Страница 102 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Покажите руками угол в $90^\circ$, $180^\circ$. Повернитесь на угол, равный $90^\circ$, $180^\circ$, $360^\circ$.

Покажите руками угол в 90°, 180°

Чтобы показать руками угол, равный $90^{\circ}$ (это прямой угол), можно вытянуть одну руку прямо перед собой, а другую — ровно в сторону. Ваше туловище будет служить вершиной угла, а вытянутые руки — его сторонами.

Чтобы показать руками угол, равный $180^{\circ}$ (это развернутый угол), нужно развести обе руки в противоположные стороны так, чтобы они образовали одну прямую линию.

Ответ: Для демонстрации угла $90^{\circ}$ одна рука вытягивается вперед, а другая в сторону. Для угла $180^{\circ}$ обе руки вытягиваются в противоположные стороны, образуя прямую линию.

Повернитесь на угол, равный 90°, 180°, 360°

Поворот на $90^{\circ}$ — это поворот на четверть полного круга. Если вы стоите лицом вперед, то после такого поворота вы будете смотреть ровно вправо или ровно влево от исходного направления. Это команда «направо» или «налево».

Поворот на $180^{\circ}$ — это поворот на половину полного круга. Выполнив его, вы окажетесь лицом в направлении, противоположном исходному (то есть спиной вперед). Это команда «кругом».

Поворот на $360^{\circ}$ — это полный оборот вокруг своей оси. После такого поворота вы вернетесь в исходное положение и будете смотреть в том же направлении, что и до начала движения.

Ответ: Поворот на $90^{\circ}$ — это поворот направо или налево; поворот на $180^{\circ}$ — разворот в противоположную сторону; поворот на $360^{\circ}$ — полный оборот с возвращением в исходную позицию.

Каким (острым, прямым, тупым или развёрнутым) является угол, величина которого равна: $22^\circ$, $163^\circ$, $90^\circ$, $18^\circ$, $98^\circ$, $180^\circ$, $89^\circ$, $178^\circ$?

Чтобы определить тип угла (острый, прямой, тупой или развёрнутый), необходимо сравнить его градусную меру с ключевыми значениями $90^\circ$ (прямой угол) и $180^\circ$ (развёрнутый угол). Вспомним определения:

- Острый угол: угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.
- Прямой угол: угол, градусная мера которого равна ровно $90^\circ$.
- Тупой угол: угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
- Развёрнутый угол: угол, градусная мера которого равна ровно $180^\circ$.

Теперь классифицируем каждый из предложенных углов:

22°: Величина этого угла составляет $22^\circ$. Так как $0^\circ < 22^\circ < 90^\circ$, этот угол меньше прямого угла. Следовательно, он является острым.
Ответ: острый.

163°: Величина этого угла составляет $163^\circ$. Так как $90^\circ < 163^\circ < 180^\circ$, этот угол больше прямого, но меньше развёрнутого. Следовательно, он является тупым.
Ответ: тупой.

90°: Величина этого угла составляет ровно $90^\circ$. По определению, угол такой величины является прямым.
Ответ: прямой.

18°: Величина этого угла составляет $18^\circ$. Так как $0^\circ < 18^\circ < 90^\circ$, этот угол меньше прямого. Следовательно, он является острым.
Ответ: острый.

98°: Величина этого угла составляет $98^\circ$. Так как $90^\circ < 98^\circ < 180^\circ$, этот угол больше прямого, но меньше развёрнутого. Следовательно, он является тупым.
Ответ: тупой.

180°: Величина этого угла составляет ровно $180^\circ$. По определению, угол такой величины является развёрнутым.
Ответ: развёрнутый.

89°: Величина этого угла составляет $89^\circ$. Так как $0^\circ < 89^\circ < 90^\circ$, этот угол меньше прямого. Следовательно, он является острым.
Ответ: острый.

178°: Величина этого угла составляет $178^\circ$. Так как $90^\circ < 178^\circ < 180^\circ$, этот угол больше прямого, но меньше развёрнутого. Следовательно, он является тупым.
Ответ: тупой.

Обратите внимание, как связаны между собой внутренняя и внешняя шкалы транспортира. Каким делениям на внутренней шкале соответствуют метки $50^\circ$ и $140^\circ$ на внешней шкале?

Внутренняя и внешняя шкалы транспортира представляют собой две системы отсчета, идущие в противоположных направлениях. Обе шкалы градуированы от 0 до 180 градусов. Это сделано для удобства измерения углов, отложенных от разных сторон (от левого или правого луча).

