Номер 6.30, страница 118 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 6.2. Простые и составные числа. Глава 6. Делимость чисел - номер 6.30, страница 118.

6.30 Среди двузначных простых чисел, записанных разными цифрами, есть такие, которые остаются простыми после перестановки цифр. Сколько всего таких двузначных чисел имеется?

Задача состоит в том, чтобы найти количество двузначных простых чисел, которые записаны разными цифрами и остаются простыми после перестановки этих цифр. Решим ее по шагам.

Шаг 1. Определение множества двузначных простых чисел с разными цифрами

Сначала выпишем все двузначные простые числа (числа от 10 до 99, которые делятся только на 1 и на самих себя):
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

По условию задачи, цифры в искомых числах должны быть разными. Из приведенного списка этому условию не удовлетворяет только число 11. Исключив его, получаем следующий список чисел-кандидатов:
13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Шаг 2. Анализ второго условия и сужение круга поиска

Второе условие гласит, что число, полученное после перестановки цифр, также должно быть простым.

Пусть наше двузначное число состоит из цифр a и b, то есть имеет вид $10a + b$. Тогда число после перестановки цифр будет $10b + a$.

Двузначное простое число не может оканчиваться на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8) или на 5, так как в этом случае оно будет делиться на 2 или на 5.

Это накладывает ограничения на обе цифры $a$ и $b$.

- Для числа $10a + b$ цифра $b$ не может быть четной или 5.

- Для числа $10b + a$ цифра $a$ не может быть четной или 5.

Следовательно, обе цифры искомых чисел должны быть нечетными и не равными 5. То есть, они должны принадлежать множеству {1, 3, 7, 9}.

Шаг 3. Проверка оставшихся чисел-кандидатов

Теперь из списка, полученного в первом шаге, выберем только те числа, которые состоят из цифр {1, 3, 7, 9}:
13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79, 97.

Проверим для каждого из этих чисел, будет ли простым число, полученное перестановкой его цифр:

- Число 13. Переставляем цифры, получаем 31. Оба числа (13 и 31) простые. Эта пара нам подходит.

- Число 17. Переставляем цифры, получаем 71. Оба числа (17 и 71) простые. Эта пара нам подходит.

- Число 19. Переставляем цифры, получаем 91. Число 91 не является простым, так как $91 = 7 \times 13$. Эта пара не подходит.

- Число 37. Переставляем цифры, получаем 73. Оба числа (37 и 73) простые. Эта пара нам подходит.

- Число 79. Переставляем цифры, получаем 97. Оба числа (79 и 97) простые. Эта пара нам подходит.

Остальные числа в нашем списке (31, 71, 73, 97) являются "перевернутыми" версиями уже рассмотренных нами чисел и также удовлетворяют условию.

Шаг 4. Итоговый подсчет

Таким образом, полный список двузначных чисел, которые записаны разными цифрами и остаются простыми после перестановки цифр, выглядит так: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97.

Всего в этом списке 8 чисел.

Ответ: 8