Номер 6.34, страница 119 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 6.2. Простые и составные числа. Глава 6. Делимость чисел - номер 6.34, страница 119.

6.34 Исследуем

1) Найдите с помощью перебора все делители числа 6, числа 10 и числа 21. Сколько делителей имеет каждое из этих чисел?

Подсказка. $6 = 2 \cdot 3$, $10 = 2 \cdot 5$, $21 = 3 \cdot 7$.

2) Каким общим свойством обладают все эти числа? Укажите ещё какое-нибудь число, обладающее тем же свойством. Сколько у него делителей?

3) Сколько делителей имеет число, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ – различные простые числа? Перечислите их все.

1)

Найдем все делители для каждого из чисел методом перебора. Делитель — это число, на которое данное число делится без остатка.

Для числа 6:
Проверяем числа от 1 до 6.
$6 \div 1 = 6$
$6 \div 2 = 3$
$6 \div 3 = 2$
$6 \div 6 = 1$
Делители числа 6: 1, 2, 3, 6. Всего 4 делителя.

Для числа 10:
Проверяем числа от 1 до 10.
$10 \div 1 = 10$
$10 \div 2 = 5$
$10 \div 5 = 2$
$10 \div 10 = 1$
Делители числа 10: 1, 2, 5, 10. Всего 4 делителя.

Для числа 21:
Проверяем числа от 1 до 21.
$21 \div 1 = 21$
$21 \div 3 = 7$
$21 \div 7 = 3$
$21 \div 21 = 1$
Делители числа 21: 1, 3, 7, 21. Всего 4 делителя.

Ответ: Делители числа 6: 1, 2, 3, 6 (4 делителя). Делители числа 10: 1, 2, 5, 10 (4 делителя). Делители числа 21: 1, 3, 7, 21 (4 делителя).

2)

Общим свойством чисел 6, 10 и 21 является то, что каждое из них представляет собой произведение двух различных простых чисел.
$6 = 2 \cdot 3$
$10 = 2 \cdot 5$
$21 = 3 \cdot 7$
Возьмем еще одно число, обладающее тем же свойством, например, 35.
$35 = 5 \cdot 7$, где 5 и 7 — различные простые числа.
Найдем его делители: 1, 5, 7, 35. У числа 35 тоже 4 делителя.

Ответ: Общее свойство — каждое из этих чисел является произведением двух различных простых чисел. Пример другого такого числа — 35, у него 4 делителя.

3)

Пусть у нас есть число, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ — различные простые числа. По определению, простые числа делятся только на 1 и на самих себя. Любой делитель числа $a \cdot b$ должен быть произведением делителей его множителей, то есть $a$ и $b$.
Следовательно, делителями числа $a \cdot b$ будут:
1) 1 (единица является делителем любого числа).
2) Простое число $a$.
3) Простое число $b$.
4) Само число $a \cdot b$.
Других делителей у этого числа нет. Таким образом, у такого числа всегда ровно 4 делителя.

Ответ: Число, равное произведению $a \cdot b$, где $a$ и $b$ — различные простые числа, имеет 4 делителя. Их список: 1, $a$, $b$, $a \cdot b$.