Страница 113 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.2 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Проверьте, верно ли утверждение. Неверное исправьте так, чтобы получилось верное.

1) Число 23 является делителем числа 92.

2) Число 9 не является делителем числа 126.

3) Число 18 – делитель числа 176.

4) Число 75 не кратно 15.

5) Число 211 кратно 11.

6) Число 175 кратно 35.

1) Чтобы проверить, является ли число 23 делителем числа 92, необходимо выполнить деление 92 на 23.
$92 \div 23 = 4$
Деление выполняется нацело (без остатка), следовательно, утверждение верно.
Ответ: Верно.

2) Чтобы проверить утверждение, необходимо выяснить, делится ли 126 на 9. Можно применить признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Сумма цифр числа 126: $1 + 2 + 6 = 9$.
Так как 9 делится на 9, то и 126 делится на 9.
$126 \div 9 = 14$.
Таким образом, число 9 является делителем числа 126, а исходное утверждение неверно.
Ответ: Неверно. Верное утверждение: число 9 является делителем числа 126.

3) Чтобы проверить, является ли число 18 делителем числа 176, разделим 176 на 18.
$176 \div 18 = 9$ с остатком 14 ($18 \times 9 + 14 = 162 + 14 = 176$).
Поскольку деление выполняется с остатком, число 18 не является делителем числа 176. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно. Верное утверждение: число 18 не является делителем числа 176.

4) Утверждение гласит, что число 75 не кратно 15. Число является кратным другому, если оно делится на него без остатка. Проверим это, разделив 75 на 15.
$75 \div 15 = 5$.
Деление выполняется без остатка, значит, число 75 кратно 15. Исходное утверждение неверно.
Ответ: Неверно. Верное утверждение: число 75 кратно 15.

5) Чтобы проверить, кратно ли число 211 числу 11, выполним деление.
$211 \div 11 = 19$ с остатком 2 ($11 \times 19 + 2 = 209 + 2 = 211$).
Так как при делении есть остаток, число 211 не кратно 11. Утверждение неверно.
Ответ: Неверно. Верное утверждение: число 211 не кратно 11.

6) Чтобы проверить, кратно ли число 175 числу 35, разделим 175 на 35.
$175 \div 35 = 5$.
Деление выполняется без остатка, значит, число 175 кратно 35. Утверждение верно.
Ответ: Верно.

6.3 1) Какие из чисел 2, 12, 35, 40, 112, 120, 200 являются делителями числа 240?

2) Для каких из этих чисел 240 не является кратным?

1) Чтобы определить, какие из чисел 2, 12, 35, 40, 112, 120, 200 являются делителями числа 240, необходимо проверить, делится ли 240 на каждое из этих чисел без остатка. Число является делителем, если в результате деления получается целое число.

Проверим каждое число:

$240 \div 2 = 120$. Результат — целое число, следовательно, 2 является делителем 240.

$240 \div 12 = 20$. Результат — целое число, следовательно, 12 является делителем 240.

$240 \div 35 \approx 6.857$. Результат — нецелое число ($240 = 35 \cdot 6 + 30$), следовательно, 35 не является делителем 240.

$240 \div 40 = 6$. Результат — целое число, следовательно, 40 является делителем 240.

$240 \div 112 \approx 2.143$. Результат — нецелое число ($240 = 112 \cdot 2 + 16$), следовательно, 112 не является делителем 240.

$240 \div 120 = 2$. Результат — целое число, следовательно, 120 является делителем 240.

$240 \div 200 = 1.2$. Результат — нецелое число ($240 = 200 \cdot 1 + 40$), следовательно, 200 не является делителем 240.

Ответ: 2, 12, 40, 120.

2) Утверждение "число 240 не является кратным" для некоторого числа означает, что 240 не делится на это число нацело. Иными словами, это те числа, которые не являются делителями числа 240.

Из расчетов, выполненных в пункте 1, мы уже определили, что числа 35, 112 и 200 не являются делителями числа 240, так как при делении на них получается остаток.

Таким образом, для чисел 35, 112 и 200 число 240 не является кратным.

Ответ: 35, 112, 200.

6.4 1) Найдите с помощью перебора все делители числа: а) 6; б) 18; в) 70.

В каждом случае запишите делители в порядке возрастания.

2) Сколько делителей имеет число: а) 8; б) 12; в) 13; г) 60?

