Страница 103 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.21 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ Запишите условие задачи с помощью символов. Решите задачу.

а) На рисунке 5.16 угол $BAC$ равен $28^\circ$, а угол $CAD$ равен $56^\circ$. Чему равна величина угла $BAD$?

Рис. 5.16

б) На рисунке 5.17 угол $BAC$ равен $136^\circ$, а угол $BAD$ равен $56^\circ$. Чему равна величина угла $CAD$?

Рис. 5.17

а)

Условие задачи с помощью символов:
Дано:
$\angle BAC = 28^{\circ}$
$\angle CAD = 56^{\circ}$
Найти: $\angle BAD$

Решение:
На рисунке 5.16 видно, что угол $\angle BAD$ состоит из двух смежных углов: $\angle BAC$ и $\angle CAD$. Чтобы найти величину угла $\angle BAD$, нужно сложить величины составляющих его углов. Это следует из аксиомы измерения углов.

Формула для нахождения угла $\angle BAD$:
$\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$

Подставим данные из условия задачи в формулу:

$\angle BAD = 28^{\circ} + 56^{\circ} = 84^{\circ}$

Ответ: $84^{\circ}$

б)

Условие задачи с помощью символов:
Дано:
$\angle BAC = 136^{\circ}$
$\angle BAD = 56^{\circ}$
Найти: $\angle CAD$

Решение:
На рисунке 5.17 видно, что луч AD проходит между сторонами угла $\angle BAC$. Таким образом, угол $\angle BAC$ разделен на два угла: $\angle BAD$ и $\angle CAD$. Величина всего угла $\angle BAC$ равна сумме величин его частей.

$\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD$

Чтобы найти величину неизвестного угла $\angle CAD$, нужно из величины большего угла $\angle BAC$ вычесть величину известной его части, угла $\angle BAD$.

$\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD$

Подставим известные значения:

$\angle CAD = 136^{\circ} - 56^{\circ} = 80^{\circ}$

Ответ: $80^{\circ}$

5.22 ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА Начертите в тетради полукруг. С помощью транспортира проведите радиусы так, чтобы они разделили его:

а) на четыре равные части;

б) на три равные части.

Чему равна градусная мера угла каждой части?

Центральный угол полукруга представляет собой развернутый угол, градусная мера которого составляет $180^\circ$. Чтобы разделить полукруг на равные части, необходимо разделить этот угол на соответствующее количество равных углов.

а) Чтобы разделить полукруг на четыре равные части, нужно найти градусную меру угла каждой части. Для этого разделим общий угол полукруга на 4:
$180^\circ : 4 = 45^\circ$
Таким образом, каждая из четырех частей будет сектором с центральным углом в $45^\circ$. Практически это выполняется так: начертив полукруг, от одного из крайних радиусов (лежащего на диаметре) с помощью транспортира откладывают последовательно углы $45^\circ$, $90^\circ$ ($45^\circ+45^\circ$) и $135^\circ$ ($90^\circ+45^\circ$) и проводят через эти точки радиусы из центра полукруга.
Ответ: $45^\circ$.

б) Чтобы разделить полукруг на три равные части, нужно найти градусную меру угла каждой части. Для этого разделим общий угол полукруга на 3:
$180^\circ : 3 = 60^\circ$
Следовательно, каждая из трех частей будет сектором с центральным углом в $60^\circ$. Практически это выполняется так: от одного из крайних радиусов с помощью транспортира откладывают последовательно углы $60^\circ$ и $120^\circ$ ($60^\circ+60^\circ$) и проводят соответствующие радиусы.
Ответ: $60^\circ$.

5.23 Ищем информацию

Помимо транспорта, существуют и другие инструменты, позволяющие измерять величины углов. Самые древние из них — это астролябия в астрономии, теодолит в геодезии. Найдите информацию об этих приборах в литературе или в Интернете.

Астролябия

Старинный теодолит

Куранты на Спасской башне Московского Кремля

Задание предлагает найти информацию о двух древних инструментах для измерения углов: астролябии и теодолите. Оба прибора сыграли огромную роль в развитии науки и техники.

Астролябия

Астролябия — это один из самых древних и многофункциональных астрономических инструментов. Ее название переводится с древнегреческого как «берущий звезду». Астролябия позволяла решать широкий круг задач: определять время по положению Солнца или звезд, вычислять время восхода и захода небесных светил, измерять их высоту над горизонтом и определять географическую широту местности. По сути, это был сложный аналоговый вычислительный прибор, представляющий собой плоскую проекцию небесной сферы.

Конструкция астролябии включала несколько основных частей. Это массивный корпус-диск, называемый «мать», внутри которого размещались сменные диски-тимпаны с нанесенными на них проекциями небесных координат для разных широт. Поверх тимпана вращалась ажурная решетка, или «паук», на которой остриями были отмечены положения самых ярких звезд. На оборотной стороне прибора крепилась алидада — вращающаяся линейка с диоптрами (прицельными отверстиями) для точного наведения на небесный объект и измерения его угловой высоты.

Ответ:

Старинный теодолит

Теодолит — это геодезический прибор, предназначенный для высокоточного измерения горизонтальных и вертикальных углов на местности. Он стал незаменимым инструментом в геодезии, картографии, строительстве и военном деле. Старинные теодолиты, подобные тому, что на изображении, изготавливались из металла (часто из латуни) и, несмотря на отсутствие электроники, позволяли достигать высокой точности измерений.

Принцип работы теодолита основан на использовании зрительной трубы, которая может вращаться вокруг двух взаимно перпендикулярных осей: вертикальной и горизонтальной. Каждая ось связана с угломерным кругом, называемым лимбом, на который нанесена градусная шкала. Чтобы измерить горизонтальный угол $ \alpha $ между двумя удаленными объектами, наблюдатель последовательно наводил на них зрительную трубу и считывал показания с горизонтального лимба. Разность этих показаний и давала искомое значение угла. Аналогично проводилось измерение вертикальных углов (углов наклона). Для точного считывания долей градуса использовались специальные шкалы-нониусы (верньеры).

