Страница 126 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.64 Разложите на простые множители число:

а) 72;

б) 210;

в) 1820.

а) Чтобы разложить число 72 на простые множители, будем последовательно делить его на наименьшие простые числа, начиная с 2, пока в результате не получим 1.
$72 \div 2 = 36$
$36 \div 2 = 18$
$18 \div 2 = 9$
Число 9 не делится на 2. Следующее по возрастанию простое число — 3.
$9 \div 3 = 3$
Число 3 — простое, поэтому делим его на само себя.
$3 \div 3 = 1$
Процесс деления завершен. Теперь запишем все простые делители в виде произведения:
$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$
Ответ: $72 = 2^3 \cdot 3^2$.

б) Разложим на простые множители число 210.
Начинаем деление с наименьшего простого числа — 2.
$210 \div 2 = 105$
Число 105 нечетное. Проверим делимость на следующее простое число — 3. Сумма цифр числа 105 ($1+0+5=6$) делится на 3, значит, и само число делится на 3.
$105 \div 3 = 35$
Число 35 не делится на 3. Следующее простое число — 5.
$35 \div 5 = 7$
Число 7 является простым.
$7 \div 7 = 1$
Запишем произведение полученных простых множителей:
$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$
Ответ: $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

в) Разложим на простые множители число 1820.
Число четное, начинаем делить на 2.
$1820 \div 2 = 910$
Результат также четный, делим его на 2.
$910 \div 2 = 455$
Число 455 не делится на 2 и на 3 (сумма цифр $4+5+5=14$). Оно заканчивается на 5, значит, делится на следующее простое число — 5.
$455 \div 5 = 91$
Проверим делимость числа 91 на простые числа по порядку. Оно не делится на 2, 3, 5. Проверим следующее простое число — 7.
$91 \div 7 = 13$
Число 13 является простым.
$13 \div 13 = 1$
Запишем произведение полученных простых множителей:
$1820 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$
Ответ: $1820 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$.

6.65 Сколько всего существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 9? Есть ли среди них простые числа?

Сколько всего существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 9?

Двузначное число состоит из цифры десятков и цифры единиц. Обозначим цифру десятков за $a$, а цифру единиц за $b$. Так как число двузначное, первая цифра $a$ не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра единиц $b$ может быть любой от 0 до 9.

По условию задачи, сумма этих цифр должна равняться 9: $a + b = 9$

Переберём все возможные варианты для цифры десятков $a$ и найдём соответствующую цифру единиц $b$:

• Если $a = 1$, то $b = 9 - 1 = 8$. Получаем число 18.
• Если $a = 2$, то $b = 9 - 2 = 7$. Получаем число 27.
• Если $a = 3$, то $b = 9 - 3 = 6$. Получаем число 36.
• Если $a = 4$, то $b = 9 - 4 = 5$. Получаем число 45.
• Если $a = 5$, то $b = 9 - 5 = 4$. Получаем число 54.
• Если $a = 6$, то $b = 9 - 6 = 3$. Получаем число 63.
• Если $a = 7$, то $b = 9 - 7 = 2$. Получаем число 72.
• Если $a = 8$, то $b = 9 - 8 = 1$. Получаем число 81.
• Если $a = 9$, то $b = 9 - 9 = 0$. Получаем число 90.

Таким образом, мы нашли все возможные двузначные числа, сумма цифр которых равна 9. Их общее количество – 9.

Ответ: 9.

Есть ли среди них простые числа?

Простое число – это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

Рассмотрим найденные числа: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90.

Воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

У всех найденных нами чисел сумма цифр по условию равна 9. Так как 9 делится на 9, то и все эти числа делятся на 9.

Поскольку все эти числа больше 9, они имеют как минимум три делителя (1, 9 и само число), а значит, не являются простыми.

Ответ: нет.

6.66 а) Сколько километров и метров в $2300 \text{ м}$; в $75\,750 \text{ м}$; в $153\,000 \text{ см}$?

