Страница 118 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.23 НАБЛЮДАЕМ

1) Выпишите в порядке возрастания все двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 1, затем двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 2, потом цифрой 3 и т. д., вплоть до цифры 9. (Всего у вас получится девять последовательностей двузначных чисел.)

2) В каждой последовательности подчеркните все простые числа.

3) Всегда ли в такой последовательности есть простые числа? Имеются ли среди этих последовательностей такие, в которых содержится только одно простое число?

1) и 2)

Выпишем в порядке возрастания все двузначные числа, сгруппировав их по последней цифре от 1 до 9. Сразу подчеркнем в этих последовательностях все простые числа.

Числа, оканчивающиеся на 1: 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91.

Числа, оканчивающиеся на 2: 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92.

Числа, оканчивающиеся на 3: 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93.

Числа, оканчивающиеся на 4: 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84, 94.

Числа, оканчивающиеся на 5: 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95.

Числа, оканчивающиеся на 6: 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86, 96.

Числа, оканчивающиеся на 7: 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97.

Числа, оканчивающиеся на 8: 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98.

Числа, оканчивающиеся на 9: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.

Ответ: Последовательности чисел с подчеркнутыми простыми числами представлены выше.

3)

Всегда ли в такой последовательности есть простые числа?

Нет, не всегда. Двузначные числа, оканчивающиеся на четную цифру (2, 4, 6, 8), являются четными, а значит делятся на 2. Поскольку они больше 2, они являются составными, а не простыми. Аналогично, двузначные числа, оканчивающиеся на 5, делятся на 5 и, так как они больше 5, также являются составными. Таким образом, в последовательностях чисел, оканчивающихся на 2, 4, 5, 6 и 8, нет простых чисел.

Ответ: Нет, не всегда.

Имеются ли среди этих последовательностей такие, в которых содержится только одно простое число?

Нет, таких последовательностей нет. Проанализируем количество простых чисел в тех последовательностях, где они есть:

- В последовательности чисел, оканчивающихся на 1, содержится 5 простых чисел (11, 31, 41, 61, 71).
- В последовательности чисел, оканчивающихся на 3, содержится 6 простых чисел (13, 23, 43, 53, 73, 83).
- В последовательности чисел, оканчивающихся на 7, содержится 5 простых чисел (17, 37, 47, 67, 97).
- В последовательности чисел, оканчивающихся на 9, содержится 5 простых чисел (19, 29, 59, 79, 89).

В каждой из этих последовательностей содержится более одного простого числа. Таким образом, ни одна из последовательностей не содержит ровно одно простое число.

Ответ: Нет, таких последовательностей нет.

6.24 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Есть ли среди утверждений верные?

1) Все простые числа — нечётные.

2) Все нечётные числа — простые.

3) Все простые числа, большие 2, — нечётные.

4) Все нечётные числа, большие 2, — составные.

1) Все простые числа — нечётные.

Данное утверждение является неверным. Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Рассмотрим число 2. Оно является простым, так как его делителями являются только 1 и 2. При этом 2 — это чётное число. Поскольку существует простое число, которое не является нечётным, данное утверждение ложно.

Ответ: неверно.

2) Все нечётные числа — простые.

Это утверждение также неверно. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти хотя бы одно нечётное число, которое не является простым. Такое число называется составным. Например, число 9. Оно нечётное, но делится не только на 1 и 9, но и на 3 ($9 = 3 \cdot 3$). Следовательно, 9 является составным числом. Другие примеры: 15, 21, 25 и т.д.

Ответ: неверно.

3) Все простые числа, большие 2, — нечётные.

Это утверждение верно. Любое чётное число по определению делится на 2. Если какое-либо число больше 2 и делится на 2, то у него есть как минимум три делителя: 1, 2 и само это число. Такое число является составным. Единственное простое число, которое является чётным, — это 2. Следовательно, любое простое число, которое больше 2, не может быть чётным, а значит, оно является нечётным.

Ответ: верно.

4) Все нечётные числа, большие 2, — составные.

Данное утверждение неверно. Существует множество нечётных чисел, больших 2, которые являются простыми. Например, числа 3, 5, 7, 11, 13 и так далее. Все они нечётные, больше 2, и при этом являются простыми, а не составными. Наличие хотя бы одного такого контрпримера (например, числа 3) делает всё утверждение ложным.

Ответ: неверно.

6.25 Закончите разложение данного числа на простые множители (используйте степени):

а) $80 = 8 \cdot 10 = \dots$;

б) $75 = 15 \cdot 5 = \dots$;

в) $52 = 26 \cdot 2 = \dots$.

