Страница 117 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

С помощью таблицы простых чисел (см. с. 296) выясните, какие из чисел $163$, $261$, $271$, $447$, $457$, $759$ являются простыми.

Для того чтобы определить, является ли число простым, необходимо проверить, делится ли оно на простые числа, не превосходящие его квадратный корень. Если ни одного такого делителя не найдено, число является простым. В противном случае оно является составным.

163

Найдем квадратный корень из числа: $\sqrt{163} \approx 12.7$. Простые числа, на которые нужно проверить делимость: 2, 3, 5, 7, 11.

• На 2 не делится, так как число нечетное.
• На 3 не делится, так как сумма цифр $1+6+3=10$, а 10 не делится на 3.
• На 5 не делится, так как последняя цифра не 0 и не 5.
• При делении на 7 получаем: $163 = 7 \times 23 + 2$.
• При делении на 11 получаем: $163 = 11 \times 14 + 9$.

Поскольку 163 не делится ни на одно из этих простых чисел, оно является простым.

Ответ: простое число.

261

Проверим число 261, используя признаки делимости. Сумма цифр числа: $2+6+1=9$. Так как 9 делится на 3, то и само число 261 делится на 3.

$261 \div 3 = 87$.

Число 261 имеет делитель 3, следовательно, оно является составным.

Ответ: составное число.

271

Найдем квадратный корень из числа: $\sqrt{271} \approx 16.4$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13.

• На 2 не делится (нечетное).
• На 3 не делится (сумма цифр $2+7+1=10$).
• На 5 не делится (последняя цифра 1).
• При делении на 7: $271 = 7 \times 38 + 5$.
• При делении на 11: $271 = 11 \times 24 + 7$.
• При делении на 13: $271 = 13 \times 20 + 11$.

Число 271 не имеет делителей среди простых чисел до своего квадратного корня, значит, оно простое.

Ответ: простое число.

447

Проверим сумму цифр числа: $4+4+7=15$. Поскольку 15 делится на 3, то и число 447 делится на 3.

$447 \div 3 = 149$.

Число 447 имеет делитель 3, поэтому оно является составным.

Ответ: составное число.

457

Найдем квадратный корень из числа: $\sqrt{457} \approx 21.3$. Простые числа для проверки: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

• На 2, 3, 5 не делится по признакам делимости (нечетное; сумма цифр 16; последняя цифра 7).
• При делении на 7: $457 = 7 \times 65 + 2$.
• При делении на 11: $457 = 11 \times 41 + 6$.
• При делении на 13: $457 = 13 \times 35 + 2$.
• При делении на 17: $457 = 17 \times 26 + 15$.
• При делении на 19: $457 = 19 \times 24 + 1$.

Так как 457 не делится ни на одно из этих простых чисел, оно является простым.

Ответ: простое число.

759

Проверим сумму цифр числа: $7+5+9=21$. Сумма цифр 21 делится на 3, следовательно, и число 759 делится на 3.

$759 \div 3 = 253$.

Число 759 имеет делитель 3, а значит, является составным.

Ответ: составное число.

Итак, из данных чисел простыми являются 163, 271 и 457.

Как с помощью таблицы простых чисел можно убедиться, что некоторое трёхзначное число (например, 573) является составным?

Чтобы с помощью таблицы простых чисел убедиться, что некоторое число является составным, необходимо последовательно проверять его делимость на простые числа из этой таблицы. Если найдется хотя бы одно простое число, на которое данное число делится без остатка, то оно является составным.

Для оптимизации процесса проверку достаточно проводить только на те простые числа $p$, квадрат которых не превышает исходное число $N$. То есть, $p^2 \le N$ или $p \le \sqrt{N}$. Если ни одно из таких простых чисел не является делителем числа $N$, то число $N$ — простое. Если же хотя бы один делитель найден, число $N$ — составное.

Применим этот алгоритм к числу 573:

1. Найдем квадратный корень из 573, чтобы определить предел для проверки простых делителей.
   $23^2 = 529$
   $24^2 = 576$
   Следовательно, $\sqrt{573} \approx 23.9$. Значит, нам нужно проверить делимость числа 573 на все простые числа, не превышающие 23.
2. Выпишем из таблицы простые числа, которые меньше или равны 23: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
3. Начнем последовательно проверять делимость числа 573 на эти простые числа:
   • Делится ли 573 на 2? Нет, так как число 573 нечетное.
   • Делится ли 573 на 3? Да, так как сумма его цифр $5 + 7 + 3 = 15$ делится на 3.
4. Мы нашли простой делитель — число 3. Выполним деление: $573 \div 3 = 191$.

