Страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.43 СТРОИМ ПО АЛГОРИТМУ Рассмотрите рисунок 5.31.

1) Ответьте на вопросы по рисунку:

a) Чему равен радиус окружности?

b) Верно ли, что прямые $\text{\textcircled{1}}$ – $\text{\textcircled{4}}$ проходят через центр окружности?

c) Чему равна величина угла $\angle AOB$? угла $\angle BOC$?

2) Постройте восьмиугольник $ABCDEFGH$, воспользовавшись следующим алгоритмом:

• Отметьте точку $O$ и начертите окружность с центром в точке $O$ и радиусом 2 см.

• Проведите прямые $\text{\textcircled{1}}$ – $\text{\textcircled{4}}$.

• Отметьте вершины восьмиугольника.

• Последовательно соедините отмеченные точки отрезками.

Рис. 5.31

а) Чему равен радиус окружности?

На рисунке окружность изображена на клетчатой бумаге. Центр окружности находится в точке О. Если принять сторону одной клетки за единицу длины, то можно увидеть, что расстояние от центра О до точек на окружности, лежащих на линиях сетки (например, точек A, C, E, G), равно двум клеткам. Таким образом, радиус окружности равен 2 условным единицам.

Ответ: Радиус окружности равен 2 условным единицам.

б) Верно ли, что прямые ① – ④ проходят через центр окружности?

Да, это верно. На рисунке видно, что все четыре прямые (①, ②, ③, ④) пересекаются в точке О, которая является центром окружности. Прямая, проходящая через центр окружности и соединяющая две точки на окружности, является ее диаметром. Все четыре линии являются диаметрами.

Ответ: Да, верно.

в) Чему равна величина угла AOB? угла BOC?

Вершины восьмиугольника ABCDEFGH делят окружность на 8 равных дуг. Центральные углы, соответствующие этим дугам, также равны между собой. Полный угол в центре окружности составляет $360^\circ$. Следовательно, величина каждого из восьми равных центральных углов (таких как $\angle AOB$ и $\angle BOC$) равна частному от деления $360^\circ$ на 8.

$\angle AOB = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

$\angle BOC = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

Ответ: $\angle AOB = 45^\circ$, $\angle BOC = 45^\circ$.

2) Постройте восьмиугольник ABCDEFGH, воспользовавшись следующим алгоритмом:

Для построения правильного восьмиугольника ABCDEFGH, вписанного в окружность, необходимо выполнить следующие действия:

1. Отметьте точку О и начертите окружность с центром в точке О и радиусом 2 см. С помощью циркуля и линейки начертите окружность. Для этого установите раствор циркуля равным 2 см, поместите иглу в точку О и проведите окружность.
2. Проведите прямые ① – ④. Через центр окружности О проведите четыре прямые так, чтобы они разделили окружность на 8 равных частей. Проще всего сначала провести две взаимно перпендикулярные прямые, а затем провести биссектрисы образовавшихся прямых углов. Угол между каждыми двумя соседними прямыми будет равен $45^\circ$.
3. Отметьте вершины восьмиугольника. Точки пересечения проведенных прямых с окружностью являются вершинами восьмиугольника. Обозначьте их последовательно буквами A, B, C, D, E, F, G, H.
4. Последовательно соедините отмеченные точки отрезками. С помощью линейки соедините отрезками соседние вершины: A и B, B и C, и так далее, до соединения H и A.

В результате этих действий будет построен искомый правильный восьмиугольник ABCDEFGH.

Ответ: Построение выполняется согласно шагам алгоритма, в результате чего получается правильный восьмиугольник, вписанный в окружность.

Найдите все 35 треугольников на рисунке 5.32.

Рис. 5.32

Для того чтобы найти и подсчитать все треугольники на рисунке, мы будем использовать систематический подход, классифицируя треугольники по типу их вершин. На рисунке 10 вершин: 5 внешних (A, B, C, D, E) и 5 внутренних (O, F, G, H, K). Внутренние вершины являются точками пересечения диагоналей внешнего пятиугольника ABCDE.

• Точка O — пересечение диагоналей AC и BE.
• Точка F — пересечение диагоналей AC и BD.
• Точка G — пересечение диагоналей BD и CE.
• Точка H — пересечение диагоналей CE и AD.
• Точка K — пересечение диагоналей AD и BE.

Всего на рисунке можно выделить 35 треугольников. Разобьем их на четыре группы.

Группа 1: Треугольники, у которых все три вершины являются внешними (10 треугольников).

Эти треугольники можно разделить на две подгруппы:

• 5 треугольников, образованных двумя смежными сторонами и одной диагональю внешнего пятиугольника:
  $\triangle$ABC, $\triangle$BCD, $\triangle$CDE, $\triangle$DEA, $\triangle$EAB.
• 5 больших треугольников, образующих "лучи" звезды, стороны которых являются диагоналями внешнего пятиугольника:
  $\triangle$ACE, $\triangle$BDA, $\triangle$CEB, $\triangle$DAC, $\triangle$EBD.

Группа 2: Треугольники, у которых две вершины внешние и одна внутренняя (15 треугольников).

Для каждой из пяти сторон внешнего пятиугольника существует по три таких треугольника:

• На стороне AB: $\triangle$ABO, $\triangle$ABF, $\triangle$ABK.
• На стороне BC: $\triangle$BCO, $\triangle$BCF, $\triangle$BCG.
• На стороне CD: $\triangle$CDF, $\triangle$CDG, $\triangle$CDH.
• На стороне DE: $\triangle$DEG, $\triangle$DEH, $\triangle$DEK.
• На стороне EA: $\triangle$EAH, $\triangle$EAK, $\triangle$EAO.

