Номер 6.16, страница 114 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 6.1. Делители и кратные. Глава 6. Делимость чисел - номер 6.16, страница 114.

6.16 Верно ли утверждение: если в трёхзначном числе средняя цифра равна сумме двух крайних, то это число делится на 11?

Совет.

Вы можете это проверить путём перебора всех трёхзначных чисел, обладающих указанным свойством. Это, например, такие числа, как 121, 440, 396. (Всего таких чисел 45.) Обсудите в классе способ перебора и разделите работу между группами. Потом подведите итоги.

Для того чтобы определить, верно ли данное утверждение, докажем его в общем виде, не прибегая к перебору чисел.

Любое трёхзначное число можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Обозначим цифру сотен как a, цифру десятков как b и цифру единиц как c. Тогда само число (обозначим его N) можно записать формулой:

$N = 100a + 10b + c$

Согласно условию задачи, средняя цифра равна сумме двух крайних, то есть:

$b = a + c$

Теперь подставим это равенство в формулу для числа N:

$N = 100a + 10(a + c) + c$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:

$N = 100a + 10a + 10c + c$

$N = 110a + 11c$

В полученном выражении можно вынести за скобки общий множитель 11:

$N = 11(10a + c)$

Поскольку a и c — это целые числа (цифры), то выражение в скобках $(10a + c)$ также является целым числом. Таким образом, любое число N, удовлетворяющее условию, можно представить как произведение числа 11 и некоторого целого числа. Это по определению означает, что число N всегда делится на 11 без остатка.

Можно также воспользоваться признаком делимости на 11, который гласит, что число делится на 11, если его знакопеременная сумма цифр (первая с плюсом, вторая с минусом, третья с плюсом и т.д.) делится на 11. Для трёхзначного числа $abc$ эта сумма равна $a - b + c$. Подставим в неё наше условие $b = a + c$:

$a - (a + c) + c = a - a - c + c = 0$

Число 0 делится на 11, поэтому по признаку делимости любое такое число будет делиться на 11.

Ответ: да, утверждение верно.