Страница 119 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.33 РАССУЖДАЕМ Представьте число 46 в виде суммы двух простых чисел всеми возможными способами.

Задача состоит в том, чтобы найти все пары простых чисел $p_1$ и $p_2$, сумма которых равна 46. Математически это можно записать как $p_1 + p_2 = 46$.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и на само себя.

Сначала выпишем все простые числа, которые меньше 46, так как оба слагаемых должны быть меньше 46. Простые числа до 46: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.

Число 46 является четным. Сумма двух простых чисел может быть четной, только если оба слагаемых нечетные, либо если оба слагаемых — это число 2 (так как $2+2=4 \neq 46$). Единственное четное простое число — это 2. Если бы одно из слагаемых было 2, то второе было бы $46 - 2 = 44$, а 44 не является простым числом. Следовательно, оба искомых числа должны быть нечетными.

Теперь будем systematically перебирать пары простых чисел из списка, чтобы найти те, которые в сумме дают 46. Чтобы избежать повторений (например, $3+43$ и $43+3$), будем проверять простые числа до половины от 46, то есть до 23.

• Берем первое простое число $p_1 = 3$. Находим второе число: $p_2 = 46 - 3 = 43$. Число 43 является простым. Это первый способ: $46 = 3 + 43$.
• Берем $p_1 = 5$. Второе число: $p_2 = 46 - 5 = 41$. Число 41 является простым. Это второй способ: $46 = 5 + 41$.
• Берем $p_1 = 7$. Второе число: $p_2 = 46 - 7 = 39$. Число 39 не является простым ($39 = 3 \cdot 13$).
• Берем $p_1 = 11$. Второе число: $p_2 = 46 - 11 = 35$. Число 35 не является простым ($35 = 5 \cdot 7$).
• Берем $p_1 = 13$. Второе число: $p_2 = 46 - 13 = 33$. Число 33 не является простым ($33 = 3 \cdot 11$).
• Берем $p_1 = 17$. Второе число: $p_2 = 46 - 17 = 29$. Число 29 является простым. Это третий способ: $46 = 17 + 29$.
• Берем $p_1 = 19$. Второе число: $p_2 = 46 - 19 = 27$. Число 27 не является простым ($27 = 3^3$).
• Берем $p_1 = 23$. Второе число: $p_2 = 46 - 23 = 23$. Число 23 является простым. Это четвертый способ: $46 = 23 + 23$.

Мы проверили все возможные варианты, так как следующее простое число (29) больше половины от 46, и его пара ($46-29=17$) уже была найдена.

Ответ: Существует четыре способа представить число 46 в виде суммы двух простых чисел: $3 + 43$, $5 + 41$, $17 + 29$ и $23 + 23$.

6.34 Исследуем

1) Найдите с помощью перебора все делители числа 6, числа 10 и числа 21. Сколько делителей имеет каждое из этих чисел?

Подсказка. $6 = 2 \cdot 3$, $10 = 2 \cdot 5$, $21 = 3 \cdot 7$.

2) Каким общим свойством обладают все эти числа? Укажите ещё какое-нибудь число, обладающее тем же свойством. Сколько у него делителей?

3) Сколько делителей имеет число, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ – различные простые числа? Перечислите их все.

1)

Найдем все делители для каждого из чисел методом перебора. Делитель — это число, на которое данное число делится без остатка.

Для числа 6:
Проверяем числа от 1 до 6.
$6 \div 1 = 6$
$6 \div 2 = 3$
$6 \div 3 = 2$
$6 \div 6 = 1$
Делители числа 6: 1, 2, 3, 6. Всего 4 делителя.

Для числа 10:
Проверяем числа от 1 до 10.
$10 \div 1 = 10$
$10 \div 2 = 5$
$10 \div 5 = 2$
$10 \div 10 = 1$
Делители числа 10: 1, 2, 5, 10. Всего 4 делителя.

Для числа 21:
Проверяем числа от 1 до 21.
$21 \div 1 = 21$
$21 \div 3 = 7$
$21 \div 7 = 3$
$21 \div 21 = 1$
Делители числа 21: 1, 3, 7, 21. Всего 4 делителя.

Ответ: Делители числа 6: 1, 2, 3, 6 (4 делителя). Делители числа 10: 1, 2, 5, 10 (4 делителя). Делители числа 21: 1, 3, 7, 21 (4 делителя).

2)

Общим свойством чисел 6, 10 и 21 является то, что каждое из них представляет собой произведение двух различных простых чисел.
$6 = 2 \cdot 3$
$10 = 2 \cdot 5$
$21 = 3 \cdot 7$
Возьмем еще одно число, обладающее тем же свойством, например, 35.
$35 = 5 \cdot 7$, где 5 и 7 — различные простые числа.
Найдем его делители: 1, 5, 7, 35. У числа 35 тоже 4 делителя.

Ответ: Общее свойство — каждое из этих чисел является произведением двух различных простых чисел. Пример другого такого числа — 35, у него 4 делителя.

3)

Пусть у нас есть число, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ — различные простые числа. По определению, простые числа делятся только на 1 и на самих себя. Любой делитель числа $a \cdot b$ должен быть произведением делителей его множителей, то есть $a$ и $b$.
Следовательно, делителями числа $a \cdot b$ будут:
1) 1 (единица является делителем любого числа).
2) Простое число $a$.
3) Простое число $b$.
4) Само число $a \cdot b$.
Других делителей у этого числа нет. Таким образом, у такого числа всегда ровно 4 делителя.

