Страница 112 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Слово «кратное» русского происхождения. Согласно разъяснению, приведённому в толковом словаре старинных терминов, «кратный» означает «известное число раз». Приведите примеры других слов с корнем «крат».

Корень «крат» в значении «раз» (количество повторений), о котором говорится в задании, лежит в основе ряда слов русского языка. Обычно он используется для образования сложных прилагательных, первая часть которых (часто числительное) указывает на количество повторений какого-либо действия, события или признака. Также от этого корня образуются и существительные.

Вот несколько примеров таких слов:

• Однократный — совершаемый или происходящий только один раз. Например, однократное посещение.
• Двукратный (или двухкратный) — повторяющийся два раза. Например, двукратный чемпион мира.
• Трёхкратный — повторяющийся три раза.
• Многократный — повторяющийся много раз, неоднократный. Например, многократное преимущество.
• Неоднократный — бывший, случавшийся, совершавшийся более одного раза. Например, неоднократные предупреждения.
• Кратность — отвлечённое существительное. В математике это свойство числа делиться на другое без остатка (например, кратность двум). В технике и оптике это понятие означает степень увеличения (например, кратность увеличения микроскопа).

Ответ: однократный, двукратный, многократный, неоднократный, кратность.

Сформулируйте несколько выводов из равенства $30 = 5 \cdot 6$, используя слова «делится», «делитель», «кратное».

На основе равенства $30 = 5 \cdot 6$ можно сформулировать несколько выводов, используя математические термины «делится», «делитель» и «кратное».

«делится»

Данное равенство показывает, что число 30 является произведением чисел 5 и 6. Это означает, что 30 можно разделить на каждый из множителей без остатка. Таким образом, можно сделать следующие выводы:

- Число 30 делится нацело на 5, в результате чего получается 6.

- Число 30 делится нацело на 6, в результате чего получается 5.

Ответ: Число 30 делится на 5 и на 6.

«делитель»

Делителем натурального числа называется число, на которое оно делится без остатка. Поскольку 30 делится на 5 и на 6, то эти числа являются его делителями:

- Число 5 является делителем числа 30.

- Число 6 является делителем числа 30.

Ответ: Числа 5 и 6 являются делителями числа 30.

«кратное»

Кратным натурального числа называется число, которое само делится на данное число без остатка. Так как 30 делится и на 5, и на 6, то оно является кратным для каждого из них:

- Число 30 является кратным числу 5.

- Число 30 является кратным числу 6.

Ответ: Число 30 кратно числам 5 и 6.

Покажите на примере числа 18, как можно найти все делители некоторого числа.

Чтобы найти все делители некоторого числа, например 18, можно использовать метод, основанный на разложении этого числа на простые множители. Алгоритм состоит из следующих шагов:

Шаг 1. Разложить число на простые множители.
Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Разложить число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел.
Для числа 18:
Начинаем делить 18 на самое маленькое простое число, 2:
$18 \div 2 = 9$
Теперь работаем с результатом 9. Оно не делится на 2, поэтому берем следующее простое число, 3:
$9 \div 3 = 3$
Результат 3 — это простое число, делим его на само себя:
$3 \div 3 = 1$
Когда мы получили 1, разложение завершено. Мы использовали множители 2, 3 и 3.
Таким образом, разложение числа 18 на простые множители в каноническом виде (с использованием степеней) выглядит так: $18 = 2^1 \cdot 3^2$.

Шаг 2. Найти все возможные произведения из полученных простых множителей.
Чтобы найти все делители, нужно составить все возможные произведения из простых множителей числа. Для этого берем каждый простой множитель в степенях от 0 до той, с которой он входит в разложение.
Простой множитель 2 входит в разложение в степени 1. Значит, мы берем $2^0$ и $2^1$. Это числа 1 и 2.
Простой множитель 3 входит в разложение в степени 2. Значит, мы берем $3^0$, $3^1$ и $3^2$. Это числа 1, 3 и 9.
Теперь перемножим каждое число из первого набора (1, 2) на каждое число из второго набора (1, 3, 9):
$1 \cdot 1 = 1$
$1 \cdot 3 = 3$
$1 \cdot 9 = 9$
$2 \cdot 1 = 2$
$2 \cdot 3 = 6$
$2 \cdot 9 = 18$

Шаг 3. Записать все полученные делители.
Все полученные уникальные результаты и есть все делители числа 18. Запишем их в порядке возрастания.

Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Приведите примеры чисел, кратных 3. Как их можно найти?

Примеры чисел, кратных 3
Число называется кратным числу 3, если оно делится на 3 нацело (без остатка). Примерами таких чисел могут служить: 3, 6, 9, 12, 21, 30, 99, 150, 333 и так далее. Фактически, это все числа, которые можно найти в таблице умножения на 3.
Например:
$6 \div 3 = 2$
$21 \div 3 = 7$
$150 \div 3 = 50$
Ответ: Примерами чисел, кратных 3, являются 9, 15, 30, 99.

