Номер 6.68, страница 126 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 6.4. Деление с остатком. Глава 6. Делимость чисел - номер 6.68, страница 126.

6.68 1) Постройте в тетради треугольник $ABC$ по следующему алгоритму:

• отметьте в узле квадратной сетки точку $A$;

• отступите от точки $A$ на 10 клеток вправо и отметьте точку $B$;

• отступите от точки $B$ на 5 клеток вправо и на 5 клеток вверх, отметьте точку $C$;

• соедините попарно точки $A$, $B$ и $C$.

2) Измерьте величину тупого угла треугольника $ABC$.

3) Выполните необходимые измерения и вычислите периметр треугольника $ABC$.

1) Для построения треугольника ABC на квадратной сетке введем систему координат. Примем точку А за начало координат (0; 0) и сторону одной клетки за единицу длины. Тогда точка B, находящаяся на 10 клеток вправо от A, будет иметь координаты (10; 0). Точка C, находящаяся на 5 клеток вправо и 5 клеток вверх от B, будет иметь координаты (10+5; 0+5), то есть (15; 5). Соединив попарно точки A(0; 0), B(10; 0) и C(15; 5), мы получаем искомый треугольник ABC.
Ответ: Треугольник ABC построен; его вершины имеют координаты A(0; 0), B(10; 0), C(15; 5) в заданной системе координат.

2) Величину тупого угла можно найти, вычислив углы треугольника с помощью векторов. Тупым будет угол, косинус которого отрицателен. Найдем векторы, исходящие из вершины B: $\vec{BA} = (0-10; 0-0) = (-10; 0)$ и $\vec{BC} = (15-10; 5-0) = (5; 5)$. Косинус угла B (угол ABC) найдем по формуле косинуса угла между векторами: $\cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|}$. Скалярное произведение векторов $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-10) \cdot 5 + 0 \cdot 5 = -50$. Длины векторов равны: $|\vec{BA}| = \sqrt{(-10)^2 + 0^2} = 10$ и $|\vec{BC}| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Подставим значения в формулу: $\cos(\angle B) = \frac{-50}{10 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{-50}{50\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как косинус угла B отрицателен, этот угол является тупым. Угол, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет 135°. Расчеты для углов A и C показывают, что их косинусы положительны, следовательно, они острые.
Ответ: Величина тупого угла ABC равна 135°.

3) Для вычисления периметра треугольника ABC необходимо найти длины всех его сторон. Длину будем измерять в клетках (единичных отрезках), используя координаты вершин: A(0; 0), B(10; 0) и C(15; 5). Длина стороны AB, соединяющей точки A и B, равна 10. Длина стороны BC вычисляется по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{(15-10)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Длина стороны AC вычисляется аналогично: $AC = \sqrt{(15-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{15^2 + 5^2} = \sqrt{225+25} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$. Периметр P треугольника ABC равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + AC = 10 + 5\sqrt{2} + 5\sqrt{10}$. Для получения численного значения используем приближенные значения корней $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{10} \approx 3.162$, тогда $P \approx 10 + 5 \cdot 1.414 + 5 \cdot 3.162 = 10 + 7.07 + 15.81 = 32.88$ клеток.
Ответ: Периметр треугольника ABC равен $10 + 5\sqrt{2} + 5\sqrt{10}$ клеток, что приблизительно составляет 32.88 клетки.