Номер 6.31, страница 118 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 6. Делимость чисел. 6.2. Простые и составные числа. Упражнения - номер 6.31, страница 118.

Условие.

6.31 Простые числа, разность которых равна 2, называют числами-близнецами.

а) Сколько пар чисел-близнецов в отрезке натурального ряда от 1 до 100?

б) Есть ли числа-близнецы в десятой сотне?

в) Опровергните с помощью контрпримера следующее утверждение: «В третьей сотне только одна пара чисел-близнецов».

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а) Числа-близнецы — это пары простых чисел, разность которых равна 2. Чтобы найти все такие пары на отрезке натурального ряда от 1 до 100, необходимо сначала выписать все простые числа в этом диапазоне.

Простые числа от 1 до 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Теперь найдем среди них пары, разность в которых составляет 2:
(3, 5)
(5, 7)
(11, 13)
(17, 19)
(29, 31)
(41, 43)
(59, 61)
(71, 73)

Подсчитав количество пар, получаем 8.

Ответ: 8 пар.

б) Десятая сотня включает в себя натуральные числа от 901 до 1000. Для поиска чисел-близнецов в этом диапазоне, сначала определим все простые числа, которые в него входят.

Простые числа в диапазоне [901, 1000]: 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.

Далее проверим, есть ли среди этих простых чисел пары, разность которых равна 2. Для этого достаточно проверить разность между соседними числами в полученном списке:
$911 - 907 = 4$
$919 - 911 = 8$
$929 - 919 = 10$
Как видно, даже минимальная разность между соседними простыми числами в этом списке больше 2. Следовательно, в десятой сотне нет чисел-близнецов.

Ответ: Нет.

в) Требуется опровергнуть с помощью контрпримера утверждение: «В третьей сотне только одна пара чисел-близнецов».

Третья сотня — это натуральные числа в диапазоне от 201 до 300. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно найти в этом диапазоне более одной пары чисел-близнецов.

Выполним поиск таких пар:
1. Находим пару (227, 229). Оба числа являются простыми, и их разность равна $229 - 227 = 2$.
2. Находим пару (239, 241). Оба числа также являются простыми, и их разность равна $241 - 239 = 2$.

Мы нашли как минимум две пары чисел-близнецов в третьей сотне. Это доказывает, что исходное утверждение ложно. На самом деле, в этом диапазоне есть еще две пары: (269, 271) и (281, 283).

Ответ: Утверждение неверно. Контрпримером служат пары чисел-близнецов (227, 229) и (239, 241), которые обе находятся в третьей сотне.