Страница 115 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Какое натуральное число называется простым числом; составным числом?

Приведите примеры простых и составных чисел.

Простое число — это натуральное число (целое и положительное), которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Иначе говоря, если натуральное число $n > 1$ делится без остатка только на 1 и на $n$, то оно является простым.

Например, число 13 является простым, так как оно делится только на 1 и на 13. Другие примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 17. Стоит отметить, что 2 — это единственное чётное простое число.

Число 1 не является ни простым, ни составным, так как у него всего один делитель.

Ответ: Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Примеры: 2, 5, 11, 23.

Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым. Это означает, что у составного числа есть другие делители, кроме единицы и самого себя. Таким образом, у составного числа всегда больше двух делителей.

Например, число 10 является составным, потому что кроме 1 и 10 оно также делится на 2 и на 5. Полный список его натуральных делителей: 1, 2, 5, 10. Другие примеры составных чисел: 4 (делители 1, 2, 4), 6 (делители 1, 2, 3, 6), 9 (делители 1, 3, 9), 15 (делители 1, 3, 5, 15).

Любое составное число можно разложить на простые множители, например, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Ответ: Составное число — это натуральное число больше 1, которое имеет более двух делителей. Примеры: 4, 8, 9, 12.

Какое натуральное число не является ни простым, ни составным числом?

Для ответа на этот вопрос необходимо рассмотреть определения простого и составного чисел в множестве натуральных чисел ($N = \{1, 2, 3, ...\}$).

Простым числом называется натуральное число, которое больше $1$ и имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Примеры простых чисел: $2, 3, 5, 7$.

Составным числом называется натуральное число, которое больше $1$ и имеет более двух натуральных делителей. Примеры составных чисел: $4$ (делители $1, 2, 4$), $6$ (делители $1, 2, 3, 6$).

Из обоих определений следует, что как простые, так и составные числа должны быть строго больше единицы. Это означает, что число $1$ не попадает ни в одну из этих категорий.

Проанализируем число $1$:

• Оно не является простым, так как не удовлетворяет условию "больше $1$". Кроме того, у числа $1$ всего один натуральный делитель (само число $1$), в то время как у простого числа их должно быть ровно два.
• Оно не является составным, так как не удовлетворяет условию "больше $1$". У составных чисел должно быть более двух делителей, а у единицы он только один.

Таким образом, $1$ — это единственное натуральное число, которое не является ни простым, ни составным.

Ответ: $1$.

Перечислите в порядке возрастания все однозначные простые числа.

Для того чтобы перечислить все однозначные простые числа в порядке возрастания, необходимо последовательно выполнить несколько шагов.

1. Выписать все однозначные натуральные числа. Это числа от 1 до 9: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2. Вспомнить определение простого числа. Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

3. Проверить каждое однозначное число на соответствие определению простого числа:
• 1 не является простым числом, так как по определению простое число должно быть больше 1.
• 2 является простым числом, так как делится только на 1 и на 2.
• 3 является простым числом, так как делится только на 1 и на 3.
• 4 не является простым (это составное число), так как кроме 1 и 4, оно также делится на 2.
• 5 является простым числом, так как делится только на 1 и на 5.
• 6 не является простым (составное), так как делится на 1, 2, 3, 6.
• 7 является простым числом, так как делится только на 1 и на 7.
• 8 не является простым (составное), так как делится на 1, 2, 4, 8.
• 9 не является простым (составное), так как кроме 1 и 9, оно также делится на 3.

4. Выписать все найденные однозначные простые числа: 2, 3, 5, 7.

5. Расположить их в порядке возрастания. Они уже перечислены в этом порядке.

Ответ: 2, 3, 5, 7.

Объясните, почему никакое чётное число, кроме числа 2, не является простым.

Чтобы объяснить, почему никакое чётное число, кроме 2, не является простым, необходимо обратиться к определениям простого и чётного чисел.

Определение простого числа:
Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Примерами простых чисел являются 3, 5, 7, 11, 13 и так далее.

Определение чётного числа:
Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Любое чётное число $n$ можно представить в виде произведения $n = 2 \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число.

Теперь проанализируем все чётные числа на основе этих определений:

1. Число 2.
Число 2 является чётным, так как его можно представить в виде $2 = 2 \cdot 1$. Чтобы проверить, является ли оно простым, найдём его делители. Делителями числа 2 являются только 1 и 2. Так как у него ровно два делителя (1 и само число), оно полностью соответствует определению простого числа.

2. Любое чётное число, большее 2.
Возьмём любое чётное число $N$, которое больше 2 (например, 4, 6, 8, 10, ...).
По определению чётного числа, $N$ делится на 2. Это значит, что $N$ можно записать как $N = 2 \cdot k$.
Поскольку мы рассматриваем случай, когда $N > 2$, то $2 \cdot k > 2$, из чего следует, что $k$ должно быть целым числом больше 1 ($k > 1$).
Это означает, что у числа $N$ есть как минимум три делителя:

• 1 (все натуральные числа делятся на 1);
• 2 (потому что $N$ — чётное);
• само число $N$.

Так как $N > 2$, эти три делителя различны. Наличие у числа делителя, отличного от 1 и самого себя (в данном случае это делитель 2), означает, что это число не является простым. Такие числа называются составными.

Таким образом, любое чётное число, за исключением 2, всегда будет иметь как минимум три делителя (1, 2 и само число), что делает его составным, а не простым.

Ответ: Любое чётное число, большее 2, по определению делится на 2. Следовательно, оно имеет по крайней мере три различных делителя: 1, 2 и само это число. Простое же число по определению должно иметь ровно два делителя (1 и само себя). Поэтому ни одно чётное число, кроме 2, не может быть простым.

Числа $17$ и $37$ – простые. Верно ли, что «все числа, оканчивающиеся цифрой $7$, являются простыми»?

Утверждение, что «все числа, оканчивающиеся цифрой 7, являются простыми», является неверным.

Чтобы опровергнуть общее утверждение, достаточно найти хотя бы один контрпример — число, которое соответствует условию (оканчивается на 7), но не обладает заявленным свойством (не является простым). Простое число — это число, которое делится только на 1 и на само себя. Если у числа есть другие делители, оно называется составным.

Рассмотрим число 27. Оно оканчивается на цифру 7. Проверим, является ли оно простым. Число 27 делится на 3 (согласно признаку делимости на 3, так как сумма его цифр $2 + 7 = 9$ делится на 3) и на 9.

$27 = 3 \times 9$

Поскольку у числа 27 есть делители, отличные от 1 и 27, оно является составным, а не простым. Наличие этого одного контрпримера доказывает, что исходное утверждение ложно.

Существует бесконечно много составных чисел, оканчивающихся на 7. Например: $57 = 3 \times 19$; $77 = 7 \times 11$; $87 = 3 \times 29$.

Ответ: Нет, неверно.