Номер 6.29, страница 118 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 6.2. Простые и составные числа. Глава 6. Делимость чисел - номер 6.29, страница 118.

Ищем информацию (6.29–6.31)

6.29 Выполните задание с помощью таблицы простых чисел:

а) Найдите наименьшее и наибольшее трёхзначные простые числа.

б) Выясните, сколько простых чисел содержится в первой сотне; во второй сотне; в третьей сотне.

а) Чтобы найти наименьшее и наибольшее трёхзначные простые числа, необходимо рассмотреть числа в диапазоне от 100 до 999.

Наименьшее трёхзначное простое число:
Начнём проверку с наименьшего трёхзначного числа — 100.
100 — чётное, значит, составное.
101 — не делится на 2 (нечётное), не делится на 3 (сумма цифр $1+0+1=2$), не делится на 5 (не оканчивается на 0 или 5), не делится на 7 ($101 = 14 \cdot 7 + 3$). Следующее простое число для проверки — 11, но $11^2=121$, что больше 101. Значит, 101 — простое число. Это первое простое число после 99, следовательно, это наименьшее трёхзначное простое число.

Наибольшее трёхзначное простое число:
Начнём проверку с наибольшего трёхзначного числа — 999.
999 — делится на 3 и 9, значит, составное.
998 — чётное, значит, составное.
997 — проверим, является ли оно простым. Для этого нужно проверить его делимость на простые числа до $\sqrt{997} \approx 31.6$. Проверим делимость на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Число 997 не делится ни на одно из этих чисел, следовательно, оно является простым. Так как числа 999 и 998 составные, 997 — наибольшее трёхзначное простое число.

Ответ: наименьшее трёхзначное простое число — 101, наибольшее — 997.

б) Для подсчёта количества простых чисел в каждой сотне воспользуемся таблицей простых чисел.

В первой сотне (числа от 1 до 100):
Простыми являются числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Всего 25 простых чисел.

Во второй сотне (числа от 101 до 200):
Простыми являются числа: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199. Всего 21 простое число.

В третьей сотне (числа от 201 до 300):
Простыми являются числа: 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293. Всего 16 простых чисел.

Ответ: в первой сотне — 25 простых чисел, во второй сотне — 21 простое число, в третьей сотне — 16 простых чисел.