Как их можно найти?
Существует два основных способа, чтобы найти числа, кратные 3, или проверить, является ли конкретное число кратным 3.

1. Умножение на 3. Чтобы гарантированно получить число, кратное 3, нужно любое целое число (натуральное) умножить на 3. Результат такого умножения всегда будет делиться на 3.
Это можно записать в виде формулы: $N = 3 \cdot k$, где $k$ — любое целое число.
Например:
$3 \cdot 5 = 15$
$3 \cdot 16 = 48$
$3 \cdot 100 = 300$

2. Использование признака делимости на 3. Этот метод помогает быстро проверить, делится ли какое-либо, особенно большое, число на 3. Правило гласит: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Например, проверим число 573:
Сложим его цифры: $5 + 7 + 3 = 15$.
Так как 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$), то и само число 573 делится на 3 ($573 \div 3 = 191$).
Другой пример: число 1021.
Сумма его цифр: $1 + 0 + 2 + 1 = 4$.
Число 4 не делится на 3 без остатка, следовательно, и число 1021 не кратно 3.
Ответ: Числа, кратные 3, можно найти, умножив любое целое число на 3. Также можно проверить любое число на кратность 3, сложив его цифры: если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3.

Как начинается ряд чисел, кратных числу 5? Какое число стоит в этом ряду на двенадцатом месте; на сотом месте?

Как начинается ряд чисел, кратных числу 5?
Ряд чисел, кратных числу 5, состоит из чисел, которые делятся на 5 без остатка. Чтобы получить этот ряд, нужно последовательно умножать натуральные числа (1, 2, 3, ...) на 5.
Первое число: $1 \times 5 = 5$
Второе число: $2 \times 5 = 10$
Третье число: $3 \times 5 = 15$
Четвертое число: $4 \times 5 = 20$
Таким образом, ряд начинается с чисел 5, 10, 15, 20 и так далее.
Ответ: Ряд чисел, кратных 5, начинается так: 5, 10, 15, 20, ...

Какое число стоит в этом ряду на двенадцатом месте?
Чтобы найти число, которое стоит в этом ряду на n-ом месте, нужно порядковый номер этого места (n) умножить на 5. В данном случае нам нужно найти двенадцатое число в ряду.
$12 \times 5 = 60$
Ответ: 60

Какое число стоит в этом ряду на сотом месте?
Используем тот же принцип, что и в предыдущем пункте. Чтобы найти сотое число в ряду, нужно порядковый номер 100 умножить на 5.
$100 \times 5 = 500$
Ответ: 500

6.1 а) Убедитесь, выполнив умножение, что верно равенство $34 \cdot 8 = 272$.

Является ли делителем числа 272 число 34; число 8? Если является, то укажите соответствующее частное.

б) Убедитесь, выполнив умножение, что верно равенство $504 = 7 \cdot 8 \cdot 9$.

Является ли делителем числа 504 число 7; число 8; число 72? Если является, то укажите соответствующее частное.

а) Сначала проверим равенство, выполнив умножение: $34 \cdot 8$. $34 \cdot 8 = (30 + 4) \cdot 8 = 30 \cdot 8 + 4 \cdot 8 = 240 + 32 = 272$. Равенство $34 \cdot 8 = 272$ является верным.
Если произведение двух чисел равно третьему числу (делимому), то каждое из этих двух чисел (множителей) является делителем этого числа. Из верного равенства следует, что и 34, и 8 являются делителями числа 272.
- При делении числа 272 на делитель 34, частное будет равно 8. Проверка: $272 : 34 = 8$.
- При делении числа 272 на делитель 8, частное будет равно 34. Проверка: $272 : 8 = 34$.

Ответ: Равенство верно. Число 34 является делителем числа 272, частное равно 8. Число 8 является делителем числа 272, частное равно 34.

б) Проверим равенство $504 = 7 \cdot 8 \cdot 9$. Выполним умножение последовательно: $7 \cdot 8 = 56$. $56 \cdot 9 = (50 + 6) \cdot 9 = 50 \cdot 9 + 6 \cdot 9 = 450 + 54 = 504$. Равенство $504 = 7 \cdot 8 \cdot 9$ является верным.
Из этого равенства следует:
- Число 7 является делителем числа 504. Соответствующее частное равно произведению остальных множителей: $8 \cdot 9 = 72$.
- Число 8 является делителем числа 504. Соответствующее частное равно произведению остальных множителей: $7 \cdot 9 = 63$.
- Число 72 также является делителем числа 504, поскольку $72 = 8 \cdot 9$. Равенство можно представить в виде $504 = 7 \cdot (8 \cdot 9) = 7 \cdot 72$. Соответствующее частное равно 7.

Ответ: Равенство верно. Число 7 является делителем числа 504, частное равно 72. Число 8 является делителем числа 504, частное равно 63. Число 72 является делителем числа 504, частное равно 7.