Группа 3: Треугольники, у которых одна вершина внешняя и две внутренние (5 треугольников).

Это 5 самых маленьких треугольников, расположенных на остриях внутренней звезды:

• $\triangle$AOK, $\triangle$BFO, $\triangle$CGF, $\triangle$DHG, $\triangle$EKH.

Группа 4: Треугольники, у которых все три вершины внутренние (5 треугольников).

Эти треугольники образуют лучи звезды, вписанной во внутренний пятиугольник KOFGH. Их стороны являются диагоналями этого внутреннего пятиугольника:

• $\triangle$KFG, $\triangle$OGH, $\triangle$FHK, $\triangle$GKO, $\triangle$HOF.

Суммируя количество треугольников во всех группах, получаем общее число:

$10 + 15 + 5 + 5 = 35$

Ответ: Всего на рисунке 35 треугольников, которые можно разделить на 4 группы по типу их вершин: 10 треугольников с 3 внешними вершинами, 15 треугольников с 2 внешними и 1 внутренней вершиной, 5 треугольников с 1 внешней и 2 внутренними вершинами и 5 треугольников с 3 внутренними вершинами.

5.45 Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 54 км. Через сколько часов они встретятся, если:

а) скорость одного из них 10 км/ч, другого — 8 км/ч;

б) скорость одного из них 12 км/ч, другого — на 3 км/ч больше?

а)

Чтобы найти время, через которое велосипедисты встретятся, нужно разделить общее расстояние на их скорость сближения. Скорость сближения при движении навстречу друг другу равна сумме их скоростей.

1. Найдём скорость сближения велосипедистов:

$10 \text{ км/ч} + 8 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$

2. Найдём время, через которое они встретятся, разделив расстояние на скорость сближения:

$54 \text{ км} / 18 \text{ км/ч} = 3 \text{ ч}$

Ответ: через 3 часа.

б)

Сначала определим скорость второго велосипедиста, а затем по аналогии с пунктом а) найдем время встречи.

1. Найдём скорость второго велосипедиста, которая на 3 км/ч больше скорости первого:

$12 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$

2. Найдём скорость сближения велосипедистов:

$12 \text{ км/ч} + 15 \text{ км/ч} = 27 \text{ км/ч}$

3. Найдём время до встречи:

$54 \text{ км} / 27 \text{ км/ч} = 2 \text{ ч}$

Ответ: через 2 часа.

5.46 1) Убедитесь в том, что верны следующие равенства:

$11^2 = 121,$

$101^2 = 10 \ 201,$

$1001^2 = 1 \ 002 \ 001.$

2) Подметьте закономерность и предположите, квадратом какого числа является число 100 020 001; проверьте правильность вашего предположения.

3) Запишите, не выполняя вычислений, значение степени $100 \ 001^2$, проверьте свой ответ вычислением.

1) Убедимся в верности равенств, выполнив вычисления. Для удобства можно использовать формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

• $11^2 = 11 \times 11 = 121$. Равенство верно.

• $101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$. Равенство верно.

• $1001^2 = (1000 + 1)^2 = 1000^2 + 2 \cdot 1000 \cdot 1 + 1^2 = 1000000 + 2000 + 1 = 1002001$. Равенство верно.

Ответ: все равенства верны.

2) Из первого пункта можно заметить закономерность: квадрат числа, состоящего из двух единиц, между которыми стоит $n$ нулей, равен числу, состоящему из единицы, $n$ нулей, двойки, снова $n$ нулей и единицы.

В числе $100 020 001$ до и после двойки стоит по три нуля. Это соответствует случаю, когда $n=3$.

Следовательно, можно предположить, что это число является квадратом числа $10001$.

Проверим это предположение вычислением:

$10001^2 = (10000 + 1)^2 = 10000^2 + 2 \cdot 10000 \cdot 1 + 1^2 = 100000000 + 20000 + 1 = 100020001$.

Предположение оказалось верным.

Ответ: $10001$.

3) Используя замеченную закономерность, запишем значение степени $100 001^2$. В числе $100 001$ между единицами четыре нуля ($n=4$).

Это значит, что результат должен начинаться с единицы, за которой следуют четыре нуля, затем двойка, затем снова четыре нуля и в конце единица. Таким образом, получаем число $1 000 020 001$.

Проверим свой ответ вычислением:

$100001^2 = (100000 + 1)^2 = 100000^2 + 2 \cdot 100000 \cdot 1 + 1^2 = 10000000000 + 200000 + 1 = 10000200001$.

Наш ответ, полученный на основе закономерности, совпадает с результатом вычислений.

Ответ: $1 000 020 001$.

5.47 Вычислите:

$(873 - 6036 : 12) \cdot 12 - 2 \cdot (48 \cdot 7 + 344).$

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в определенном порядке: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце — сложение и вычитание.

Исходное выражение: $(873 - 6036 : 12) \cdot 12 - 2 \cdot (48 \cdot 7 + 344)$.

Решим его по шагам:

1. Выполним действия в первой скобке $(873 - 6036 : 12)$.

Внутри скобок сначала выполняется деление, а затем вычитание.

а) $6036 : 12 = 503$

б) $873 - 503 = 370$

2. Выполним действия во второй скобке $(48 \cdot 7 + 344)$.

Внутри скобок сначала выполняется умножение, а затем сложение.

а) $48 \cdot 7 = 336$

б) $336 + 344 = 680$

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение.

Теперь выражение выглядит так:

$370 \cdot 12 - 2 \cdot 680$

4. Выполним оставшиеся действия.

Сначала выполняем умножение слева направо, а затем вычитание.

а) $370 \cdot 12 = 4440$

б) $2 \cdot 680 = 1360$

в) $4440 - 1360 = 3080$

Ответ: 3080.