, за 5 ч — тупой, за 6 ч — развёрнутый.

3)

Сначала определим, на какой угол поворачивается минутная стрелка за 15 минут. Полный оборот ($360^\circ$) минутная стрелка совершает за 60 минут. Скорость ее движения составляет $360^\circ \div 60 \text{ мин} = 6^\circ$ в минуту.

За 15 минут минутная стрелка повернется на угол: $15 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 90^\circ$.

Теперь выясним, за какое время на этот же угол ($90^\circ$) повернется часовая стрелка. Как мы знаем из предыдущих заданий, часовая стрелка за 1 час поворачивается на $30^\circ$. Чтобы найти время, необходимое для поворота на $90^\circ$, разделим искомый угол на скорость поворота часовой стрелки:

$Время = \frac{Угол}{Скорость} = \frac{90^\circ}{30^\circ/\text{ч}} = 3$ часа.

Ответ: за 3 часа.

1) Начертите какой-нибудь острый угол и постройте угол, дополняющий его до развёрнутого угла. Начертите тупой угол. Постройте угол, дополняющий его до развёрнутого угла.

2) Пусть углы $AOB$ и $BOC$ составляют развёрнутый угол. Каким является угол $BOC$, если угол $AOB$: а) острый; б) прямой; в) тупой?

1)

Чтобы построить угол, дополняющий данный угол до развёрнутого (то есть до $180^\circ$), нужно одну из сторон данного угла продлить за его вершину так, чтобы получилась прямая линия. Новый угол, который образуется между продолжением этой стороны и второй стороной исходного угла, будет искомым. Такие два угла называются смежными, и их сумма всегда равна $180^\circ$.

Для острого угла: Начертим острый угол $\angle AOB$ (угол, меньший $90^\circ$, например, $\angle AOB = 60^\circ$). Продлим луч $OA$ за вершину $O$, получив прямую $AC$. Образовавшийся угол $\angle BOC$ будет смежным с углом $\angle AOB$ и будет дополнять его до развёрнутого. Величина угла $\angle BOC$ будет равна $180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Поскольку $120^\circ > 90^\circ$, этот угол является тупым.

Для тупого угла: Начертим тупой угол $\angle AOB$ (угол, больший $90^\circ$ и меньший $180^\circ$, например, $\angle AOB = 135^\circ$). Аналогично, продлим луч $OA$ за вершину $O$, получив прямую $AC$. Угол $\angle BOC$ будет смежным с углом $\angle AOB$. Его величина будет равна $180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Поскольку $45^\circ < 90^\circ$, этот угол является острым.

Ответ: Угол, дополняющий острый угол до развёрнутого, является тупым. Угол, дополняющий тупой угол до развёрнутого, является острым.

2)

Если углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ составляют развёрнутый угол, это означает, что они смежные и их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$, откуда следует, что $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB$.

а) Если угол $\angle AOB$ острый, то его градусная мера находится в интервале $0^\circ < \angle AOB < 90^\circ$. Тогда для угла $\angle BOC$ получаем: $180^\circ - 90^\circ < 180^\circ - \angle AOB < 180^\circ - 0^\circ$, что соответствует $90^\circ < \angle BOC < 180^\circ$. Угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, является тупым.

Ответ: тупой.

б) Если угол $\angle AOB$ прямой, то его градусная мера $\angle AOB = 90^\circ$. Тогда для угла $\angle BOC$ получаем: $\angle BOC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Угол, равный $90^\circ$, является прямым.

Ответ: прямой.

в) Если угол $\angle AOB$ тупой, то его градусная мера находится в интервале $90^\circ < \angle AOB < 180^\circ$. Тогда для угла $\angle BOC$ получаем: $180^\circ - 180^\circ < 180^\circ - \angle AOB < 180^\circ - 90^\circ$, что соответствует $0^\circ < \angle BOC < 90^\circ$. Угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$, является острым.

Ответ: острый.

5.9 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Найдите на рисунке 5.10, а острые углы, тупые углы.

Рис. 5.10

2) Углы $ \angle AOD $ и $ \angle COB $ можно сравнить на глаз: легко видеть, что угол $ \angle AOD $ больше, чем угол $ \angle COB $. Сравнить на глаз углы $ \angle DOB $ и $ \angle AOC $ сложнее, но можно сделать это с помощью рассуждений.

Способ 1. Угол $ \angle AOC $ состоит из двух углов – $ \angle DOC $ и $ \angle AOD $ (красный и синий); угол $ \angle DOB $ – из углов $ \angle DOC $ и $ \angle COB $ (красный и зелёный). Поскольку угол $ \angle DOC $ у них общий, а угол $ \angle AOD $ больше угла $ \angle COB $, то угол $ \angle AOC $ больше угла $ \angle DOB $.

Способ 2. Угол $ \angle COB $ дополняет угол $ \angle AOC $ до развёрнутого угла, а угол $ \angle AOD $ дополняет угол $ \angle DOB $ до развёрнутого угла; так как угол $ \angle COB $ меньше угла $ \angle AOD $, следовательно, угол $ \angle AOC $ больше угла $ \angle DOB $.

3) Используя один из приведённых способов рассуждения, сравните:

а) углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOD $ (рис. 5.10, б);

б) отрезки $ AC $ и $ BD $ (рис. 5.10, в).