1)

а) Чтобы найти все делители числа 6, будем последовательно проверять натуральные числа, начиная с 1. Делители удобно искать парами: если мы нашли один делитель, то результатом деления исходного числа на этот делитель будет второй делитель.
$6 \div 1 = 6$. Пара делителей: 1 и 6.
$6 \div 2 = 3$. Пара делителей: 2 и 3.
Следующее число для проверки — 3, но оно уже найдено. Перебор закончен.
Запишем все найденные делители в порядке возрастания: 1, 2, 3, 6.
Ответ: 1, 2, 3, 6.

б) Найдем все делители числа 18. Будем действовать методом перебора, находя делители парами.
$18 \div 1 = 18$. Пара: 1 и 18.
$18 \div 2 = 9$. Пара: 2 и 9.
$18 \div 3 = 6$. Пара: 3 и 6.
Числа 4 и 5 не делят 18 без остатка. Следующий делитель — 6, который уже есть в списке.
Запишем все делители в порядке возрастания: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

в) Найдем все делители числа 70.
$70 \div 1 = 70$. Пара: 1 и 70.
$70 \div 2 = 35$. Пара: 2 и 35.
70 не делится на 3 и 4.
$70 \div 5 = 14$. Пара: 5 и 14.
70 не делится на 6.
$70 \div 7 = 10$. Пара: 7 и 10.
Числа 8 и 9 не являются делителями 70. Следующий делитель — 10, который уже найден.
Запишем все делители в порядке возрастания: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.
Ответ: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70.

2)

а) Найдем все делители числа 8 и посчитаем их количество.
Делители 8: 1 (так как $8 \div 1 = 8$), 2 (так как $8 \div 2 = 4$), 4, 8.
Всего делителей: 1, 2, 4, 8. Их количество равно 4.
Ответ: 4.

б) Найдем все делители числа 12 и посчитаем их количество.
Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Всего 6 делителей.
Ответ: 6.

в) Найдем все делители числа 13.
Число 13 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя.
Делители 13: 1, 13.
Всего 2 делителя.
Ответ: 2.

г) Найдем все делители числа 60.
Пары делителей: (1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10).
Всего делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Их количество равно 12.
Ответ: 12.

6.5 a) Сколько существует способов разделить 36 конфет на одинаковые порции? (В порции должно быть больше одной конфеты.)

б) В классе 24 ученика. Их надо разбить на одинаковые группы. По сколько человек может быть в этих группах?

а) Чтобы найти количество способов разделить 36 конфет на одинаковые порции, нужно найти все делители числа 36. Размер порции — это число конфет в ней, и это число должно делить 36 без остатка.

Найдем все делители числа 36. Это: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

В условии задачи сказано, что в порции должно быть больше одной конфеты. Это значит, что вариант с порциями по 1 конфете нам не подходит. Исключаем делитель 1.

Остаются следующие возможные размеры порций (в конфетах): 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Подсчитаем количество этих вариантов. Всего их 8.

Ответ: 8 способов.

б) В классе 24 ученика, и их нужно разбить на одинаковые группы. Это означает, что количество человек в каждой группе должно быть делителем общего числа учеников, то есть 24.

Найдем все делители числа 24. Это числа, на которые 24 делится без остатка: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Таким образом, 24 ученика можно разделить на:

• 24 группы по 1 человеку
• 12 групп по 2 человека
• 8 групп по 3 человека
• 6 групп по 4 человека
• 4 группы по 6 человек
• 3 группы по 8 человек
• 2 группы по 12 человек
• 1 группу из 24 человек

Вопрос "По сколько человек может быть в этих группах?" требует перечислить все возможные размеры групп.

Ответ: в группах может быть 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 или 24 человека.

6.6 Докажите, что число 825 кратно 15 и не кратно 35.

Для доказательства обоих утверждений воспользуемся признаками делимости чисел.

число 825 кратно 15

Число считается кратным 15, если оно делится без остатка одновременно на 3 и на 5, так как $15 = 3 \cdot 5$, а числа 3 и 5 являются взаимно простыми.

1. Проверка делимости на 5. Согласно признаку делимости, число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Число 825 оканчивается на 5, следовательно, оно делится на 5.

2. Проверка делимости на 3. Согласно признаку делимости, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Найдем сумму цифр числа 825: $8 + 2 + 5 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$), следовательно, и число 825 делится на 3.

