Страница 114 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.14 Спортсменов построили в колонну по 6 человек в ряду, а затем перестроили, поставив в каждый ряд по 4 человека. Сколько всего спортсменов, если их больше 85, но меньше 100?

Пусть $N$ — общее количество спортсменов.

Из условия задачи известно, что спортсменов можно построить в колонну по 6 человек в ряду. Это означает, что общее число спортсменов $N$ делится на 6 без остатка.

Также известно, что их можно перестроить, поставив в каждый ряд по 4 человека. Это означает, что общее число спортсменов $N$ делится на 4 без остатка.

Следовательно, число $N$ должно быть общим кратным для чисел 4 и 6. Чтобы найти все такие числа, необходимо найти их наименьшее общее кратное (НОК).

Найдем НОК(4, 6). Наименьшее число, которое делится и на 4, и на 6, это 12.
НОК(4, 6) = 12.

Это означает, что общее количество спортсменов $N$ должно быть кратно 12.

По условию, количество спортсменов больше 85, но меньше 100. Запишем это в виде двойного неравенства: $85 < N < 100$.

Теперь нам нужно найти число, кратное 12, которое находится в этом интервале. Перечислим числа, кратные 12, близкие к заданному диапазону:
$12 \times 7 = 84$ (не подходит, так как $84 < 85$);
$12 \times 8 = 96$ (подходит, так как $85 < 96 < 100$);
$12 \times 9 = 108$ (не подходит, так как $108 > 100$).

Единственное число, которое удовлетворяет всем условиям, — это 96.

Ответ: 96 спортсменов.

Исследуем (6.15–6.16)

6.15 a) Сколько чисел, кратных 9, содержится среди первых ста чисел? Назовите наибольшее из них.

б) Найдите наименьшее и наибольшее двузначные числа, кратные 7.

в) Перечислите все трёхзначные числа, кратные 150.

а) Чтобы определить количество чисел, кратных 9, среди первых ста натуральных чисел (от 1 до 100), необходимо разделить 100 на 9 и взять целую часть от результата.

$100 \div 9 = 11$ (остаток 1)

Следовательно, среди первых ста чисел есть 11 чисел, которые делятся на 9 без остатка. Чтобы найти наибольшее из них, нужно умножить 9 на полученное целое число:

$9 \times 11 = 99$

Это наибольшее число, так как следующее кратное ($9 \times 12 = 108$) уже больше 100.

Ответ: 11 чисел; наибольшее из них – 99.

б) Нам нужно найти наименьшее и наибольшее числа в диапазоне от 10 до 99, которые делятся на 7.

Для нахождения наименьшего числа, найдем первое произведение 7, которое будет больше или равно 10. $7 \times 1 = 7$ (не подходит) $7 \times 2 = 14$ (подходит)

Для нахождения наибольшего числа, разделим 99 на 7 и возьмем целую часть:

$99 \div 7 \approx 14.14$. Целая часть равна 14.

Теперь умножим 7 на это число:

$7 \times 14 = 98$

Это наибольшее двузначное число, кратное 7, так как следующее ($7 \times 15 = 105$) уже трехзначное.

Ответ: наименьшее число – 14, наибольшее число – 98.

в) Трехзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Найдем все числа, кратные 150, в этом промежутке, умножая 150 на натуральные числа:

$150 \times 1 = 150$

$150 \times 2 = 300$

$150 \times 3 = 450$

$150 \times 4 = 600$

$150 \times 5 = 750$

$150 \times 6 = 900$

Следующее число, $150 \times 7 = 1050$, является четырехзначным, поэтому не подходит.

Ответ: 150, 300, 450, 600, 750, 900.

6.16 Верно ли утверждение: если в трёхзначном числе средняя цифра равна сумме двух крайних, то это число делится на 11?

Вы можете это проверить путём перебора всех трёхзначных чисел, обладающих указанным свойством. Это, например, такие числа, как 121, 440, 396. (Всего таких чисел 45.) Обсудите в классе способ перебора и разделите работу между группами. Потом подведите итоги.

Для того чтобы определить, верно ли данное утверждение, докажем его в общем виде, не прибегая к перебору чисел.