Ответ:

5.24 НАБЛЮДАЕМ

а) Чему равен угол между часовой и минутной стрелками, если часы показывают 1 ч; 3 ч; 4 ч; 11 ч 30 мин?

б) На сколько градусов поворачивается минутная стрелка часов за 15 мин; 30 мин; 1 ч? Часовая стрелка за 1 ч; 30 мин; 10 мин?

в) Представьте, что часы показывают 10 ч. На сколько градусов изменится величина угла между стрелками через 1 ч?

а) Для решения задачи необходимо знать, с какой скоростью движутся стрелки часов. Полный оборот циферблата составляет $360^\circ$.
Минутная стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 60 минут. Следовательно, её скорость равна $360^\circ / 60 \text{ мин} = 6^\circ$ в минуту.
Часовая стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 12 часов. Её скорость равна $360^\circ / 12 \text{ ч} = 30^\circ$ в час. В минутах её скорость составляет $30^\circ / 60 \text{ мин} = 0.5^\circ$ в минуту.

Рассчитаем углы для указанного времени (за точку отсчета $0^\circ$ примем положение на 12 часах):
- 1 ч (1:00): Минутная стрелка на 12 ($0^\circ$), часовая на 1. Угол для часовой стрелки: $1 \times 30^\circ = 30^\circ$. Угол между стрелками: $|30^\circ - 0^\circ| = 30^\circ$.
- 3 ч (3:00): Минутная стрелка на 12 ($0^\circ$), часовая на 3. Угол для часовой стрелки: $3 \times 30^\circ = 90^\circ$. Угол между стрелками: $|90^\circ - 0^\circ| = 90^\circ$.
- 4 ч (4:00): Минутная стрелка на 12 ($0^\circ$), часовая на 4. Угол для часовой стрелки: $4 \times 30^\circ = 120^\circ$. Угол между стрелками: $|120^\circ - 0^\circ| = 120^\circ$.
- 11 ч 30 мин (11:30):
Положение минутной стрелки: $30 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 180^\circ$.
Положение часовой стрелки: она прошла 11 полных часов и еще 30 минут. Её угол: $11 \times 30^\circ + 30 \text{ мин} \times 0.5^\circ/\text{мин} = 330^\circ + 15^\circ = 345^\circ$.
Угол между стрелками: $|345^\circ - 180^\circ| = 165^\circ$.

Ответ: 1 ч - $30^\circ$; 3 ч - $90^\circ$; 4 ч - $120^\circ$; 11 ч 30 мин - $165^\circ$.

б) Используем ранее вычисленные скорости движения стрелок.

На сколько градусов поворачивается минутная стрелка:
- за 15 мин: $15 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 90^\circ$.
- за 30 мин: $30 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 180^\circ$.
- за 1 ч (60 мин): $60 \text{ мин} \times 6^\circ/\text{мин} = 360^\circ$.

На сколько градусов поворачивается часовая стрелка:
- за 1 ч: $1 \text{ ч} \times 30^\circ/\text{ч} = 30^\circ$.
- за 30 мин: $30 \text{ мин} \times 0.5^\circ/\text{мин} = 15^\circ$.
- за 10 мин: $10 \text{ мин} \times 0.5^\circ/\text{мин} = 5^\circ$.

Ответ: минутная стрелка поворачивается на $90^\circ$ за 15 мин, на $180^\circ$ за 30 мин, на $360^\circ$ за 1 ч. Часовая стрелка поворачивается на $30^\circ$ за 1 ч, на $15^\circ$ за 30 мин, на $5^\circ$ за 10 мин.

в) Сначала определим угол между стрелками в 10:00.
В 10:00 минутная стрелка указывает на 12 ($0^\circ$), а часовая — на 10.
Угол часовой стрелки: $10 \times 30^\circ = 300^\circ$.
Угол между стрелками — это меньший из двух возможных углов. Один угол равен $300^\circ$, а другой $360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$. Таким образом, начальный угол равен $60^\circ$.

Теперь определим угол через 1 час, то есть в 11:00.
В 11:00 минутная стрелка снова указывает на 12 ($0^\circ$), а часовая — на 11.
Угол часовой стрелки: $11 \times 30^\circ = 330^\circ$.
Угол между стрелками: $360^\circ - 330^\circ = 30^\circ$.

Величина угла изменилась с $60^\circ$ до $30^\circ$. Изменение составляет: $|60^\circ - 30^\circ| = 30^\circ$.

Ответ: величина угла изменится на $30^\circ$.

5.25 РАССУЖДАЕМ На рисунке 5.18 угол $\angle AOC$ равен $139^\circ$. Найдите величину угла $\angle COB$.

Рис. 5.18

На рисунке изображён развёрнутый угол $AOB$, который образован прямой $AB$ и точкой $O$ на ней. Величина развёрнутого угла равна $180^\circ$.

Углы $AOC$ и $COB$ являются смежными, так как у них общая вершина $O$, общая сторона $OC$, а две другие стороны, $OA$ и $OB$, являются дополнительными лучами (вместе образуют прямую).

Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Поэтому мы можем записать следующее равенство:

$\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$

По условию задачи, нам дана величина угла $AOC$:

$\angle AOC = 139^\circ$

Чтобы найти величину угла $COB$, нужно вычесть из $180^\circ$ величину известного угла $AOC$:

$\angle COB = 180^\circ - \angle AOC$

$\angle COB = 180^\circ - 139^\circ = 41^\circ$

Ответ: $41^\circ$.