Поскольку число 825 делится и на 3, и на 5, оно кратно 15. Для проверки можно выполнить деление: $825 \div 15 = 55$.

Ответ: Доказано, что число 825 кратно 15.

не кратно 35

Число считается кратным 35, если оно делится без остатка одновременно на 5 и на 7, так как $35 = 5 \cdot 7$, а числа 5 и 7 являются взаимно простыми.

1. Как мы уже установили, число 825 делится на 5.

2. Проверка делимости на 7. Чтобы проверить, делится ли 825 на 7, выполним деление:

$825 \div 7 = 117$ с остатком 6. То есть, $825 = 117 \cdot 7 + 6$.

Поскольку при делении числа 825 на 7 образуется остаток, 825 не делится на 7 нацело.

Так как число 825 не делится на один из множителей числа 35 (на 7), оно не может быть кратно 35.

Ответ: Доказано, что число 825 не кратно 35.

6.7 Запишите по порядку, начиная с наименьшего, десять чисел, кратных:

а) 4;

б) 11;

в) 25.

Числа, кратные данному числу $n$, — это числа, которые делятся на $n$ без остатка. Чтобы найти их, нужно последовательно умножать число $n$ на натуральные числа: $1, 2, 3, 4, \dots$. В задании требуется найти первые десять таких чисел для каждого случая.

а) Для числа 4 первыми десятью кратными будут:
$4 \cdot 1 = 4$
$4 \cdot 2 = 8$
$4 \cdot 3 = 12$
$4 \cdot 4 = 16$
$4 \cdot 5 = 20$
$4 \cdot 6 = 24$
$4 \cdot 7 = 28$
$4 \cdot 8 = 32$
$4 \cdot 9 = 36$
$4 \cdot 10 = 40$
Запишем эти числа по порядку, начиная с наименьшего.
Ответ: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40.

б) Для числа 11 первыми десятью кратными будут:
$11 \cdot 1 = 11$
$11 \cdot 2 = 22$
$11 \cdot 3 = 33$
$11 \cdot 4 = 44$
$11 \cdot 5 = 55$
$11 \cdot 6 = 66$
$11 \cdot 7 = 77$
$11 \cdot 8 = 88$
$11 \cdot 9 = 99$
$11 \cdot 10 = 110$
Запишем эти числа по порядку, начиная с наименьшего.
Ответ: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110.

в) Для числа 25 первыми десятью кратными будут:
$25 \cdot 1 = 25$
$25 \cdot 2 = 50$
$25 \cdot 3 = 75$
$25 \cdot 4 = 100$
$25 \cdot 5 = 125$
$25 \cdot 6 = 150$
$25 \cdot 7 = 175$
$25 \cdot 8 = 200$
$25 \cdot 9 = 225$
$25 \cdot 10 = 250$
Запишем эти числа по порядку, начиная с наименьшего.
Ответ: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250.

6.8 Как начинается ряд чисел, кратных 15? Какое число стоит в этом ряду на 6-м месте; на 10-м месте; на 40-м месте?

Ряд чисел, кратных 15, — это последовательность чисел, которые получаются при умножении числа 15 на натуральные числа по порядку: 1, 2, 3, и так далее. Таким образом, ряд начинается с чисел: 15, 30, 45, 60, ...

Чтобы найти число, которое стоит на n-м месте в этом ряду, необходимо умножить 15 на n.

на 6-м месте

Чтобы найти число, стоящее на 6-м месте, нужно умножить 15 на 6:

$15 \cdot 6 = 90$

Ответ: 90

на 10-м месте

Чтобы найти число, стоящее на 10-м месте, нужно умножить 15 на 10:

$15 \cdot 10 = 150$

Ответ: 150

на 40-м месте

Чтобы найти число, стоящее на 40-м месте, нужно умножить 15 на 40:

$15 \cdot 40 = 600$

Ответ: 600

РАССУЖДАЕМ (6.9–6.11)

6.9 a) Коля записал на доске десять последовательных чисел, кратных 14, начиная с наименьшего. Когда он стёр решение, на доске осталось число 70. Восстановите Колино решение.

б) Серёжа записал ряд последовательных кратных некоторого числа, начиная с наименьшего, и на двенадцатом месте у него оказалось число 60. Найдите первое, шестое и двадцатое число в этом ряду.

а)

По условию, Коля записал десять последовательных чисел, кратных 14. Это арифметическая прогрессия, разность которой равна 14. Одно из чисел в этой последовательности — 70.

