Страница 109 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Чему вы научились

Обязательные умения

Умею измерять величину угла с помощью транспортира и строить угол за-данной величины.

1. Чему равна величина угла A; угла B?

Чтобы измерить величину угла, используется специальный инструмент — транспортир. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. Совместить центр транспортира с вершиной угла (с точкой, из которой выходят лучи).
2. Расположить транспортир так, чтобы одна из сторон угла прошла через отметку 0° на его шкале.
3. Посмотреть, на какое деление на той же шкале указывает вторая сторона угла. Это число и будет величиной угла в градусах.

Применив данный метод к углам на изображении, получим следующие результаты.

Угол A

Угол A — острый, так как он меньше прямого угла (90°). Прикладываем транспортир к вершине A так, чтобы его нижняя сторона совпала с отметкой 0°. Вторая сторона угла укажет на деление 45°.
Ответ: $ \angle A = 45^\circ $

Угол B

Угол B — тупой, так как он больше прямого угла (90°), но меньше развернутого (180°). Прикладываем транспортир к вершине B так, чтобы его горизонтальная сторона совпала с отметкой 0°. Вторая сторона угла укажет на деление 130°.
Ответ: $ \angle B = 130^\circ $

2. Постройте:

а) $\angle ABC = 57^\circ$;

б) $\angle KMN = 132^\circ$.

а)

Для построения угла $∠ABC = 57°$ с помощью линейки и транспортира необходимо выполнить следующие шаги:

1. Провести луч BC, который будет одной из сторон угла. Точка B — вершина угла.
2. Приложить транспортир к лучу BC так, чтобы его центр совпал с точкой B, а нулевая отметка на шкале транспортира оказалась на луче BC.
3. Найти на шкале транспортира отметку 57° и поставить рядом с ней точку A.
4. Провести луч BA через точки B и A.
5. Полученный угол $∠ABC$ является искомым углом, его градусная мера равна $57°$.

Ответ: Угол $∠ABC = 57°$ построен.

б)

Для построения угла $∠KMN = 132°$ с помощью линейки и транспортира необходимо выполнить следующие шаги:

1. Провести луч MN, который будет одной из сторон угла. Точка M — вершина угла.
2. Приложить транспортир к лучу MN так, чтобы его центр совпал с точкой M, а нулевая отметка на шкале транспортира оказалась на луче MN.
3. Найти на той же шкале транспортира отметку 132° и поставить рядом с ней точку K.
4. Провести луч MK через точки M и K.
5. Полученный угол $∠KMN$ является искомым углом, его градусная мера равна $132°$.

Ответ: Угол $∠KMN = 132°$ построен.

Умею определять, острым, тупым или прямым является угол.

3. Каким (острым, тупым или прямым) является данный угол?

a) Прямой угол

б) Тупой угол

в) Острый угол

Можно ли 18 карандашей разложить в 3 коробки так, чтобы в каждой коробке было 6 карандашей? В самом деле, так как $3 \times 6 = 18$. Частное равно 6. Поэтому в коробке находится по 6 карандашей. А разложить 18 карандашей в 4 коробки нельзя, так как 18 не делится. Остальное, 18 не делится. Доставать нету. от такого натурального целого, так урожаи коробки. Можно получить 18.

Для определения вида угла, сравним его с прямым углом, который равен $90^\circ$.

• Прямой угол равен $90^\circ$. Его стороны перпендикулярны друг другу, как угол у квадрата.
• Острый угол меньше $90^\circ$. Он "острее" или уже прямого угла.
• Тупой угол больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Он "тупее" или шире прямого угла.

а) На рисунке изображен угол, стороны которого перпендикулярны друг другу. Это эталонный прямой угол, его градусная мера составляет ровно $90^\circ$.
Ответ: прямой.

б) Угол на этом рисунке заметно шире, чем прямой угол. Если мысленно провести перпендикуляр из вершины угла к горизонтальной линии, то вторая сторона угла отклонится от него на значительное расстояние. Это означает, что его градусная мера больше $90^\circ$. Такой угол называется тупым.
Ответ: тупой.

в) Угол на данном рисунке заметно уже, чем прямой угол. Он "острее", и его градусная мера очевидно меньше $90^\circ$. Такой угол называется острым.
Ответ: острый.