Любое трёхзначное число можно представить в виде суммы его разрядных слагаемых. Обозначим цифру сотен как a, цифру десятков как b и цифру единиц как c. Тогда само число (обозначим его N) можно записать формулой:

$N = 100a + 10b + c$

Согласно условию задачи, средняя цифра равна сумме двух крайних, то есть:

$b = a + c$

Теперь подставим это равенство в формулу для числа N:

$N = 100a + 10(a + c) + c$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы упростить выражение:

$N = 100a + 10a + 10c + c$

$N = 110a + 11c$

В полученном выражении можно вынести за скобки общий множитель 11:

$N = 11(10a + c)$

Поскольку a и c — это целые числа (цифры), то выражение в скобках $(10a + c)$ также является целым числом. Таким образом, любое число N, удовлетворяющее условию, можно представить как произведение числа 11 и некоторого целого числа. Это по определению означает, что число N всегда делится на 11 без остатка.

Можно также воспользоваться признаком делимости на 11, который гласит, что число делится на 11, если его знакопеременная сумма цифр (первая с плюсом, вторая с минусом, третья с плюсом и т.д.) делится на 11. Для трёхзначного числа $abc$ эта сумма равна $a - b + c$. Подставим в неё наше условие $b = a + c$:

$a - (a + c) + c = a - a - c + c = 0$

Число 0 делится на 11, поэтому по признаку делимости любое такое число будет делиться на 11.

Ответ: да, утверждение верно.

6.17 Представьте данное число в виде суммы разрядных слагаемых, используя при этом степени числа 10:

а) $7846$;

б) $405\,912$.

а) Чтобы представить число 7846 в виде суммы разрядных слагаемых, необходимо определить значение каждой цифры в зависимости от её позиции (разряда) и выразить это значение через степень числа 10.
Число 7846 состоит из:

• 7 тысяч = 7000 = $7 \cdot 1000 = 7 \cdot 10^3$
• 8 сотен = 800 = $8 \cdot 100 = 8 \cdot 10^2$
• 4 десятков = 40 = $4 \cdot 10 = 4 \cdot 10^1$
• 6 единиц = 6 = $6 \cdot 1 = 6 \cdot 10^0$

Складывая эти разрядные слагаемые, получаем итоговое выражение:
$7846 = 7 \cdot 10^3 + 8 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0$.
Ответ: $7846 = 7 \cdot 10^3 + 8 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0$.

б) Аналогично разложим на разрядные слагаемые число 405 912.
Число 405 912 состоит из:

• 4 сотен тысяч = 400 000 = $4 \cdot 100 000 = 4 \cdot 10^5$
• 0 десятков тысяч = 0. Это слагаемое можно не записывать в итоговую сумму.
• 5 тысяч = 5000 = $5 \cdot 1000 = 5 \cdot 10^3$
• 9 сотен = 900 = $9 \cdot 100 = 9 \cdot 10^2$
• 1 десятка = 10 = $1 \cdot 10 = 1 \cdot 10^1$
• 2 единиц = 2 = $2 \cdot 1 = 2 \cdot 10^0$

Складывая эти разрядные слагаемые (кроме нулевого), получаем итоговое выражение:
$405 912 = 4 \cdot 10^5 + 5 \cdot 10^3 + 9 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0$.
Ответ: $405 912 = 4 \cdot 10^5 + 5 \cdot 10^3 + 9 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0$.

6.18 Вычислите:

а) $ (3 \cdot 5^2 - 5 \cdot 3^2)^2; $

б) $ (100 - 6 \cdot 2^3) - 3^3. $

а)

Для вычисления значения выражения $(3 \cdot 5^2 - 5 \cdot 3^2)^2$ необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются операции в скобках: возведение в степень, затем умножение и вычитание. После этого результат, полученный в скобках, возводится в степень.

1. Вычислим значения степеней в скобках:

$5^2 = 25$

$3^2 = 9$

2. Подставим эти значения в выражение:

$(3 \cdot 25 - 5 \cdot 9)^2$

3. Выполним умножение в скобках:

$3 \cdot 25 = 75$

$5 \cdot 9 = 45$

4. Теперь выражение выглядит так:

$(75 - 45)^2$

5. Выполним вычитание в скобках:

$75 - 45 = 30$

6. Возведем полученный результат в квадрат:

$30^2 = 900$

Ответ: 900

б)

Для вычисления значения выражения $(100 - 6 \cdot 2^3) - 3^3$ сначала выполняются действия в скобках (возведение в степень, умножение, вычитание), затем возведение в степень за скобками, и в конце — вычитание.

