Номер 5.43, страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 5.3. Ломаные и многоугольники. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 5.43, страница 108.

5.43 СТРОИМ ПО АЛГОРИТМУ Рассмотрите рисунок 5.31.

1) Ответьте на вопросы по рисунку:

a) Чему равен радиус окружности?

b) Верно ли, что прямые $\text{\textcircled{1}}$ – $\text{\textcircled{4}}$ проходят через центр окружности?

c) Чему равна величина угла $\angle AOB$? угла $\angle BOC$?

2) Постройте восьмиугольник $ABCDEFGH$, воспользовавшись следующим алгоритмом:

• Отметьте точку $O$ и начертите окружность с центром в точке $O$ и радиусом 2 см.

• Проведите прямые $\text{\textcircled{1}}$ – $\text{\textcircled{4}}$.

• Отметьте вершины восьмиугольника.

• Последовательно соедините отмеченные точки отрезками.

Рис. 5.31

а) Чему равен радиус окружности?

На рисунке окружность изображена на клетчатой бумаге. Центр окружности находится в точке О. Если принять сторону одной клетки за единицу длины, то можно увидеть, что расстояние от центра О до точек на окружности, лежащих на линиях сетки (например, точек A, C, E, G), равно двум клеткам. Таким образом, радиус окружности равен 2 условным единицам.

Ответ: Радиус окружности равен 2 условным единицам.

б) Верно ли, что прямые ① – ④ проходят через центр окружности?

Да, это верно. На рисунке видно, что все четыре прямые (①, ②, ③, ④) пересекаются в точке О, которая является центром окружности. Прямая, проходящая через центр окружности и соединяющая две точки на окружности, является ее диаметром. Все четыре линии являются диаметрами.

Ответ: Да, верно.

в) Чему равна величина угла AOB? угла BOC?

Вершины восьмиугольника ABCDEFGH делят окружность на 8 равных дуг. Центральные углы, соответствующие этим дугам, также равны между собой. Полный угол в центре окружности составляет $360^\circ$. Следовательно, величина каждого из восьми равных центральных углов (таких как $\angle AOB$ и $\angle BOC$) равна частному от деления $360^\circ$ на 8.

$\angle AOB = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

$\angle BOC = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

Ответ: $\angle AOB = 45^\circ$, $\angle BOC = 45^\circ$.

2) Постройте восьмиугольник ABCDEFGH, воспользовавшись следующим алгоритмом:

Для построения правильного восьмиугольника ABCDEFGH, вписанного в окружность, необходимо выполнить следующие действия:

1. Отметьте точку О и начертите окружность с центром в точке О и радиусом 2 см. С помощью циркуля и линейки начертите окружность. Для этого установите раствор циркуля равным 2 см, поместите иглу в точку О и проведите окружность.
2. Проведите прямые ① – ④. Через центр окружности О проведите четыре прямые так, чтобы они разделили окружность на 8 равных частей. Проще всего сначала провести две взаимно перпендикулярные прямые, а затем провести биссектрисы образовавшихся прямых углов. Угол между каждыми двумя соседними прямыми будет равен $45^\circ$.
3. Отметьте вершины восьмиугольника. Точки пересечения проведенных прямых с окружностью являются вершинами восьмиугольника. Обозначьте их последовательно буквами A, B, C, D, E, F, G, H.
4. Последовательно соедините отмеченные точки отрезками. С помощью линейки соедините отрезками соседние вершины: A и B, B и C, и так далее, до соединения H и A.

В результате этих действий будет построен искомый правильный восьмиугольник ABCDEFGH.

Ответ: Построение выполняется согласно шагам алгоритма, в результате чего получается правильный восьмиугольник, вписанный в окружность.