а) Чтобы закончить разложение числа 80 на простые множители, разложим множители 8 и 10 на простые числа. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.
Разложим число 8: $8 = 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Разложим число 10: $10 = 2 \cdot 5$.
Теперь объединим полученные простые множители:
$80 = 8 \cdot 10 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$.
Так как множитель 2 повторяется 4 раза, мы можем записать это в виде степени:
$80 = 2^4 \cdot 5$.
Ответ: $80 = 2^4 \cdot 5$.

б) Чтобы закончить разложение числа 75 на простые множители, разложим множитель 15 на простые числа. Множитель 5 уже является простым числом.
Разложим число 15: $15 = 3 \cdot 5$.
Теперь объединим полученные простые множители:
$75 = 15 \cdot 5 = (3 \cdot 5) \cdot 5 = 3 \cdot 5 \cdot 5$.
Так как множитель 5 повторяется 2 раза, мы можем записать это в виде степени:
$75 = 3 \cdot 5^2$.
Ответ: $75 = 3 \cdot 5^2$.

в) Чтобы закончить разложение числа 52 на простые множители, разложим множитель 26 на простые числа. Множитель 2 уже является простым числом.
Разложим число 26: $26 = 2 \cdot 13$.
Числа 2 и 13 являются простыми.
Теперь объединим полученные простые множители:
$52 = 26 \cdot 2 = (2 \cdot 13) \cdot 2 = 2 \cdot 2 \cdot 13$.
Так как множитель 2 повторяется 2 раза, мы можем записать это в виде степени:
$52 = 2^2 \cdot 13$.
Ответ: $52 = 2^2 \cdot 13$.

6.26 Разложите на простые множители все составные числа, не превосходящие 30.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти все составные числа, которые не превосходят 30, а затем разложить каждое из них на простые множители.

1. Определение составных чисел, не превосходящих 30.

Натуральные числа, не превосходящие 30, — это числа от 1 до 30. Составное число — это натуральное число больше единицы, которое не является простым (то есть имеет делители, кроме 1 и самого себя).Сначала выделим простые числа в этом диапазоне: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.Число 1 не является ни простым, ни составным.Следовательно, все остальные натуральные числа от 2 до 30 являются составными.Список составных чисел, не превосходящих 30: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30.

2. Разложение составных чисел на простые множители.

Теперь разложим каждое из найденных составных чисел на простые множители, то есть представим их в виде произведения простых чисел.

• $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
• $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
• $10 = 2 \cdot 5$
• $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
• $14 = 2 \cdot 7$
• $15 = 3 \cdot 5$
• $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$
• $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
• $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
• $21 = 3 \cdot 7$
• $22 = 2 \cdot 11$
• $24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
• $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$
• $26 = 2 \cdot 13$
• $27 = 3 \cdot 9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
• $28 = 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
• $30 = 2 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Ответ:
$4 = 2^2$;
$6 = 2 \cdot 3$;
$8 = 2^3$;
$9 = 3^2$;
$10 = 2 \cdot 5$;
$12 = 2^2 \cdot 3$;
$14 = 2 \cdot 7$;
$15 = 3 \cdot 5$;
$16 = 2^4$;
$18 = 2 \cdot 3^2$;
$20 = 2^2 \cdot 5$;
$21 = 3 \cdot 7$;
$22 = 2 \cdot 11$;
$24 = 2^3 \cdot 3$;
$25 = 5^2$;
$26 = 2 \cdot 13$;
$27 = 3^3$;
$28 = 2^2 \cdot 7$;
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

6.27 Разложите на простые множители числа: 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, 1 000 000.

Для разложения данных чисел на простые множители заметим, что все они являются степенями числа 10. Сначала разложим на простые множители число 10, так как это основа для всех остальных чисел в задаче:

$10 = 2 \cdot 5$

Числа 2 и 5 являются простыми. Теперь любое число вида $10^n$ можно разложить на простые множители, используя свойство степени произведения:

$10^n = (2 \cdot 5)^n = 2^n \cdot 5^n$

Это означает, что в разложении числа, состоящего из единицы и $n$ нулей, будет $n$ множителей 2 и $n$ множителей 5.

10

Число 10 можно представить как $10^1$. Используя формулу при $n=1$, получаем:

$10 = 2^1 \cdot 5^1 = 2 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 5$.

100

Число 100 можно представить как $10^2$. Используя формулу при $n=2$, получаем:

$100 = 10^2 = 2^2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$.