4. Выберите из данных углов сначала острые, а затем тупые углы: $45^{\circ}$, $98^{\circ}$, $17^{\circ}$, $111^{\circ}$, $166^{\circ}$, $74^{\circ}$.

Чтобы выполнить задание, необходимо определить, какие углы являются острыми, а какие — тупыми, исходя из их градусной меры. Вспомним определения:

• Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$.
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Проанализируем заданный список углов: $45^\circ, 98^\circ, 17^\circ, 111^\circ, 166^\circ, 74^\circ$.

Острые углы

Выберем из списка все углы, которые меньше $90^\circ$.
$45^\circ < 90^\circ$ — является острым углом.
$17^\circ < 90^\circ$ — является острым углом.
$74^\circ < 90^\circ$ — является острым углом.
Углы $98^\circ, 111^\circ, 166^\circ$ больше $90^\circ$, поэтому они не являются острыми.
Таким образом, к острым углам относятся: $45^\circ, 17^\circ, 74^\circ$.

Ответ: $45^\circ, 17^\circ, 74^\circ$.

Тупые углы

Выберем из списка все углы, которые больше $90^\circ$.
$98^\circ > 90^\circ$ — является тупым углом.
$111^\circ > 90^\circ$ — является тупым углом.
$166^\circ > 90^\circ$ — является тупым углом.
Углы $45^\circ, 17^\circ, 74^\circ$ меньше $90^\circ$, поэтому они не являются тупыми.
Таким образом, к тупым углам относятся: $98^\circ, 111^\circ, 166^\circ$.

Ответ: $98^\circ, 111^\circ, 166^\circ$.

Знаю, что такое биссектриса угла, умею её проводить.

5. Проведите биссектрису угла $AOB$.

кратное или кратное. Говорить «3 — делитель 18» или «18 — кратное 3». (1) а) 18; б) 24.

Найдем все делители какого-нибудь числа, например 24. Два делителя очевидны: это 1 и само число 24. Чтобы выявить у этого числа другие делители, будем пробовать подряд деля, начиная с числа 2. Получим еще шесть делителей: 2, 3, 4, 6, 8, 12.

Других делителей у этого числа нет. Таким образом, число 24 имеет восемь делителей:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла. Чтобы провести биссектрису угла $AOB$, можно использовать транспортир или циркуль с линейкой.

Способ 1: С помощью транспортира

1. Приложите центр транспортира к вершине угла — точке $O$.
2. Совместите нулевую отметку шкалы транспортира с одним из лучей угла, например, с лучом $OB$.
3. Измерьте градусную меру угла $AOB$ по шкале. Обозначим эту величину как $\alpha$.
4. Вычислите половину этого угла: $\frac{\alpha}{2}$.
5. Найдите на шкале транспортира отметку, соответствующую значению $\frac{\alpha}{2}$, и поставьте в этом месте точку (назовем ее $C$).
6. Проведите луч, исходящий из вершины $O$ через точку $C$.

Полученный луч $OC$ и будет биссектрисой угла $AOB$, так как он делит его на два равных угла: $\angle AOC = \angle COB$.

Способ 2: С помощью циркуля и линейки (классическое построение)

1. Установите острие циркуля в вершину угла — точку $O$.
2. Проведите дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла обе стороны угла (лучи $OA$ и $OB$). Обозначим точки пересечения как $M$ на луче $OA$ и $N$ на луче $OB$.
3. Из точек $M$ и $N$ проведите две дуги одинакового радиуса (можно взять тот же радиус или новый) внутри угла так, чтобы они пересеклись. Обозначим точку их пересечения как $C$.
4. С помощью линейки соедините вершину угла $O$ с точкой пересечения дуг $C$.

Построенный луч $OC$ является биссектрисой угла $AOB$.

Ответ: Чтобы провести биссектрису угла $AOB$, нужно из его вершины $O$ провести луч (обозначим его $OC$) таким образом, чтобы он разделил угол $AOB$ на два равных угла: $\angle AOC = \angle COB$. Это построение можно выполнить либо с помощью транспортира, измерив угол и разделив его градусную меру пополам, либо с помощью циркуля и линейки по стандартному алгоритму.