Страница 120 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Сформулируйте признак делимости на 5. Приведите примеры чисел, кратных и не кратных 5.

Признак делимости на 5

Натуральное число делится на 5 без остатка (нацело) тогда и только тогда, когда его десятичная запись оканчивается на цифру 0 или 5.
Чтобы определить, делится ли число на 5, достаточно посмотреть на его последнюю цифру. Если последняя цифра 0 или 5, то число делится на 5. Если последняя цифра любая другая (1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9), то число на 5 не делится.

Примеры чисел, кратных 5

Это числа, запись которых оканчивается на 0 или 5.
Например: 15, 30, 100, 485, 2020.
Проверка: $100 \div 5 = 20$; $485 \div 5 = 97$.

Примеры чисел, не кратных 5

Это числа, запись которых оканчивается на любую другую цифру, кроме 0 и 5.
Например: 11, 23, 98, 504, 2021.
Проверка: при делении 23 на 5 получается 4 и остаток 3 ($23 = 5 \cdot 4 + 3$).

Ответ: Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Примеры чисел, кратных 5: 10, 25, 100. Примеры чисел, не кратных 5: 12, 37, 101.

Как узнать, чётным или нечётным является многозначное число? Сформулируйте соответствующий признак. Приведите примеры трёхзначного чётного числа и четырёхзначного нечётного.

Для определения, является ли многозначное число чётным или нечётным, необходимо обратить внимание только на его последнюю цифру (цифру в разряде единиц).

Признак чётности и нечётности числа

Соответствующий признак, который позволяет это сделать, формулируется следующим образом:

• Если запись числа оканчивается на чётную цифру ($0, 2, 4, 6$ или $8$), то это число является чётным. Чётные числа делятся на 2 без остатка.
• Если запись числа оканчивается на нечётную цифру ($1, 3, 5, 7$ или $9$), то это число является нечётным. Нечётные числа при делении на 2 дают остаток 1.

Например, число 578 является чётным, потому что его последняя цифра 8 — чётная. Число 1935 является нечётным, потому что его последняя цифра 5 — нечётная.
Ответ: Чётность многозначного числа определяется по его последней цифре: если последняя цифра чётная ($0, 2, 4, 6, 8$), то и число чётное; если последняя цифра нечётная ($1, 3, 5, 7, 9$), то и число нечётное.

Примеры трёхзначного чётного числа

Трёхзначное чётное число — это любое число от 100 до 999, которое оканчивается на чётную цифру. Например, это могут быть числа 342, 880, 156.
Ответ: 342.

Примеры четырёхзначного нечётного числа

Четырёхзначное нечётное число — это любое число от 1000 до 9999, которое оканчивается на нечётную цифру. Например, это могут быть числа 1001, 5673, 9987.
Ответ: 5673.

Придумайте признак делимости на 100.

Признак делимости на 100 — это правило, которое позволяет определить, делится ли число на 100 без остатка, анализируя его запись.

Для того чтобы сформулировать и доказать этот признак, представим любое целое число $N$ в виде суммы. Любое число можно записать как $N = 100 \cdot A + B$, где $A$ — это число, полученное отбрасыванием двух последних цифр исходного числа $N$, а $B$ — это число, образованное этими двумя последними цифрами.

Например:
- для числа 54321, $A = 543$ и $B = 21$. Тогда $54321 = 100 \cdot 543 + 21$.
- для числа 8700, $A = 87$ и $B = 00$. Тогда $8700 = 100 \cdot 87 + 0$.

Теперь проанализируем делимость выражения $100 \cdot A + B$ на 100.

Первое слагаемое, $100 \cdot A$, всегда делится на 100 без остатка, поскольку оно является произведением целого числа $A$ на 100. Это означает, что остаток от деления всего числа $N$ на 100 полностью зависит от остатка от деления второго слагаемого, $B$, на 100.

Таким образом, число $N$ делится на 100 тогда и только тогда, когда число $B$ (составленное из двух его последних цифр) делится на 100.

Число $B$ может принимать значения от 00 до 99. Единственное число в этом диапазоне, которое делится на 100, — это 0. Следовательно, для делимости на 100 необходимо, чтобы $B=0$, что равносильно тому, что две последние цифры числа — нули.

Ответ: Число делится на 100 тогда и только тогда, когда две его последние цифры — нули.

Объясните, почему число 2544 делится на 3 и не делится на 9.

Для того чтобы объяснить делимость числа 2544 на 3 и на 9, необходимо воспользоваться соответствующими признаками делимости. Оба этих признака основаны на сумме цифр, из которых состоит число.

Сначала вычислим сумму цифр числа 2544:

$2 + 5 + 4 + 4 = 15$

Почему число 2544 делится на 3

Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 2544 равна 15. Проверим, делится ли 15 на 3:

$15 \div 3 = 5$

Поскольку 15 делится на 3 без остатка, то и исходное число 2544 делится на 3.

Ответ: Число 2544 делится на 3, потому что сумма его цифр, равная 15, делится на 3.

Почему число 2544 не делится на 9

Согласно признаку делимости на 9, число делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа 2544, как мы уже знаем, равна 15. Проверим, делится ли 15 на 9:

$15 \div 9 = 1$ (остаток 6)

Поскольку 15 не делится на 9 без остатка, то и исходное число 2544 не делится на 9.