Ключевая связь между шкалами заключается в том, что сумма значений на любой общей отметке для внутренней и внешней шкалы всегда равна $180^{\circ}$. Это происходит потому, что они вместе описывают развернутый угол. Если обозначить значение на внешней шкале как $V_{внеш}$ и на внутренней — как $V_{внутр}$, то можно записать следующую формулу:

$V_{внеш} + V_{внутр} = 180^{\circ}$

Используя эту формулу, мы можем найти значение на одной шкале, если известно значение на другой. Для нахождения значения на внутренней шкале формула будет такой:

$V_{внутр} = 180^{\circ} - V_{внеш}$

Теперь применим эту формулу для решения поставленных вопросов.

1. Соответствие для метки 50° на внешней шкале

Чтобы найти соответствующее деление на внутренней шкале, вычтем 50° из 180°:

$V_{внутр} = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$

Ответ: метке 50° на внешней шкале соответствует деление 130° на внутренней шкале.

2. Соответствие для метки 140° на внешней шкале

Аналогично, чтобы найти соответствующее деление на внутренней шкале, вычтем 140° из 180°:

$V_{внутр} = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$

Ответ: метке 140° на внешней шкале соответствует деление 40° на внутренней шкале.

5.14 Выберите из данных углов сначала острые, а затем тупые углы:

$114^\circ$, $54^\circ$, $81^\circ$, $100^\circ$, $139^\circ$, $99^\circ$, $90^\circ$, $77^\circ$

Для того чтобы выбрать острые и тупые углы из предложенного списка, необходимо знать определения этих углов на основе их градусной меры:

• Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0°$ и меньше $90°$.
• Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна ровно $90°$.
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90°$, но меньше $180°$.

Проанализируем каждый угол из данного набора: $114°, 54°, 81°, 100°, 139°, 99°, 90°, 77°$.

Острые углы

Выберем углы, величина которых меньше $90°$.

• $54° < 90°$, следовательно, это острый угол.
• $81° < 90°$, следовательно, это острый угол.
• $77° < 90°$, следовательно, это острый угол.

Ответ: $54°, 81°, 77°$.

Тупые углы

Выберем углы, величина которых больше $90°$.

• $114° > 90°$, следовательно, это тупой угол.
• $100° > 90°$, следовательно, это тупой угол.
• $139° > 90°$, следовательно, это тупой угол.
• $99° > 90°$, следовательно, это тупой угол.

Ответ: $114°, 100°, 139°, 99°$.

Примечание: Угол в $90°$ является прямым углом, поэтому он не относится ни к острым, ни к тупым углам и не включается в итоговые списки.

5.15 Начертите в тетради прямой угол и разделите его на глаз на три равные части. Чему должна быть равна величина каждой части? Проверьте себя с помощью транспортира.

Чему должна быть равна величина каждой части?

Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна $90^\circ$. Чтобы найти величину каждой из трех равных частей, на которые его нужно разделить, необходимо общую градусную меру разделить на 3.

Выполним вычисление:
$90^\circ \div 3 = 30^\circ$

Таким образом, величина каждой части должна быть равна $30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.

Построение и проверка с помощью транспортира

Практическая часть задания по построению и проверке выполняется в несколько шагов:

1. Сначала необходимо начертить прямой угол. Это можно сделать с помощью угольника или по клеткам тетради.
2. Далее, из вершины этого угла нужно провести два луча так, чтобы они разделили прямой угол на три части, которые визуально (на глаз) кажутся равными.
3. Чтобы проверить точность построения, следует использовать транспортир:
   1. Совместите центр транспортира с вершиной построенного угла.
   2. Совместите одну из сторон угла с отметкой $0^\circ$ на шкале транспортира.
   3. Посмотрите, на какие отметки указывают два луча, проведенные на предыдущем шаге. В идеале они должны проходить через отметки $30^\circ$ и $60^\circ$. Это будет означать, что вы получили три равных угла, каждый по $30^\circ$.

Ответ: Построение проверяется с помощью транспортира. Каждый из трех получившихся углов должен иметь величину, равную $30^\circ$.

5.16 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Рассмотрите рисунок 5.15 и объясните, почему измерение величины угла выполнено неверно.

а) б) Рис. 5.15

а) Измерение выполнено неверно, потому что вершина угла (точка А) не совмещена с центром транспортира. Правило измерения угла с помощью транспортира гласит, что центр транспортира должен быть размещен точно в вершине измеряемого угла. В данном случае вершина угла смещена от центра, что приводит к неверному показанию на шкале.
Ответ: Вершина угла не совмещена с центром транспортира.