Будем исходить из предположения, что Коля записал последовательность первых десяти натуральных чисел, кратных 14. Такая последовательность начинается с наименьшего положительного кратного, то есть с числа 14.

Первый член последовательности: $a_1 = 14 \times 1 = 14$.
Второй член: $a_2 = 14 \times 2 = 28$.
И так далее, до десятого члена: $a_{10} = 14 \times 10 = 140$.

Проверим, содержится ли в этой последовательности число 70. Да, содержится: $70 = 14 \times 5$, значит, это пятый член последовательности.

Таким образом, восстановленное решение Коли — это ряд чисел:

14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140.

Этот ряд удовлетворяет всем условиям задачи: это десять последовательных чисел, кратных 14, они записаны в порядке возрастания (начиная с наименьшего), и число 70 присутствует в ряду.

Ответ: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112, 126, 140.

б)

Пусть $d$ — это число, последовательные кратные которого записывал Серёжа. Ряд последовательных натуральных кратных числа $d$ можно представить в виде арифметической прогрессии $d, 2d, 3d, \dots$.

Общая формула для $n$-го члена этой последовательности: $a_n = n \times d$.

Из условия известно, что двенадцатый член последовательности равен 60:

$a_{12} = 60$

Подставим $n=12$ в общую формулу и составим уравнение:

$12 \times d = 60$

Решив уравнение, найдем $d$:

$d = \frac{60}{12} = 5$

Значит, Серёжа записывал последовательные числа, кратные 5.

Теперь мы можем найти требуемые члены последовательности:

• Первое число: $a_1 = 1 \times d = 1 \times 5 = 5$.
• Шестое число: $a_6 = 6 \times d = 6 \times 5 = 30$.
• Двадцатое число: $a_{20} = 20 \times d = 20 \times 5 = 100$.

Ответ: первое число – 5, шестое число – 30, двадцатое число – 100.

6.10 Назовите число, которое удовлетворяет трём условиям: оно больше 150, меньше 160 и кратно 7.

Для нахождения числа, удовлетворяющего всем трем условиям, проанализируем их по порядку.

Условие 1: число больше 150.
Это означает, что искомое число, обозначим его x, должно быть $x > 150$.

Условие 2: число меньше 160.
Это означает, что $x < 160$.

Объединив первые два условия, получаем, что искомое число находится в интервале от 150 до 160, не включая границы: $150 < x < 160$. Целые числа, которые принадлежат этому интервалу: 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159.

Условие 3: число кратно 7.
Это значит, что число должно делиться на 7 без остатка. Теперь необходимо проверить, какое из чисел в нашем списке (от 151 до 159) делится на 7.

Выполним проверку методом перебора:
$151 \div 7 = 21$ (остаток 4)
$152 \div 7 = 21$ (остаток 5)
$153 \div 7 = 21$ (остаток 6)
$154 \div 7 = 22$ (без остатка)
Число 154 удовлетворяет всем условиям. Проверку можно остановить, так как следующее кратное 7 число будет $154 + 7 = 161$, что уже больше 160.

Также можно решить задачу с помощью неравенства. Если число кратно 7, его можно представить в виде $7k$, где $k$ — целое число. Подставим это в наше двойное неравенство:
$150 < 7k < 160$
Разделим все части неравенства на 7, чтобы найти возможное значение $k$:
$\frac{150}{7} < k < \frac{160}{7}$
Вычислим приближенные значения дробей:
$21.42... < k < 22.85...$
Единственное целое число $k$, которое находится в этом интервале, — это $k=22$.
Теперь найдем искомое число:
$x = 7 \cdot k = 7 \cdot 22 = 154$.

Ответ: 154

6.11 В большой коробке лежат карандаши. Их больше 40, но меньше 50. Все эти карандаши можно упаковать в коробки по 3 карандаша в каждую, либо в коробки по 4 карандаша в каждую. Сколько карандашей в большой коробке?

Подсказка. Подходит число, которое расположено между числами 40 и 50, делится и на 3 и на 4.

Пусть $x$ — искомое количество карандашей в большой коробке.

По условию задачи, количество карандашей больше 40, но меньше 50. Это можно записать в виде двойного неравенства: $40 < x < 50$.

Также известно, что все карандаши можно разложить в коробки по 3 штуки и в коробки по 4 штуки без остатка. Это означает, что число $x$ должно делиться нацело и на 3, и на 4.