1000

Число 1000 можно представить как $10^3$. Используя формулу при $n=3$, получаем:

$1000 = 10^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

10 000

Число 10 000 можно представить как $10^4$. Используя формулу при $n=4$, получаем:

$10\,000 = 10^4 = 2^4 \cdot 5^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

100 000

Число 100 000 можно представить как $10^5$. Используя формулу при $n=5$, получаем:

$100\,000 = 10^5 = 2^5 \cdot 5^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

1 000 000

Число 1 000 000 можно представить как $10^6$. Используя формулу при $n=6$, получаем:

$1\,000\,000 = 10^6 = 2^6 \cdot 5^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Ответ: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$.

6.28 а) Дано разложение числа $a$ на простые множители: $a = 2 \cdot 5 \cdot 13$. Делится ли число $a$ на 2; на 4; на 10; на 6; на 26? (Если делится, то укажите частное.)

б) Дано разложение числа $b$ на простые множители: $b = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Делится ли число $b$ на 4; на 6; на 9; на 10; на 12; на 18; на 30; на 50? (Если делится, то укажите частное.)

а) Дано число $a = 2 \cdot 5 \cdot 13$. Чтобы определить, делится ли число $a$ на заданный делитель, необходимо разложить делитель на простые множители и проверить, содержатся ли все эти множители в разложении числа $a$.
- Проверка делимости на 2: Множитель 2 присутствует в разложении числа $a$. Следовательно, $a$ делится на 2. Частное равно $a : 2 = (2 \cdot 5 \cdot 13) : 2 = 5 \cdot 13 = 65$.
- Проверка делимости на 4: Разложение числа 4 на простые множители: $4 = 2^2$. В разложении числа $a$ множитель 2 входит только в первой степени, а для делимости на 4 требуется вторая степень. Следовательно, $a$ не делится на 4.
- Проверка делимости на 10: Разложение числа 10 на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$. Оба множителя (2 и 5) присутствуют в разложении числа $a$. Следовательно, $a$ делится на 10. Частное равно $a : 10 = (2 \cdot 5 \cdot 13) : (2 \cdot 5) = 13$.
- Проверка делимости на 6: Разложение числа 6 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$. В разложении числа $a$ есть множитель 2, но отсутствует множитель 3. Следовательно, $a$ не делится на 6.
- Проверка делимости на 26: Разложение числа 26 на простые множители: $26 = 2 \cdot 13$. Оба множителя (2 и 13) присутствуют в разложении числа $a$. Следовательно, $a$ делится на 26. Частное равно $a : 26 = (2 \cdot 5 \cdot 13) : (2 \cdot 13) = 5$.
Ответ: на 2 делится, частное 65; на 4 не делится; на 10 делится, частное 13; на 6 не делится; на 26 делится, частное 5.

б) Дано число $b = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Используем тот же метод.
- Проверка делимости на 4: Разложение числа 4: $4 = 2^2$. Множитель $2^2$ присутствует в разложении числа $b$. Следовательно, $b$ делится на 4. Частное равно $b : 4 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) : 2^2 = 3 \cdot 5 = 15$.
- Проверка делимости на 6: Разложение числа 6: $6 = 2 \cdot 3$. Множители 2 (в степени 2) и 3 присутствуют в разложении числа $b$. Следовательно, $b$ делится на 6. Частное равно $b : 6 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) : (2 \cdot 3) = 2 \cdot 5 = 10$.
- Проверка делимости на 9: Разложение числа 9: $9 = 3^2$. В разложении числа $b$ множитель 3 входит только в первой степени, а для делимости на 9 требуется вторая степень. Следовательно, $b$ не делится на 9.
- Проверка делимости на 10: Разложение числа 10: $10 = 2 \cdot 5$. Множители 2 (в степени 2) и 5 присутствуют в разложении числа $b$. Следовательно, $b$ делится на 10. Частное равно $b : 10 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) : (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3 = 6$.
- Проверка делимости на 12: Разложение числа 12: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. Множители $2^2$ и 3 присутствуют в разложении числа $b$. Следовательно, $b$ делится на 12. Частное равно $b : 12 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) : (2^2 \cdot 3) = 5$.
- Проверка делимости на 18: Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$. В разложении числа $b$ множитель 3 входит только в первой степени, а для делимости на 18 требуется вторая степень. Следовательно, $b$ не делится на 18.
- Проверка делимости на 30: Разложение числа 30: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Все эти множители присутствуют в разложении числа $b$. Следовательно, $b$ делится на 30. Частное равно $b : 30 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) : (2 \cdot 3 \cdot 5) = 2$.
- Проверка делимости на 50: Разложение числа 50: $50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^2$. В разложении числа $b$ множитель 5 входит только в первой степени, а для делимости на 50 требуется вторая степень. Следовательно, $b$ не делится на 50.
Ответ: на 4 делится, частное 15; на 6 делится, частное 10; на 9 не делится; на 10 делится, частное 6; на 12 делится, частное 5; на 18 не делится; на 30 делится, частное 2; на 50 не делится.

