Номер 5.28, страница 104 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 5.2. Измерение углов. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 5.28, страница 104.

5.28 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Сколько углов, равных $60^\circ$ и имеющих общую вершину и общие с «соседями» стороны, можно построить? Обратите внимание: углы не могут частично перекрываться.

2) Отметьте точку и проведите из неё лучи так, чтобы все углы между двумя соседними лучами были тупыми.

3) Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести, чтобы все углы, образованные двумя соседними лучами, были острыми?

1) Сколько углов, равных 60° и имеющих общую вершину и общие с «соседями» стороны, можно построить?

Сумма всех углов, расположенных вокруг одной точки (общей вершины), составляет $360°$. Если углы примыкают друг к другу без перекрытия, то для нахождения их максимального количества необходимо разделить полный угол ($360°$) на величину одного угла.

Рассчитаем количество углов:
$360° \div 60° = 6$.

Таким образом, можно построить 6 таких углов, которые полностью заполнят пространство вокруг общей вершины.
Ответ: 6 углов.

2) Отметьте точку и проведите из неё лучи так, чтобы все углы между двумя соседними лучами были тупыми.

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90°$, но меньше $180°$. Сумма всех углов между соседними лучами, проведенными из одной точки, должна составлять $360°$.

Пусть $n$ — это количество лучей, которые образуют $n$ углов. Каждый из этих углов $\alpha_i$ должен быть тупым, то есть $90° < \alpha_i < 180°$.

Сумма всех углов равна $360°$: $\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n = 360°$.

Поскольку каждый угол больше $90°$, их сумма больше чем $n \times 90°$. Из этого следует неравенство: $n \times 90° < 360°$, что означает $n < 4$.

Также, поскольку каждый угол меньше $180°$, их сумма меньше чем $n \times 180°$. Отсюда следует, что $n \times 180° > 360°$, что означает $n > 2$.

Единственное целое число $n$, удовлетворяющее условию $2 < n < 4$, — это $n=3$.

Следовательно, можно провести 3 луча. Например, если углы между ними равны, то каждый будет $360° \div 3 = 120°$. Угол в $120°$ является тупым, так как $90° < 120° < 180°$.
Ответ: можно, для этого нужно провести 3 луча (например, так, чтобы углы между ними были по $120°$).

3) Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести, чтобы все углы, образованные двумя соседними лучами, были острыми?

Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0°$ и меньше $90°$. Сумма всех углов вокруг одной точки равна $360°$.

Пусть $n$ — искомое наименьшее число лучей. Эти лучи образуют $n$ углов, и каждый из них по условию должен быть острым, то есть меньше $90°$.

Сумма всех этих углов равна $360°$. Если каждый из $n$ углов меньше $90°$, то их сумма будет меньше, чем $n \times 90°$.

Таким образом, мы получаем неравенство: $360° < n \times 90°$.

Чтобы найти $n$, разделим обе части неравенства на $90°$:
$n > 360° \div 90°$
$n > 4$.

Поскольку число лучей $n$ должно быть целым, наименьшее целое число, которое больше 4, это 5.

Проверим, возможно ли это для $n=5$. Если провести 5 лучей так, чтобы все углы между ними были равны, то величина каждого угла будет $360° \div 5 = 72°$. Угол $72°$ является острым ($0° < 72° < 90°$), значит, условие выполняется.
Ответ: 5 лучей.