б) Сколько метров и сантиметров в $211 \text{ см}$; в $1212 \text{ см}$?

а)

Для решения этой задачи необходимо знать следующие соотношения единиц длины: в одном километре содержится 1000 метров ($1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$), а в одном метре — 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).

2300 м:
Чтобы выразить 2300 метров в километрах и метрах, нужно разделить 2300 на 1000. Целая часть от деления будет соответствовать количеству километров, а остаток — количеству метров.
$2300 \div 1000 = 2$ (остаток $300$)
Следовательно, $2300 \text{ м} = 2 \text{ км} 300 \text{ м}$.
Ответ: 2 км 300 м.

75 750 м:
Аналогично делим 75 750 на 1000.
$75750 \div 1000 = 75$ (остаток $750$)
Следовательно, $75750 \text{ м} = 75 \text{ км} 750 \text{ м}$.
Ответ: 75 км 750 м.

153 000 см:
Сначала необходимо перевести сантиметры в метры. Для этого разделим 153 000 на 100.
$153000 \text{ см} \div 100 = 1530 \text{ м}$.
Теперь переведем 1530 метров в километры и метры, разделив это число на 1000.
$1530 \div 1000 = 1$ (остаток $530$)
Следовательно, $153000 \text{ см} = 1 \text{ км} 530 \text{ м}$.
Ответ: 1 км 530 м.

б)

Для решения этой задачи необходимо использовать соотношение: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

211 см:
Чтобы выразить 211 сантиметров в метрах и сантиметрах, нужно разделить 211 на 100. Целая часть от деления будет соответствовать количеству метров, а остаток — количеству сантиметров.
$211 \div 100 = 2$ (остаток $11$)
Следовательно, $211 \text{ см} = 2 \text{ м} 11 \text{ см}$.
Ответ: 2 м 11 см.

1212 см:
Аналогично делим 1212 на 100.
$1212 \div 100 = 12$ (остаток $12$)
Следовательно, $1212 \text{ см} = 12 \text{ м} 12 \text{ см}$.
Ответ: 12 м 12 см.

6.67 а) Сколько минут и секунд в 400 с; в 250 с; в 1600 с?

б) Сколько часов и минут в 150 мин; в 1500 мин; в 800 мин?

а)

Чтобы определить, сколько минут и секунд в заданном количестве секунд, нужно разделить это количество на 60, поскольку в одной минуте 60 секунд. Целая часть результата деления — это количество минут, а остаток — количество секунд.

Для 400 секунд:
Делим 400 на 60: $400 \div 60 = 6$ с остатком $40$.
Это означает, что в 400 секундах содержится 6 полных минут и 40 секунд.
$400 \text{ с} = 6 \text{ мин } 40 \text{ с}$.

Для 250 секунд:
Делим 250 на 60: $250 \div 60 = 4$ с остатком $10$.
Это означает, что в 250 секундах содержится 4 полных минуты и 10 секунд.
$250 \text{ с} = 4 \text{ мин } 10 \text{ с}$.

Для 1600 секунд:
Делим 1600 на 60: $1600 \div 60 = 26$ с остатком $40$.
Это означает, что в 1600 секундах содержится 26 полных минут и 40 секунд.
$1600 \text{ с} = 26 \text{ мин } 40 \text{ с}$.

Ответ: в 400 с — 6 минут 40 секунд; в 250 с — 4 минуты 10 секунд; в 1600 с — 26 минут 40 секунд.

б)

Чтобы определить, сколько часов и минут в заданном количестве минут, нужно разделить это количество на 60, поскольку в одном часе 60 минут. Целая часть результата деления — это количество часов, а остаток — количество минут.

Для 150 минут:
Делим 150 на 60: $150 \div 60 = 2$ с остатком $30$.
Это означает, что в 150 минутах содержится 2 полных часа и 30 минут.
$150 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 30 \text{ мин}$.

