Страница 125 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.61 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Сотрудники офиса подсчитали, что за неделю в среднем они расходуют 350 листов бумаги формата А4. На складе имеются пачки этой бумаги по 500 листов. Какое наименьшее количество таких пачек им надо заказать, чтобы обеспечить себя бумагой на 8 недель?

Для того чтобы определить наименьшее количество пачек бумаги, которое необходимо заказать, выполним следующие действия:

1. Найдем общее количество листов бумаги, необходимое на 8 недель.
В среднем за одну неделю расходуется 350 листов. Чтобы обеспечить офис бумагой на 8 недель, потребуется:
$350 \text{ листов/неделя} \times 8 \text{ недель} = 2800 \text{ листов}$

2. Рассчитаем, сколько пачек бумаги потребуется для этого количества листов.
В одной пачке содержится 500 листов. Чтобы найти необходимое количество пачек, разделим общее количество требуемых листов на количество листов в одной пачке:
$\frac{2800 \text{ листов}}{500 \text{ листов/пачка}} = 5.6 \text{ пачки}$

3. Определим наименьшее целое количество пачек.
Поскольку пачки бумаги продаются только целиком, купить 5,6 пачки невозможно. Если купить 5 пачек, то это составит $5 \times 500 = 2500$ листов, что меньше требуемых 2800 листов. Следовательно, необходимо округлить полученное число в большую сторону до ближайшего целого. Таким образом, минимально необходимое количество пачек — 6.
Проверим: 6 пачек — это $6 \times 500 = 3000$ листов, что больше, чем 2800 листов. Этого количества будет достаточно.

Ответ: 6.

6.62 Исследуем При делении на 5 возможны следующие остатки: $0, 1, 2, 3, 4$. Перечертите в тетрадь таблицу и впишите в соответствующие клетки числа от 250 до 274.

Остаток от деления на 5

0 1 2 3 4

250 251

1) На сколько единиц отличаются друг от друга два последовательных числа в каждом столбце?

2) Укажите ещё какие-нибудь два числа, которые можно было бы вписать в столбец под цифрой 3.

3) Если бы вы продолжили заполнение таблицы, то в какой столбец попало бы число 346; 490; 1229; 589 996?

Сначала заполним таблицу, распределив числа от 250 до 274 по столбцам в зависимости от остатка при делении на 5.

1) На сколько единиц отличаются друг от друга два последовательных числа в каждом столбце?

Чтобы найти разницу, вычтем из любого числа в столбце предыдущее число в том же столбце. Например, для столбца с остатком 0: $255 - 250 = 5$, $260 - 255 = 5$. Для столбца с остатком 2: $257 - 252 = 5$, $262 - 257 = 5$.
Это происходит потому, что все числа в одном столбце имеют одинаковый остаток при делении на 5. Если число $n$ имеет вид $n = 5 \cdot k + r$ (где $r$ — остаток), то следующее число с таким же остатком будет $5 \cdot (k+1) + r = 5 \cdot k + 5 + r = n + 5$. Следовательно, разница между ними всегда будет 5.

Ответ: Два последовательных числа в каждом столбце отличаются на 5 единиц.

2) Укажите ещё какие-нибудь два числа, которые можно было бы вписать в столбец под цифрой 3.

В столбец под цифрой 3 попадают все числа, которые при делении на 5 дают в остатке 3. Такие числа оканчиваются на цифру 3 или 8. Например, в таблице уже есть числа 253, 258, 263. Можно продолжить этот ряд: $273+5=278$, $278+5=283$. Также можно взять любые другие числа, оканчивающиеся на 3 или 8, например, 43 и 108. Проверим: $43 = 5 \cdot 8 + 3$ и $108 = 5 \cdot 21 + 3$.

Ответ: Например, числа 43 и 108.

3) Если бы вы продолжили заполнение таблицы, то в какой столбец попало бы число 346; 490; 1229; 589 996?

Чтобы определить столбец для числа, нужно найти остаток от его деления на 5. Остаток от деления на 5 зависит от последней цифры числа:

• Если последняя цифра 0 или 5, остаток 0 (столбец 0).
• Если последняя цифра 1 или 6, остаток 1 (столбец 1).
• Если последняя цифра 2 или 7, остаток 2 (столбец 2).
• Если последняя цифра 3 или 8, остаток 3 (столбец 3).
• Если последняя цифра 4 или 9, остаток 4 (столбец 4).