Ответ: Число 2544 не делится на 9, потому что сумма его цифр, равная 15, не делится на 9.

Приведите пример трёхзначного числа, делящегося на 9.

Для того чтобы найти трёхзначное число, делящееся на 9, необходимо использовать признак делимости на 9. Согласно этому признаку, число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Трёхзначное число — это число в диапазоне от 100 до 999. Обозначим его цифры как $a$, $b$ и $c$. Условие делимости на 9 для этого числа можно записать так: сумма его цифр $(a + b + c)$ должна быть кратна 9.

Найдём такой пример. Нам нужно выбрать три цифры, сумма которых делится на 9. При этом первая цифра не может быть нулём.Возможные суммы цифр, кратные 9: 9, 18, 27 (максимальная сумма цифр трёхзначного числа $9+9+9=27$).

Возьмём самый простой случай: пусть сумма цифр равна 9. Подберём цифры, которые в сумме дают 9. Например, цифры 1, 3 и 5.Сумма этих цифр: $1 + 3 + 5 = 9$.Так как 9 делится на 9, любое трёхзначное число, составленное из этих цифр, будет делиться на 9.

Составим из них число, например, 135.Проверим:1. Число 135 является трёхзначным.2. Сумма его цифр равна 9, что делится на 9.3. Выполним прямое деление для проверки: $135 \div 9 = 15$.

Таким образом, число 135 является трёхзначным числом, которое делится на 9.

Другие возможные примеры: 108 (сумма цифр $1+0+8=9$), 756 (сумма цифр $7+5+6=18$), 999 (сумма цифр $9+9+9=27$). Любой из них является верным ответом.

Ответ: 135

6.39 а) Какие из чисел 158, 375, 10 200, 910, 2012, 1085 делятся на 5? Запишите их в порядке возрастания.

б) Какие из чисел 710, 484, 3045, 619, 2688, 12 000 делятся на 2? Запишите их в порядке убывания.

в) Выпишите из пунктов «а» и «б» в порядке возрастания все числа, делящиеся на 10. Есть ли среди них числа, делящиеся на 100; на 1000?

а)

Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5. Из чисел 158, 375, 10 200, 910, 2012, 1085 выберем те, которые оканчиваются на 0 или 5: 375, 10 200, 910, 1085.
Теперь запишем эти числа в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему): 375, 910, 1085, 10 200.

Ответ: 375, 910, 1085, 10 200.

б)

Признак делимости на 2: число делится на 2, если оно четное, то есть его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Из чисел 710, 484, 3045, 619, 2688, 12 000 выберем четные: 710, 484, 2688, 12 000.
Теперь запишем эти числа в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему): 12 000, 2688, 710, 484.

Ответ: 12 000, 2688, 710, 484.

в)

Признак делимости на 10: число делится на 10, если его последняя цифра — 0. Выпишем все числа из пунктов «а» и «б», которые делятся на 10. Из пункта «а»: 910, 10 200. Из пункта «б»: 710, 12 000.
Запишем все эти числа в порядке возрастания: 710, 910, 10 200, 12 000.

Признак делимости на 100: число оканчивается на 00. Среди полученных чисел (710, 910, 10 200, 12 000) этому условию удовлетворяют 10 200 и 12 000.
Признак делимости на 1000: число оканчивается на 000. Этому условию удовлетворяет число 12 000.

Ответ: Числа, делящиеся на 10, в порядке возрастания: 710, 910, 10 200, 12 000. Да, среди них есть числа, делящиеся на 100 (10 200 и 12 000) и на 1000 (12 000).

РАССУЖДАЕМ (6.40–6.41)

6.40 Какие из чисел 26, 45, 80, 127, 340, 615:

а) делятся на 5, но не делятся на 2;

б) делятся на 2, но не делятся на 5;

в) делятся и на 2, и на 5;

г) не делятся ни на 2, ни на 5?

Для решения этой задачи воспользуемся признаками делимости чисел на 2 и на 5. Проанализируем данный набор чисел: 26, 45, 80, 127, 340, 615.

• Число делится на 2 без остатка, если его последняя цифра — четная (0, 2, 4, 6, 8).
• Число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5.

а) делятся на 5, но не делятся на 2

Ищем числа, которые оканчиваются на 5. Такие числа делятся на 5, но не делятся на 2, так как их последняя цифра нечетная.
Из списка этому условию соответствуют числа: 45, 615.
Ответ: 45, 615.

б) делятся на 2, но не делятся на 5

Ищем числа, которые оканчиваются на четную цифру, но не на 0 и не на 5. То есть, на 2, 4, 6 или 8.
Из списка этому условию соответствует число: 26 (оканчивается на 6).
Ответ: 26.

в) делятся и на 2, и на 5

Ищем числа, которые делятся одновременно и на 2, и на 5. Такие числа должны оканчиваться на 0.
Из списка этому условию соответствуют числа: 80, 340.
Ответ: 80, 340.

г) не делятся ни на 2, ни на 5

Ищем числа, последняя цифра которых не является ни четной, ни 5. То есть, она должна быть 1, 3, 7 или 9.
Из списка этому условию соответствует число: 127 (оканчивается на 7).
Ответ: 127.