Номер 5.24, страница 103 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 5.2. Измерение углов. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 5.24, страница 103.

5.24 НАБЛЮДАЕМ

а) Чему равен угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 1 ч; 3 ч; 4 ч; 11 ч 30 мин?

б) На сколько градусов поворачивается минутная стрелка часов за 15 мин; 30 мин; 1 ч? Часовая стрелка за 1 ч; 30 мин; 10 мин?

в) Представьте, что часы показывают 10 ч. На сколько градусов изменится величина угла между стрелками через 1 ч?

а) Для решения задачи необходимо знать, с какой скоростью движутся стрелки часов. Полный оборот циферблата составляет $360^\circ$.
Минутная стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 60 минут. Следовательно, её скорость равна $360^\circ / 60 \text{ мин} = 6^\circ$ в минуту.
Часовая стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 12 часов. Её скорость равна $360^\circ / 12 \text{ ч} = 30^\circ$ в час. В минутах её скорость составляет $30^\circ / 60 \text{ мин} = 0.5^\circ$ в минуту.

Рассчитаем углы для указанного времени (за точку отсчета $0^\circ$ примем положение на 12 часах):
- 1 ч (1:00): Минутная стрелка на 12 ($0^\circ$), часовая на 1. Угол для часовой стрелки: $1 \times 30^\circ = 30^\circ$. Угол между стрелками: $|30^\circ - 0^\circ| = 30^\circ$.
- 3 ч (3:00): Минутная стрелка на 12 ($0^\circ$), часовая на 3. Угол для часовой стрелки: $3 \times 30^\circ = 90^\circ$. Угол между стрелками: $|90^\circ - 0^\circ| = 90^\circ$.
- 4 ч (4:00): Минутная стрелка на 12 ($0^\circ$), часовая на 4. Угол для часовой стрелки: $4 \times 30^\circ = 120^\circ$. Угол между стрелками: $|120^\circ - 0^\circ| = 120^\circ$.
- 11 ч 30 мин (11:30):
Положение минутной стрелки: $30 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 180^\circ$.
Положение часовой стрелки: она прошла 11 полных часов и еще 30 минут. Её угол: $11 \times 30^\circ + 30 \text{ мин} \times 0.5^\circ/\text{мин} = 330^\circ + 15^\circ = 345^\circ$.
Угол между стрелками: $|345^\circ - 180^\circ| = 165^\circ$.

Ответ: 1 ч - $30^\circ$; 3 ч - $90^\circ$; 4 ч - $120^\circ$; 11 ч 30 мин - $165^\circ$.

б) Используем ранее вычисленные скорости движения стрелок.

На сколько градусов поворачивается минутная стрелка:
- за 15 мин: $15 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 90^\circ$.
- за 30 мин: $30 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 180^\circ$.
- за 1 ч (60 мин): $60 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 360^\circ$.

На сколько градусов поворачивается часовая стрелка:
- за 1 ч: $1 \text{ ч} \times 30^\circ/\text{ч} = 30^\circ$.
- за 30 мин: $30 \text{ мин} \times 0.5^\circ/\text{мин} = 15^\circ$.
- за 10 мин: $10 \text{ мин} \times 0.5^\circ/\text{мин} = 5^\circ$.

Ответ: минутная стрелка поворачивается на $90^\circ$ за 15 мин, на $180^\circ$ за 30 мин, на $360^\circ$ за 1 ч. Часовая стрелка поворачивается на $30^\circ$ за 1 ч, на $15^\circ$ за 30 мин, на $5^\circ$ за 10 мин.

в) Сначала определим угол между стрелками в 10:00.
В 10:00 минутная стрелка указывает на 12 ($0^\circ$), а часовая — на 10.
Угол часовой стрелки: $10 \times 30^\circ = 300^\circ$.
Угол между стрелками — это меньший из двух возможных углов. Один угол равен $300^\circ$, а другой $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$. Таким образом, начальный угол равен $60^\circ$.

Теперь определим угол через 1 час, то есть в 11:00.
В 11:00 минутная стрелка снова указывает на 12 ($0^\circ$), а часовая — на 11.
Угол часовой стрелки: $11 \times 30^\circ = 330^\circ$.
Угол между стрелками: $360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$.

Величина угла изменилась с $60^\circ$ до $30^\circ$. Изменение составляет: $|60^\circ - 30^\circ| = 30^\circ$.

Ответ: величина угла изменится на $30^\circ$.