б) Измерение выполнено неверно, потому что ни одна из сторон угла не совмещена с базовой линией транспортира, то есть не проходит через нулевую отметку ($0^{\circ}$) на его шкале. Для правильного измерения угла необходимо, чтобы после совмещения вершины угла с центром транспортира одна из его сторон обязательно проходила через начало отсчета ($0^{\circ}$) на шкале.
Ответ: Ни одна из сторон угла не совмещена с базовой линией (нулевой отметкой) транспортира.

5.17 Измерьте и запишите величины углов, изображённых на рисунке 5.7 (см. с. 99).

Поскольку рисунок 5.7 к задаче не предоставлен, невозможно измерить и записать точные величины углов. Вместо этого, будет продемонстрирован общий метод измерения и записи на гипотетических примерах, которые могли бы быть на этом рисунке.

Допустим, на рисунке изображен острый угол $\angle ABC$. Для его измерения с помощью транспортира необходимо выполнить следующие действия:

1. Приложить транспортир так, чтобы его центр (специальная отметка) совпал с вершиной угла, то есть с точкой B.

2. Повернуть транспортир так, чтобы одна из сторон угла, например луч BA, прошла через нулевую отметку (0°) на шкале транспортира.

3. Посмотреть, где вторая сторона угла, луч BC, пересекает ту же самую шкалу. Предположим, это отметка 45°.

Таким образом, мы измерили, что величина угла $\angle ABC$ равна 45°.

Ответ: $\angle ABC = 45°$.

Предположим, на рисунке есть прямой угол $\angle DEF$. При измерении его транспортиром, если одна сторона (например, ED) совмещена с 0°, то вторая сторона (EF) будет указывать точно на отметку 90°. Прямые углы часто обозначаются специальным квадратиком в вершине.

Ответ: $\angle DEF = 90°$.

Допустим, на рисунке изображен тупой угол $\angle GHI$. Измеряя его, мы совмещаем вершину H с центром транспортира и сторону HG с отметкой 0°. Предположим, что сторона HI пересекает шкалу на отметке 135°.

Ответ: $\angle GHI = 135°$.

Предположим, на рисунке есть развернутый угол $\angle JKL$. Его стороны JK и KL лежат на одной прямой и направлены в разные стороны от вершины K. Величина такого угла всегда равна 180°.

Ответ: $\angle JKL = 180°$.

5.18 Начертите в тетради два острых и два тупых угла. Измерьте величину каждого из них.

Для выполнения этого задания необходимо использовать линейку для начертания лучей угла и транспортир для его измерения.

Два острых угла

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Начертим в тетради два произвольных острых угла и измерим их величину с помощью транспортира.

1. Начертим первый острый угол, обозначим его $\angle ABC$. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла (точкой B), а сторона BA прошла через отметку $0^\circ$. Другая сторона BC укажет на величину угла. Допустим, мы получили $40^\circ$.

2. Начертим второй острый угол, $\angle DEF$. Измерив его аналогичным образом, мы получили, например, $65^\circ$.

Оба угла, $40^\circ$ и $65^\circ$, меньше $90^\circ$, следовательно, они являются острыми.

Ответ: $40^\circ$, $65^\circ$.

Два тупых угла

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Начертим в тетради два произвольных тупых угла и измерим их.

1. Начертим первый тупой угол, $\angle GHI$. После измерения транспортиром его величина оказалась равной $115^\circ$.

2. Начертим второй тупой угол, $\angle JKL$. Его измеренная величина составила $150^\circ$.

Оба угла, $115^\circ$ и $150^\circ$, больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, следовательно, они являются тупыми.

Ответ: $115^\circ$, $150^\circ$.

5.19 Определите сначала, каким (острым или тупым) является угол, а затем постройте его с помощью транспортира:

а) $35^\circ$;

б) $64^\circ$;

в) $95^\circ$;

г) $119^\circ$;

д) $153^\circ$.

Для решения задачи вспомним определения видов углов. Угол называется острым, если его градусная мера больше $0°$ и меньше $90°$. Угол называется тупым, если его градусная мера больше $90°$ и меньше $180°$.

а) 35°

Сначала определим вид угла. Поскольку градусная мера угла $35°$ меньше $90°$ ($35° < 90°$), данный угол является острым.

Для построения угла с помощью транспортира необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить произвольный луч с началом в точке О. Это будет одна из сторон угла.

2. Приложить транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой О, а сам луч прошел через отметку $0°$ на шкале транспортира.

3. Найти на этой же шкале отметку в $35°$ и поставить напротив нее точку (например, А).

4. Провести второй луч из точки О через точку А. Полученный угол будет равен $35°$.