Ответ: Число, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ — различные простые числа, имеет 4 делителя. Их список: 1, $a$, $b$, $a \cdot b$.

6.35 Найдите все двузначные числа, кратные:

а) $23$;

б) $35$.

а) Чтобы найти все двузначные числа, кратные 23, необходимо последовательно умножать число 23 на натуральные числа ($k = 1, 2, 3, ...$) и выбирать те результаты, которые находятся в диапазоне двузначных чисел (от 10 до 99).

Выполним вычисления:

• $23 \cdot 1 = 23$ (является двузначным числом)
• $23 \cdot 2 = 46$ (является двузначным числом)
• $23 \cdot 3 = 69$ (является двузначным числом)
• $23 \cdot 4 = 92$ (является двузначным числом)
• $23 \cdot 5 = 115$ (является трехзначным числом, поэтому не подходит)

Таким образом, все двузначные числа, кратные 23, это 23, 46, 69, 92.

Ответ: 23, 46, 69, 92.

б) Аналогично найдем все двузначные числа, кратные 35. Будем умножать число 35 на натуральные числа до тех пор, пока результат не превысит 99.

Выполним вычисления:

• $35 \cdot 1 = 35$ (является двузначным числом)
• $35 \cdot 2 = 70$ (является двузначным числом)
• $35 \cdot 3 = 105$ (является трехзначным числом, поэтому не подходит)

Таким образом, все двузначные числа, кратные 35, это 35 и 70.

Ответ: 35, 70.

6.36 Для компота взяли 3 части яблок, 2 части изюма и 5 частей чернослива. Яблок оказалось на 140 г меньше, чем чернослива. Сколько всего фруктов взяли для компота?

Пусть масса одной части фруктов равна $x$ граммов.

Согласно условию, для компота взяли 3 части яблок, 2 части изюма и 5 частей чернослива. Таким образом, мы можем выразить массу каждого ингредиента через $x$:
Масса яблок: $3x$ г.
Масса изюма: $2x$ г.
Масса чернослива: $5x$ г.

В задаче сказано, что яблок на 140 г меньше, чем чернослива. Это означает, что разница между массой чернослива и массой яблок составляет 140 г. Составим и решим уравнение:

$5x - 3x = 140$

$2x = 140$

$x = 140 \div 2$

$x = 70$

Следовательно, масса одной части составляет 70 г.

Теперь найдем общее количество частей всех фруктов:

$3 \text{ (яблоки)} + 2 \text{ (изюм)} + 5 \text{ (чернослив)} = 10 \text{ частей}$

Чтобы найти общую массу всех фруктов, умножим общее количество частей на массу одной части:

$10 \cdot 70 = 700$ г.

Ответ: 700 г

6.37 На рисунке 6.2 $\angle AOC = \angle BOD$, $\angle COD = 90^\circ$. Найдите величину угла AOC.

Рис. 6.2

По условию задачи, точки A, O и B лежат на одной прямой, следовательно, угол $ \angle AOB $ является развернутым, и его величина равна 180°.

Этот развернутый угол состоит из трех смежных углов: $ \angle AOC $, $ \angle COD $ и $ \angle BOD $. Таким образом, мы можем записать равенство:

$ \angle AOC + \angle COD + \angle BOD = \angle AOB $

Подставим известные значения в это равенство. Из условия мы знаем, что $ \angle COD = 90^\circ $ и $ \angle AOB = 180^\circ $:

$ \angle AOC + 90^\circ + \angle BOD = 180^\circ $

Также по условию $ \angle AOC = \angle BOD $. Заменим в уравнении $ \angle BOD $ на равный ему $ \angle AOC $:

$ \angle AOC + 90^\circ + \angle AOC = 180^\circ $

Теперь упростим уравнение, сложив одинаковые углы:

$ 2 \cdot \angle AOC + 90^\circ = 180^\circ $

Решим полученное уравнение относительно $ \angle AOC $:

$ 2 \cdot \angle AOC = 180^\circ - 90^\circ $

$ 2 \cdot \angle AOC = 90^\circ $

$ \angle AOC = \frac{90^\circ}{2} $

$ \angle AOC = 45^\circ $

Ответ: 45°.

6.38 Сколько тупых углов на рисунке 6.1 (см. с. 114)?

Для решения этой задачи необходимо найти все углы на рисунке 6.1 и определить, какие из них являются тупыми. Тупым называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

На рисунке 6.1 изображены четыре луча, исходящие из одной точки. Они образуют три последовательных (смежных) угла, градусные меры которых составляют $44^\circ$, $58^\circ$ и $73^\circ$. Каждый из этих трёх углов является острым, так как их градусная мера меньше $90^\circ$.

Помимо этих трёх углов, можно образовать составные углы путем сложения соседних. Вычислим их градусные меры и проверим, являются ли они тупыми:

1. Угол, состоящий из суммы первого и второго углов:
$44^\circ + 58^\circ = 102^\circ$.
Поскольку $90^\circ < 102^\circ < 180^\circ$, этот угол является тупым.

2. Угол, состоящий из суммы второго и третьего углов:
$58^\circ + 73^\circ = 131^\circ$.
Поскольку $90^\circ < 131^\circ < 180^\circ$, этот угол также является тупым.

3. Угол, состоящий из суммы всех трех углов:
$44^\circ + 58^\circ + 73^\circ = 175^\circ$.
Поскольку $90^\circ < 175^\circ < 180^\circ$, этот угол тоже является тупым.

Таким образом, на рисунке можно выделить 3 тупых угла.

Ответ: 3