1. Вычислим значения степеней:

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

2. Подставим эти значения в исходное выражение:

$(100 - 6 \cdot 8) - 27$

3. Выполним умножение в скобках:

$6 \cdot 8 = 48$

4. Теперь выражение имеет вид:

$(100 - 48) - 27$

5. Выполним вычитание в скобках:

$100 - 48 = 52$

6. Выполним последнее действие — вычитание:

$52 - 27 = 25$

Ответ: 25

6.19 Для компота взяли $4$ части смородины, $3$ части крыжовника и $2$ части малины. Оказалось, что смородины и крыжовника было $560$ г. Сколько всего ягод взяли для компота?

Для решения задачи обозначим массу одной части ягод за $x$ граммов.

Согласно условию, для компота взяли:
– 4 части смородины, то есть $4x$ г;
– 3 части крыжовника, то есть $3x$ г;
– 2 части малины, то есть $2x$ г.

Известно, что суммарная масса смородины и крыжовника составляет 560 г. Составим и решим уравнение:
$4x + 3x = 560$
$7x = 560$
$x = 560 / 7$
$x = 80$

Таким образом, масса одной части ягод равна 80 г.

Теперь найдем общее количество частей всех ягод:
$4 + 3 + 2 = 9$ частей.

Чтобы найти общую массу всех ягод, умножим общее количество частей на массу одной части:
$9 * 80 = 720$ г.

Ответ: 720 г.

6.20 На рисунке 6.1 изображено 5 лучей с общим началом. Какие из перечисленных утверждений неверны?

1) Угол $BOD$ острый.

2) Угол $AOD$ больше угла $BOC$.

3) Острых углов на рисунке четыре.

4) Угол $AOB$ дополняет угол $BOD$ до развёрнутого угла.

Рис. 6.1

Проанализируем каждое утверждение, чтобы определить его истинность.

1) Угол BOD острый.

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. На рисунке угол $\angle BOD$ состоит из суммы двух углов: $\angle BOC$ и $\angle COD$. Визуально оба этих угла являются острыми, и их сумма, $\angle BOD$, также выглядит острой (заметно меньше, чем прямой угол). Следовательно, данное утверждение верно.
Ответ: верно.

2) Угол AOD больше угла BOC.

Угол $\angle AOD$ представляет собой сумму трех углов: $\angle AOD = \angle AOB + \angle BOC + \angle COD$. Угол $\angle BOC$ является одной из составных частей угла $\angle AOD$. Поскольку градусные меры углов $\angle AOB$ и $\angle COD$ положительны, то очевидно, что $\angle AOD > \angle BOC$. Следовательно, данное утверждение верно.
Ответ: верно.

3) Острых углов на рисунке четыре.

Подсчитаем все острые углы (меньше $90^\circ$), изображенные на рисунке.Во-первых, это углы, образованные соседними лучами: $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$, $\angle DOE$. Их четыре.Во-вторых, рассмотрим углы, состоящие из суммы соседних:$\angle BOD = \angle BOC + \angle COD$. Визуально он острый.$\angle COE = \angle COD + \angle DOE$. Визуально он также острый.Углы $\angle AOC$ и $\angle AOD$ выглядят тупыми (больше $90^\circ$).Таким образом, мы нашли как минимум 6 острых углов: $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle COD$, $\angle DOE$, $\angle BOD$, $\angle COE$. Утверждение, что их всего четыре, является неверным.
Ответ: неверно.

4) Угол AOB дополняет угол BOD до развёрнутого угла.

Два угла дополняют друг друга до развёрнутого, если их сумма равна $180^\circ$. На рисунке развёрнутым является угол $\angle AOE$, так как лучи $OA$ и $OE$ лежат на одной прямой. Утверждение гласит, что $\angle AOB + \angle BOD = 180^\circ$. Однако, согласно рисунку, сумма этих углов равна углу $\angle AOD$: $\angle AOB + \angle BOD = \angle AOB + (\angle BOC + \angle COD) = \angle AOD$. Угол $\angle AOD$ очевидно меньше развёрнутого угла $\angle AOE$. Угол, который на самом деле дополняет $\angle AOB$ до развёрнутого, это $\angle BOE$, поскольку $\angle AOB + \angle BOE = \angle AOE = 180^\circ$. Следовательно, данное утверждение неверно.
Ответ: неверно.

В задаче требуется указать неверные утверждения. Неверными являются утверждения 3 и 4.