Номер 5.27, страница 104 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 5.2. Измерение углов. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 5.27, страница 104.

5.27 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ И АНАЛИЗИРУЕМ

1) Следуя алгоритму, сделайте модель:

• Начертите на листе бумаги угол, равный $120^\circ$; обозначьте его $AOB$ (буквы проставьте внутри угла).

• Вырежите угол.

• Проведите внутри угла произвольный луч $OC$.

• Перегните угол $AOC$ пополам, получившуюся биссектрису обозначьте $OK$.

• Перегните угол $BOC$ пополам, получившуюся биссектрису обозначьте $OM$.

2) Используя модель, догадайтесь, чему равна величина угла $MOK$.

3) Решите задачу: «Угол $AOB$ равен $90^\circ$ (рис. 5.20). Лучи $OM$ и $OK$ – биссектрисы углов $COB$ и $COA$. Найдите величину угла $MOK$».

Рис. 5.20

1) Следуя алгоритму, создадим и проанализируем модель.
• Начертим угол $AOB$, равный $120°$.
• Проведем внутри него произвольный луч $OC$. Этот луч делит угол $AOB$ на два угла: $AOC$ и $BOC$. Сумма их величин равна величине угла $AOB$, то есть $∠AOC + ∠BOC = 120°$.
• Проведем биссектрису $OK$ угла $AOC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, поэтому $∠KOC = \frac{1}{2}∠AOC$.
• Проведем биссектрису $OM$ угла $BOC$. Аналогично, $∠MOC = \frac{1}{2}∠BOC$.
В результате мы получили модель, где угол $MOK$ состоит из двух углов: $KOC$ и $MOC$.

2) Используя модель, определим величину угла $MOK$.
Угол $MOK$ является суммой углов $KOC$ и $MOC$:
$∠MOK = ∠KOC + ∠MOC$.
Из первого пункта мы знаем, что $∠KOC = \frac{1}{2}∠AOC$ и $∠MOC = \frac{1}{2}∠BOC$.
Подставим эти выражения в формулу для угла $MOK$:
$∠MOK = \frac{1}{2}∠AOC + \frac{1}{2}∠BOC$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$∠MOK = \frac{1}{2}(∠AOC + ∠BOC)$.
Так как луч $OC$ проходит между сторонами угла $AOB$, то сумма углов $AOC$ и $BOC$ равна углу $AOB$: $∠AOC + ∠BOC = ∠AOB$.
Следовательно, формула для нахождения угла $MOK$ выглядит так: $∠MOK = \frac{1}{2}∠AOB$.
Подставим значение угла $AOB$ из условия эксперимента ($120°$):
$∠MOK = \frac{1}{2} \times 120° = 60°$.
Этот результат не зависит от положения луча $OC$ внутри угла $AOB$.
Ответ: $60°$.

3) Дано:
$∠AOB = 90°$.
$OK$ — биссектриса угла $COA$.
$OM$ — биссектриса угла $COB$.
Найти: $∠MOK$.
Решение:
Как было установлено в предыдущем пункте, величина угла, образованного биссектрисами двух смежных углов, равна половине величины угла, который составляют эти углы.
Угол $MOK$ образован биссектрисами $OM$ и $OK$ смежных углов $COB$ и $COA$, которые вместе составляют угол $AOB$.
Следовательно, для нахождения величины угла $MOK$ можно использовать формулу:
$∠MOK = \frac{1}{2}∠AOB$.
Подставим в формулу данное значение $∠AOB = 90°$:
$∠MOK = \frac{1}{2} \times 90° = 45°$.
Ответ: $45°$.