Ищем информацию (6.29–6.31)

6.29 Выполните задание с помощью таблицы простых чисел:

а) Найдите наименьшее и наибольшее трёхзначные простые числа.

б) Выясните, сколько простых чисел содержится в первой сотне; во второй сотне; в третьей сотне.

а) Чтобы найти наименьшее и наибольшее трёхзначные простые числа, необходимо рассмотреть числа в диапазоне от 100 до 999.

Наименьшее трёхзначное простое число:
Начнём проверку с наименьшего трёхзначного числа — 100.
100 — чётное, значит, составное.
101 — не делится на 2 (нечётное), не делится на 3 (сумма цифр $1+0+1=2$), не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5), не делится на 7 ($101 = 14 \cdot 7 + 3$). Следующее простое число для проверки — 11, но $11^2=121$, что больше 101. Значит, 101 — простое число. Это первое простое число после 99, следовательно, это наименьшее трёхзначное простое число.

Наибольшее трёхзначное простое число:
Начнём проверку с наибольшего трёхзначного числа — 999.
999 — делится на 3 и 9, значит, составное.
998 — чётное, значит, составное.
997 — проверим, является ли оно простым. Для этого нужно проверить его делимость на простые числа до $\sqrt{997} \approx 31.6$. Проверим делимость на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Число 997 не делится ни на одно из этих чисел, следовательно, оно является простым. Так как числа 999 и 998 составные, 997 — наибольшее трёхзначное простое число.

Ответ: наименьшее трёхзначное простое число — 101, наибольшее — 997.

б) Для подсчёта количества простых чисел в каждой сотне воспользуемся таблицей простых чисел.

В первой сотне (числа от 1 до 100):
Простыми являются числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Всего 25 простых чисел.

Во второй сотне (числа от 101 до 200):
Простыми являются числа: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199. Всего 21 простое число.

В третьей сотне (числа от 201 до 300):
Простыми являются числа: 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293. Всего 16 простых чисел.

Ответ: в первой сотне — 25 простых чисел, во второй сотне — 21 простое число, в третьей сотне — 16 простых чисел.

6.30 Среди двузначных простых чисел, записанных разными цифрами, есть такие, которые остаются простыми после перестановки цифр. Сколько всего таких двузначных чисел имеется?

Задача состоит в том, чтобы найти количество двузначных простых чисел, которые записаны разными цифрами и остаются простыми после перестановки этих цифр. Решим ее по шагам.

Шаг 1. Определение множества двузначных простых чисел с разными цифрами

Сначала выпишем все двузначные простые числа (числа от 10 до 99, которые делятся только на 1 и на самих себя):
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

По условию задачи, цифры в искомых числах должны быть разными. Из приведенного списка этому условию не удовлетворяет только число 11. Исключив его, получаем следующий список чисел-кандидатов:
13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Шаг 2. Анализ второго условия и сужение круга поиска

Второе условие гласит, что число, полученное после перестановки цифр, также должно быть простым.

Пусть наше двузначное число состоит из цифр a и b, то есть имеет вид $10a + b$. Тогда число после перестановки цифр будет $10b + a$.

Двузначное простое число не может оканчиваться на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8) или на 5, так как в этом случае оно будет делиться на 2 или на 5.

Это накладывает ограничения на обе цифры $a$ и $b$.

- Для числа $10a + b$ цифра $b$ не может быть четной или 5.

- Для числа $10b + a$ цифра $a$ не может быть четной или 5.

Следовательно, обе цифры искомых чисел должны быть нечетными и не равными 5. То есть, они должны принадлежать множеству {1, 3, 7, 9}.

Шаг 3. Проверка оставшихся чисел-кандидатов

Теперь из списка, полученного в первом шаге, выберем только те числа, которые состоят из цифр {1, 3, 7, 9}:
13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79, 97.

Проверим для каждого из этих чисел, будет ли простым число, полученное перестановкой его цифр:

- Число 13. Переставляем цифры, получаем 31. Оба числа (13 и 31) простые. Эта пара нам подходит.

- Число 17. Переставляем цифры, получаем 71. Оба числа (17 и 71) простые. Эта пара нам подходит.

- Число 19. Переставляем цифры, получаем 91. Число 91 не является простым, так как $91 = 7 \times 13$. Эта пара не подходит.