Ответ: острый.

б) 64°

Определим вид угла. Так как $64° < 90°$, этот угол является острым.

Построение выполняется аналогично: чертим луч, прикладываем к нему транспортир, находим на шкале отметку $64°$, ставим точку и проводим через нее второй луч из той же начальной точки.

Ответ: острый.

в) 95°

Определим вид угла. Так как градусная мера угла $95°$ больше $90°$ ($95° > 90°$), данный угол является тупым.

Для построения угла в $95°$ выполняются те же шаги:

1. Чертим луч.

2. Прикладываем транспортир центром к началу луча, совмещая нулевую отметку с лучом.

3. Находим на шкале отметку $95°$ и ставим точку.

4. Проводим второй луч, соединяя начало первого луча с поставленной точкой.

Ответ: тупой.

г) 119°

Определим вид угла. Так как $119° > 90°$, этот угол является тупым.

Алгоритм построения угла с помощью транспортира:

1. Проводим луч, который будет одной из сторон угла.

2. Помещаем центр транспортира в начальную точку луча и совмещаем его прямую сторону с лучом.

3. Находим на дуге транспортира отметку $119°$ и ставим точку.

4. Проводим второй луч из начальной точки через поставленную точку. Угол между лучами будет равен $119°$.

Ответ: тупой.

д) 153°

Определим вид угла. Так как $153° > 90°$, этот угол является тупым.

Чтобы построить данный угол, необходимо:

1. Начертить луч, который будет служить первой стороной угла.

2. Приложить транспортир так, чтобы его центр совпал с началом луча, а нулевая отметка — с самим лучом.

3. Найти на соответствующей шкале транспортира значение $153°$ и отметить его точкой.

4. Провести второй луч из той же начальной точки через отмеченную точку.

Ответ: тупой.

5.20 Используя линии квадратной сетки тетради, постройте углы, равные $45^\circ$ и $135^\circ$.

Подсказка. $45^\circ = 90^\circ : 2, 135^\circ = 90^\circ + 45^\circ$.

Для построения углов на клетчатой бумаге мы будем использовать тот факт, что линии сетки образуют прямые углы ($90^\circ$), а диагональ клетки делит прямой угол пополам.

Согласно подсказке, $45^\circ = 90^\circ : 2$. Это означает, что угол в $45^\circ$ — это половина прямого угла. На клетчатой бумаге диагональ квадрата (клетки) как раз делит его прямой угол на два равных угла.

Алгоритм построения:

1. Выберите точку на пересечении линий сетки. Это будет вершина нашего угла (назовем ее O).
2. Проведите из точки O луч по одной из линий сетки (например, по горизонтальной линии вправо). Это будет первая сторона угла.
3. Из той же точки O проведите второй луч по диагонали клеток (например, так, чтобы он проходил через точку, расположенную на одну клетку правее и на одну клетку выше от O). Это будет вторая сторона угла.

Полученный угол между горизонтальной линией и диагональю будет равен $45^\circ$.

Ответ: Угол в $45^\circ$ строится так: одна его сторона идет по линии сетки (горизонтальной или вертикальной), а вторая — по диагонали клеток из той же вершины.

Согласно подсказке, $135^\circ = 90^\circ + 45^\circ$. Это означает, что нам нужно к прямому углу добавить угол в $45^\circ$.

Алгоритм построения:

1. Выберите точку на пересечении линий сетки (вершина O).
2. Проведите из точки O луч по одной из линий сетки (например, по горизонтальной линии вправо). Это будет первая сторона угла.
3. Вторая сторона угла должна образовывать с первой угол в $135^\circ$. Мы знаем, что луч, идущий из O вертикально вверх, образует угол $90^\circ$. Чтобы получить $135^\circ$, нужно добавить еще $45^\circ$. Для этого мы проводим второй луч из точки O по диагонали клеток, но уже в соседнем квадранте (например, влево и вверх).

Угол между лучом, проведенным вправо по горизонтали, и лучом, проведенным по диагонали влево и вверх, и будет равен $135^\circ$.
Также можно заметить, что $135^\circ + 45^\circ = 180^\circ$. Это значит, что углы $135^\circ$ и $45^\circ$ — смежные. Поэтому, если построить прямую, выбрать на ней точку О и из этой точки провести луч под углом $45^\circ$ к прямой, то второй (смежный) угол будет равен $135^\circ$.

Ответ: Угол в $135^\circ$ строится так: одна его сторона идет по линии сетки (например, горизонтально), а вторая — по диагонали клеток, направленной в сторону, противоположную прямому углу, из той же вершины.