Номер 6.30, страница 118 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 6. Делимость чисел. 6.2. Простые и составные числа. Упражнения - номер 6.30, страница 118.

Условие.

6.30 Среди двузначных простых чисел, записанных разными цифрами, есть такие, которые остаются простыми после перестановки цифр. Сколько всего таких двузначных чисел имеется?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Задача состоит в том, чтобы найти количество двузначных простых чисел, которые записаны разными цифрами и остаются простыми после перестановки этих цифр. Решим ее по шагам.

Шаг 1. Определение множества двузначных простых чисел с разными цифрами

Сначала выпишем все двузначные простые числа (числа от 10 до 99, которые делятся только на 1 и на самих себя):
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

По условию задачи, цифры в искомых числах должны быть разными. Из приведенного списка этому условию не удовлетворяет только число 11. Исключив его, получаем следующий список чисел-кандидатов:
13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Шаг 2. Анализ второго условия и сужение круга поиска

Второе условие гласит, что число, полученное после перестановки цифр, также должно быть простым.

Пусть наше двузначное число состоит из цифр a и b, то есть имеет вид $10a + b$. Тогда число после перестановки цифр будет $10b + a$.

Двузначное простое число не может оканчиваться на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8) или на 5, так как в этом случае оно будет делиться на 2 или на 5.

Это накладывает ограничения на обе цифры $a$ и $b$.

- Для числа $10a + b$ цифра $b$ не может быть четной или 5.

- Для числа $10b + a$ цифра $a$ не может быть четной или 5.

Следовательно, обе цифры искомых чисел должны быть нечетными и не равными 5. То есть, они должны принадлежать множеству {1, 3, 7, 9}.

Шаг 3. Проверка оставшихся чисел-кандидатов

Теперь из списка, полученного в первом шаге, выберем только те числа, которые состоят из цифр {1, 3, 7, 9}:
13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79, 97.

Проверим для каждого из этих чисел, будет ли простым число, полученное перестановкой его цифр:

- Число 13. Переставляем цифры, получаем 31. Оба числа (13 и 31) простые. Эта пара нам подходит.

- Число 17. Переставляем цифры, получаем 71. Оба числа (17 и 71) простые. Эта пара нам подходит.

- Число 19. Переставляем цифры, получаем 91. Число 91 не является простым, так как $91 = 7 \times 13$. Эта пара не подходит.

- Число 37. Переставляем цифры, получаем 73. Оба числа (37 и 73) простые. Эта пара нам подходит.

- Число 79. Переставляем цифры, получаем 97. Оба числа (79 и 97) простые. Эта пара нам подходит.

Остальные числа в нашем списке (31, 71, 73, 97) являются "перевернутыми" версиями уже рассмотренных нами чисел и также удовлетворяют условию.

Шаг 4. Итоговый подсчет

Таким образом, полный список двузначных чисел, которые записаны разными цифрами и остаются простыми после перестановки цифр, выглядит так: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97.

Всего в этом списке 8 чисел.

Ответ: 8