- Число 37. Переставляем цифры, получаем 73. Оба числа (37 и 73) простые. Эта пара нам подходит.

- Число 79. Переставляем цифры, получаем 97. Оба числа (79 и 97) простые. Эта пара нам подходит.

Остальные числа в нашем списке (31, 71, 73, 97) являются "перевернутыми" версиями уже рассмотренных нами чисел и также удовлетворяют условию.

Шаг 4. Итоговый подсчет

Таким образом, полный список двузначных чисел, которые записаны разными цифрами и остаются простыми после перестановки цифр, выглядит так: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97.

Всего в этом списке 8 чисел.

Ответ: 8

6.31 Простые числа, разность которых равна 2, называют числами-близнецами.

а) Сколько пар чисел-близнецов в отрезке натурального ряда от 1 до 100?

б) Есть ли числа-близнецы в десятой сотне?

в) Опровергните с помощью контрпримера следующее утверждение: «В третьей сотне только одна пара чисел-близнецов».

а) Числа-близнецы — это пары простых чисел, разность которых равна 2. Чтобы найти все такие пары на отрезке натурального ряда от 1 до 100, необходимо сначала выписать все простые числа в этом диапазоне.

Простые числа от 1 до 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Теперь найдем среди них пары, разность в которых составляет 2:
(3, 5)
(5, 7)
(11, 13)
(17, 19)
(29, 31)
(41, 43)
(59, 61)
(71, 73)

Подсчитав количество пар, получаем 8.

Ответ: 8 пар.

б) Десятая сотня включает в себя натуральные числа от 901 до 1000. Для поиска чисел-близнецов в этом диапазоне, сначала определим все простые числа, которые в него входят.

Простые числа в диапазоне [901, 1000]: 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

Далее проверим, есть ли среди этих простых чисел пары, разность которых равна 2. Для этого достаточно проверить разность между соседними числами в полученном списке:
$911 - 907 = 4$
$919 - 911 = 8$
$929 - 919 = 10$
Как видно, даже минимальная разность между соседними простыми числами в этом списке больше 2. Следовательно, в десятой сотне нет чисел-близнецов.

Ответ: Нет.

в) Требуется опровергнуть с помощью контрпримера утверждение: «В третьей сотне только одна пара чисел-близнецов».

Третья сотня — это натуральные числа в диапазоне от 201 до 300. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно найти в этом диапазоне более одной пары чисел-близнецов.

Выполним поиск таких пар:
1. Находим пару (227, 229). Оба числа являются простыми, и их разность равна $229 - 227 = 2$.
2. Находим пару (239, 241). Оба числа также являются простыми, и их разность равна $241 - 239 = 2$.

Мы нашли как минимум две пары чисел-близнецов в третьей сотне. Это доказывает, что исходное утверждение ложно. На самом деле, в этом диапазоне есть еще две пары: (269, 271) и (281, 283).

Ответ: Утверждение неверно. Контрпримером служат пары чисел-близнецов (227, 229) и (239, 241), которые обе находятся в третьей сотне.

6.32 Представьте в виде произведения простых множителей число $c$, если известно, что $c$ равно произведению всех натуральных чисел от 1 до 10. (Используйте степени.)

По условию задачи, число c равно произведению всех натуральных чисел от 1 до 10. Запишем это произведение:

$c = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10$

Для того чтобы представить число c в виде произведения простых множителей, необходимо разложить каждый множитель в этом произведении (кроме 1, так как 1 не является ни простым, ни составным числом) на простые сомножители:

• $2$ — простое число
• $3$ — простое число
• $4 = 2 \cdot 2 = 2^2$
• $5$ — простое число
• $6 = 2 \cdot 3$
• $7$ — простое число
• $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
• $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
• $10 = 2 \cdot 5$

Теперь заменим составные числа в исходном произведении их разложениями на простые множители:

$c = 2 \cdot 3 \cdot (2^2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2^3) \cdot (3^2) \cdot (2 \cdot 5)$

Сгруппируем одинаковые простые множители, используя свойство степеней (при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются):

$c = (2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 2^3 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3^2) \cdot (5 \cdot 5) \cdot 7$

Посчитаем степени для каждого простого множителя:

• Для 2: $2^{1+2+1+3+1} = 2^8$
• Для 3: $3^{1+1+2} = 3^4$
• Для 5: $5^{1+1} = 5^2$
• Для 7: $7^1 = 7$

Объединив все, получаем итоговое разложение числа c на простые множители:

$c = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$

Ответ: $c = 2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7$