Для 1500 минут:
Делим 1500 на 60: $1500 \div 60 = 25$ с остатком $0$.
Это означает, что в 1500 минутах содержится ровно 25 часов.
$1500 \text{ мин} = 25 \text{ ч}$.

Для 800 минут:
Делим 800 на 60: $800 \div 60 = 13$ с остатком $20$.
Это означает, что в 800 минутах содержится 13 полных часов и 20 минут.
$800 \text{ мин} = 13 \text{ ч } 20 \text{ мин}$.

Ответ: в 150 мин — 2 часа 30 минут; в 1500 мин — 25 часов; в 800 мин — 13 часов 20 минут.

6.68 1) Постройте в тетради треугольник $ABC$ по следующему алгоритму:

• отметьте в узле квадратной сетки точку $A$;

• отступите от точки $A$ на 10 клеток вправо и отметьте точку $B$;

• отступите от точки $B$ на 5 клеток вправо и на 5 клеток вверх, отметьте точку $C$;

• соедините попарно точки $A$, $B$ и $C$.

2) Измерьте величину тупого угла треугольника $ABC$.

3) Выполните необходимые измерения и вычислите периметр треугольника $ABC$.

1) Для построения треугольника ABC на квадратной сетке введем систему координат. Примем точку А за начало координат (0; 0) и сторону одной клетки за единицу длины. Тогда точка B, находящаяся на 10 клеток вправо от A, будет иметь координаты (10; 0). Точка C, находящаяся на 5 клеток вправо и 5 клеток вверх от B, будет иметь координаты (10+5; 0+5), то есть (15; 5). Соединив попарно точки A(0; 0), B(10; 0) и C(15; 5), мы получаем искомый треугольник ABC.
Ответ: Треугольник ABC построен; его вершины имеют координаты A(0; 0), B(10; 0), C(15; 5) в заданной системе координат.

2) Величину тупого угла можно найти, вычислив углы треугольника с помощью векторов. Тупым будет угол, косинус которого отрицателен. Найдем векторы, исходящие из вершины B: $\vec{BA} = (0-10; 0-0) = (-10; 0)$ и $\vec{BC} = (15-10; 5-0) = (5; 5)$. Косинус угла B (угол ABC) найдем по формуле косинуса угла между векторами: $\cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|}$. Скалярное произведение векторов $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-10) \cdot 5 + 0 \cdot 5 = -50$. Длины векторов равны: $|\vec{BA}| = \sqrt{(-10)^2 + 0^2} = 10$ и $|\vec{BC}| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Подставим значения в формулу: $\cos(\angle B) = \frac{-50}{10 \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{-50}{50\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как косинус угла B отрицателен, этот угол является тупым. Угол, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет 135°. Расчеты для углов A и C показывают, что их косинусы положительны, следовательно, они острые.
Ответ: Величина тупого угла ABC равна 135°.

3) Для вычисления периметра треугольника ABC необходимо найти длины всех его сторон. Длину будем измерять в клетках (единичных отрезках), используя координаты вершин: A(0; 0), B(10; 0) и C(15; 5). Длина стороны AB, соединяющей точки A и B, равна 10. Длина стороны BC вычисляется по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{(15-10)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Длина стороны AC вычисляется аналогично: $AC = \sqrt{(15-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{15^2 + 5^2} = \sqrt{225+25} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$. Периметр P треугольника ABC равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + AC = 10 + 5\sqrt{2} + 5\sqrt{10}$. Для получения численного значения используем приближенные значения корней $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{10} \approx 3.162$, тогда $P \approx 10 + 5 \cdot 1.414 + 5 \cdot 3.162 = 10 + 7.07 + 15.81 = 32.88$ клеток.
Ответ: Периметр треугольника ABC равен $10 + 5\sqrt{2} + 5\sqrt{10}$ клеток, что приблизительно составляет 32.88 клетки.