Если число делится и на 3, и на 4, то оно должно делиться на их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку числа 3 и 4 взаимно простые, их НОК равно их произведению: $НОК(3, 4) = 3 \times 4 = 12$.

Следовательно, искомое число карандашей $x$ должно быть кратно 12. Найдем числа, кратные 12, которые находятся в заданном интервале от 40 до 50.

Перечислим кратные числа для 12:
$12 \times 1 = 12$
$12 \times 2 = 24$
$12 \times 3 = 36$
$12 \times 4 = 48$
$12 \times 5 = 60$

Из этого списка только число 48 удовлетворяет условию $40 < 48 < 50$.

Проверим: 48 делится на 3 ($48 \div 3 = 16$) и 48 делится на 4 ($48 \div 4 = 12$).

Ответ: 48.

6.12 На турбазу приехали 60 человек. Их надо распределить на группы одинаковой численности, но при этом в каждой группе должно быть не менее 10 и не более 15 человек. Какие существуют варианты распределения туристов на равные группы?

Пусть $k$ — это количество человек в каждой группе.

По условию, всего на турбазу приехало 60 человек, и их необходимо распределить на группы одинаковой численности. Это означает, что общее число туристов (60) должно делиться на число человек в группе ($k$) нацело. Следовательно, $k$ должно быть натуральным делителем числа 60.

Кроме того, существует ограничение на численность каждой группы: не менее 10 и не более 15 человек. Математически это можно записать в виде двойного неравенства: $10 \le k \le 15$.

Таким образом, задача сводится к нахождению всех натуральных делителей числа 60, которые принадлежат промежутку [10; 15].

1. Найдем все натуральные делители числа 60. Это числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

2. Из этого списка выберем те числа, которые удовлетворяют условию $10 \le k \le 15$.

Этому условию удовлетворяют числа: 10, 12, 15.

Это и есть возможные размеры групп. Теперь определим, сколько групп получится в каждом случае:

• Если в каждой группе по 10 человек, то количество групп будет: $60 \div 10 = 6$ групп.
• Если в каждой группе по 12 человек, то количество групп будет: $60 \div 12 = 5$ групп.
• Если в каждой группе по 15 человек, то количество групп будет: $60 \div 15 = 4$ группы.

Ответ: Существует три варианта распределения туристов: 6 групп по 10 человек, 5 групп по 12 человек или 4 группы по 15 человек.

6.13 У Оли 18 красных и 12 синих бусин. Их нужно собрать в одинаковые кучки так, чтобы в каждой кучке были и красные, и синие бусины. Сколькими способами Оля может это сделать?

Пусть количество одинаковых кучек, на которые Оля раскладывает бусины, равно $k$.

Поскольку все кучки должны быть одинаковыми по составу, общее количество красных бусин (18) и общее количество синих бусин (12) должно делиться на $k$ без остатка. Это означает, что число $k$ должно быть общим делителем чисел 18 и 12.

Для решения задачи найдем все общие делители чисел 18 и 12.

1. Найдем все натуральные делители числа 18:
$D(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$

2. Найдем все натуральные делители числа 12:
$D(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

3. Найдем общие делители для 18 и 12, то есть числа, которые есть в обоих списках:
Общие делители: 1, 2, 3, 6.

Каждый из этих общих делителей представляет собой возможное количество кучек.Условие, что в каждой кучке должны быть и красные, и синие бусины, выполняется для любого из этих вариантов, так как количество бусин каждого цвета в кучке ($18/k$ и $12/k$) будет целым положительным числом.

В условии задачи используется слово «кучки» во множественном числе, что обычно подразумевает, что количество кучек должно быть больше одной. Поэтому вариант, когда все бусины собраны в одну кучку ($k=1$), мы исключаем.

Таким образом, возможны следующие способы, соответствующие количеству кучек $k > 1$:

• Создать 2 кучки. В каждой будет по $18 \div 2 = 9$ красных и $12 \div 2 = 6$ синих бусин.
• Создать 3 кучки. В каждой будет по $18 \div 3 = 6$ красных и $12 \div 3 = 4$ синих бусины.
• Создать 6 кучек. В каждой будет по $18 \div 6 = 3$ красных и $12 \div 6 = 2$ синих бусины.

Всего получается 3 различных способа.

Ответ: 3