Поскольку число 573 имеет делитель (3), отличный от 1 и самого себя, мы доказали, что оно является составным. Дальнейшие проверки на делимость (на 5, 7, 11 и т.д.) не требуются.

Ответ: Нужно последовательно делить число (573) на простые числа из таблицы (2, 3, 5, 7, ...), пока не найдется делитель или пока квадрат проверяемого простого числа не превысит само число (573). В данном случае, 573 делится на 3 ($5+7+3=15$), следовательно, 573 — составное число.

6.21 Какие из следующих чисел являются простыми:

11, 17, 21, 27, 29, 31, 33, 39, 51, 59, 67, 87, 93?

Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два натуральных делителя: единицу и само себя. Числа, имеющие более двух делителей, называются составными. Проверим каждое число из предложенного списка.

11 — делится без остатка только на 1 и 11. Следовательно, это простое число.

17 — делится без остатка только на 1 и 17. Следовательно, это простое число.

21 — является составным числом, так как кроме 1 и 21, оно также делится на 3 и 7. Например, $21 = 3 \times 7$.

27 — является составным числом, так как кроме 1 и 27, оно также делится на 3 и 9. Например, $27 = 3 \times 9$.

29 — делится без остатка только на 1 и 29. Следовательно, это простое число.

31 — делится без остатка только на 1 и 31. Следовательно, это простое число.

33 — является составным числом, так как кроме 1 и 33, оно также делится на 3 и 11. Например, $33 = 3 \times 11$.

39 — является составным числом, так как кроме 1 и 39, оно также делится на 3 и 13. Например, $39 = 3 \times 13$.

51 — является составным числом. Сумма его цифр $5 + 1 = 6$ делится на 3, значит и само число 51 делится на 3. $51 = 3 \times 17$.

59 — делится без остатка только на 1 и 59. Следовательно, это простое число.

67 — делится без остатка только на 1 и 67. Следовательно, это простое число.

87 — является составным числом. Сумма его цифр $8 + 7 = 15$ делится на 3, значит и само число 87 делится на 3. $87 = 3 \times 29$.

93 — является составным числом. Сумма его цифр $9 + 3 = 12$ делится на 3, значит и само число 93 делится на 3. $93 = 3 \times 31$.

Таким образом, простыми числами из данного набора являются: 11, 17, 29, 31, 59, 67.

Ответ: 11, 17, 29, 31, 59, 67.

6.22 Докажите, что данное число не является простым:

а) $25$;

б) $38$;

в) $49$;

г) $57$;

д) $84$;

е) $99$.

а) Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Чтобы доказать, что число не является простым (является составным), достаточно найти хотя бы один его делитель, отличный от 1 и самого числа.
Число 25 оканчивается на цифру 5, следовательно, оно делится на 5. Мы можем представить 25 как произведение: $25 = 5 \cdot 5$. Поскольку число 25 имеет делитель 5, который отличен от 1 и 25, оно не является простым. Ответ: число 25 не является простым.

б) Число 38 является четным, так как оканчивается на цифру 8. Любое четное число, большее 2, делится на 2. Мы можем представить 38 как произведение: $38 = 2 \cdot 19$. Поскольку число 38 имеет делитель 2, который отличен от 1 и 38, оно не является простым. Ответ: число 38 не является простым.

в) Число 49 является квадратом числа 7. Мы можем представить 49 как произведение: $49 = 7 \cdot 7$. Поскольку число 49 имеет делитель 7, который отличен от 1 и 49, оно не является простым. Ответ: число 49 не является простым.

г) Найдем сумму цифр числа 57: $5 + 7 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и число 57 делится на 3. Мы можем представить 57 как произведение: $57 = 3 \cdot 19$. Поскольку число 57 имеет делитель 3, который отличен от 1 и 57, оно не является простым. Ответ: число 57 не является простым.

д) Число 84 является четным, так как оканчивается на цифру 4. Любое четное число, большее 2, делится на 2. Мы можем представить 84 как произведение: $84 = 2 \cdot 42$. Поскольку число 84 имеет делитель 2, который отличен от 1 и 84, оно не является простым. Ответ: число 84 не является простым.

е) Найдем сумму цифр числа 99: $9 + 9 = 18$. Так как 18 делится на 9 (а также на 3), то и число 99 делится на 9. Мы можем представить 99 как произведение: $99 = 9 \cdot 11$. Поскольку число 99 имеет делитель 9, который отличен от 1 и 99, оно не является простым. Ответ: число 99 не является простым.