1)

На рисунке 5.10, а:

Острые углы (угол, который меньше $90^\circ$): $\angle AOC$, $\angle DOB$, $\angle COD$.

Тупые углы (угол, который больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$): $\angle AOD$, $\angle COB$.

Ответ: Острые углы: $\angle AOC, \angle DOB, \angle COD$. Тупые углы: $\angle AOD, \angle COB$.

3)

а) Для сравнения углов $\angle AOC$ и $\angle BOD$ на рисунке 5.10, б воспользуемся Способом 1, который основан на сравнении фигур через их общую часть.

Угол $\angle AOC$ состоит из двух углов: $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Его величину можно записать как сумму: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$.

Угол $\angle BOD$ состоит из двух углов: $\angle BOC$ и $\angle COD$. Его величину можно записать как сумму: $\angle BOD = \angle BOC + \angle COD$.

В обоих выражениях есть общий угол $\angle BOC$. Следовательно, для сравнения $\angle AOC$ и $\angle BOD$ достаточно сравнить другие слагаемые: $\angle AOB$ и $\angle COD$.

Из рисунка видно (углы отмечены квадратиками), что оба угла прямые, то есть $\angle AOB = 90^\circ$ и $\angle COD = 90^\circ$.

Поскольку $\angle AOB = \angle COD$, то и суммы равны, а значит $\angle AOC = \angle BOD$.

Ответ: $\angle AOC = \angle BOD$.

б) Для сравнения отрезков $AC$ и $BD$ на рисунке 5.10, в применим тот же способ рассуждения.

Длина отрезка $AC$ является суммой длин отрезков $AB$ и $BC$: $AC = AB + BC$.

Длина отрезка $BD$ является суммой длин отрезков $BC$ и $CD$: $BD = BC + CD$.

Оба отрезка включают в себя общий отрезок $BC$. Поэтому для сравнения $AC$ и $BD$ достаточно сравнить отрезки $AB$ и $CD$.

На рисунке отрезки $AB$ и $CD$ отмечены одинаковыми штрихами, что означает их равенство: $AB = CD$.

Так как равны слагаемые $AB$ и $CD$, и слагаемое $BC$ является общим, то и суммы равны. Следовательно, $AC = BD$.

Ответ: $AC = BD$.

5.10 Исследуем

1) Постройте окружность и проведите её диаметр $AB$. Постройте угол $ACB$ с вершиной $C$, лежащей на окружности. Каким (острым, прямым или тупым) является этот угол?

2) Постройте ещё два угла с вершинами на окружности, опирающиеся на диаметр, и ответьте на тот же вопрос. Сопоставьте свои наблюдения с наблюдениями одноклассников. Закончите вывод: «Угол с вершиной на окружности, опирающийсяся на её диаметр, является...»

3) Как построить прямой угол, имея только циркуль и линейку?

1) Для построения мы выполняем следующие шаги: с помощью циркуля строим окружность с центром в точке О. Затем с помощью линейки проводим отрезок через центр О так, чтобы его концы (А и В) лежали на окружности. Этот отрезок АВ является диаметром. После этого выбираем на окружности любую точку С, не совпадающую с точками А и В, и соединяем ее отрезками с точками А и В. В результате получаем угол АСВ.

Полученный угол АСВ является вписанным в окружность. Он опирается на диаметр АВ. Дуга, на которую опирается этот угол, представляет собой полуокружность, градусная мера которой составляет $180^\circ$. По свойству вписанных углов, величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Таким образом, величина угла АСВ вычисляется как:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Следовательно, этот угол является прямым.

Ответ: Угол АСВ является прямым.

2) Если мы построим еще два угла с вершинами в других точках на окружности (например, D и E), которые также опираются на диаметр АВ, то для них будет справедливо то же самое свойство. Углы $\angle ADB$ и $\angle AEB$ также будут вписанными и опирающимися на дугу в $180^\circ$.

Следовательно, их величины также будут равны $90^\circ$:

$\angle ADB = 90^\circ$

$\angle AEB = 90^\circ$

Все углы с вершиной на окружности, опирающиеся на ее диаметр, являются прямыми. На основе этих наблюдений можно закончить предложенный вывод.

Законченный вывод: «Угол с вершиной на окружности, опирающийся на её диаметр, является прямым».

Ответ: Все такие углы являются прямыми. Вывод: «Угол с вершиной на окружности, опирающийся на её диаметр, является прямым».

3) Используя свойство, установленное в предыдущих пунктах, можно легко построить прямой угол с помощью циркуля и линейки. Для этого нужно выполнить следующую последовательность действий:

1. С помощью циркуля начертить произвольную окружность.
2. С помощью линейки провести через центр окружности прямую до пересечения с окружностью в двух точках. Обозначим эти точки А и В. Отрезок АВ будет диаметром окружности.
3. Выбрать любую другую точку С на окружности.
4. С помощью линейки соединить точку С с точками А и В.
В результате построенный угол $\angle ACB$ будет прямым.

Ответ: Необходимо построить окружность, провести в ней диаметр, а затем соединить концы этого диаметра с любой другой точкой, лежащей на окружности. Полученный угол будет прямым.