Применим это правило к данным числам:

• 346: оканчивается на 6, значит, остаток от деления на 5 равен 1. Число попадет в столбец 1.
• 490: оканчивается на 0, значит, остаток от деления на 5 равен 0. Число попадет в столбец 0.
• 1229: оканчивается на 9, значит, остаток от деления на 5 равен 4. Число попадет в столбец 4.
• 589 996: оканчивается на 6, значит, остаток от деления на 5 равен 1. Число попадет в столбец 1.

Ответ: Число 346 попадет в столбец 1; число 490 — в столбец 0; число 1229 — в столбец 4; число 589 996 — в столбец 1.

6.63 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ В детском театре, чтобы дети лучше видели сцену, кресла в зале расставили в шахматном порядке, как показано на рисунке 6.4.

Детский Театр
30 июля
«Золушка»
Ряд 4 место 34
Цена 250 руб.
КОНТРОЛЬ

1) На билетах указаны номер места и номер ряда, в котором оно расположено. Найдите на рисунке место зрителя по его билету.

2) Катя хочет сидеть не дальше десятого ряда. Укажите наибольший номер места, который устроил бы Катю.

Рис. 6.4

3) Петя вошёл в зал после третьего звонка и сел на свободное место. У него оказалось место № 195. В каком ряду это место?

4) Укажите номер места, которое расположено перед Петиным местом и находится через ряд от него.

1) На билете указаны 4-й ряд и место 34. Чтобы найти это место на схеме (рис. 6.4), необходимо отсчитать от сцены четыре ряда кресел. Первый ряд — это места с 1 по 10, второй — с 11 по 19, третий — с 20 по 29, а четвертый — с 30 по 38. Внутри четвертого ряда находим кресло с номером 34. На схеме это пятое по счету зеленое кресло в четвертом ряду.
Ответ: Место № 34 находится в четвертом ряду.

2) Чтобы найти наибольший номер места не дальше десятого ряда, нужно посчитать общее количество мест в первых десяти рядах. Анализируя схему, можно заметить закономерность в количестве кресел:

• в нечетных рядах (1, 3, 5, ...) — 10 мест;
• в четных рядах (2, 4, 6, ...) — 9 мест.

Таким образом, одна пара рядов (нечетный + четный) содержит $10 + 9 = 19$ мест. Десять рядов составляют $10 / 2 = 5$ таких пар. Следовательно, общее количество мест в первых десяти рядах равно произведению количества пар на число мест в паре: $5 \times 19 = 95$. Наибольший номер места в десятом ряду совпадает с общим количеством мест в первых десяти рядах.
Ответ: 95.

3) Для определения ряда, в котором находится место № 195, используем ту же закономерность: пара смежных рядов (нечетный и четный) содержит 19 мест. Сначала определим, сколько полных пар рядов предшествует 195-му месту. Для этого разделим номер места на количество мест в одной паре рядов: $195 \div 19 \approx 10.26$. Это означает, что место № 195 находится после 10 полных пар рядов. Десять пар — это $10 \times 2 = 20$ рядов. Вычислим номер последнего места в 20-м ряду: $10 \times 19 = 190$. Все места до 190-го включительно находятся в первых 20 рядах. Места, начиная со 191-го, расположены в следующем, 21-м ряду. Поскольку номер места Пети 195, а $190 < 195$, его место находится в 21-м ряду.
Ответ: В 21-м ряду.

4) Петя сидит на месте № 195 в 21-м ряду. Нам нужно найти место, которое расположено "перед Петиным местом" (т.е. ближе к сцене) и "через ряд от него" (т.е. пропустив один ряд). Это означает, что мы ищем место в ряду $21 - 2 = 19$. Так как кресла расставлены в шахматном порядке, искомое место в 19-м ряду будет иметь тот же порядковый номер, что и место Пети в своем ряду. Сначала найдем порядковый номер места Пети в 21-м ряду. Мы знаем, что 20-й ряд заканчивается на месте № 190. Значит, 21-й ряд начинается с места № 191. Порядковый номер места Пети: $195 - 191 + 1 = 5$. Это пятое кресло в 21-м ряду. Теперь найдем номер пятого кресла в 19-м ряду. Для этого определим, с какого номера начинается 19-й ряд. Он следует за 18-м рядом. 18 рядов — это $18 / 2 = 9$ полных пар рядов. Номер последнего места в 18-м ряду: $9 \times 19 = 171$. Следовательно, 19-й ряд начинается с места № 172. Номер пятого места в 19-м ряду равен: $172 + 5 - 1 = 176$.
Ответ: 176.