Номер 5.44, страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 5.3. Ломаные и многоугольники. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 5.44, страница 108.

5.44 Ищем способ подсчёта

Найдите все 35 треугольников на рисунке 5.32.

Рис. 5.32

Для того чтобы найти и подсчитать все треугольники на рисунке, мы будем использовать систематический подход, классифицируя треугольники по типу их вершин. На рисунке 10 вершин: 5 внешних (A, B, C, D, E) и 5 внутренних (O, F, G, H, K). Внутренние вершины являются точками пересечения диагоналей внешнего пятиугольника ABCDE.

• Точка O — пересечение диагоналей AC и BE.
• Точка F — пересечение диагоналей AC и BD.
• Точка G — пересечение диагоналей BD и CE.
• Точка H — пересечение диагоналей CE и AD.
• Точка K — пересечение диагоналей AD и BE.

Всего на рисунке можно выделить 35 треугольников. Разобьем их на четыре группы.

Группа 1: Треугольники, у которых все три вершины являются внешними (10 треугольников).

Эти треугольники можно разделить на две подгруппы:

• 5 треугольников, образованных двумя смежными сторонами и одной диагональю внешнего пятиугольника:
  $\triangle$ABC, $\triangle$BCD, $\triangle$CDE, $\triangle$DEA, $\triangle$EAB.
• 5 больших треугольников, образующих "лучи" звезды, стороны которых являются диагоналями внешнего пятиугольника:
  $\triangle$ACE, $\triangle$BDA, $\triangle$CEB, $\triangle$DAC, $\triangle$EBD.

Группа 2: Треугольники, у которых две вершины внешние и одна внутренняя (15 треугольников).

Для каждой из пяти сторон внешнего пятиугольника существует по три таких треугольника:

• На стороне AB: $\triangle$ABO, $\triangle$ABF, $\triangle$ABK.
• На стороне BC: $\triangle$BCO, $\triangle$BCF, $\triangle$BCG.
• На стороне CD: $\triangle$CDF, $\triangle$CDG, $\triangle$CDH.
• На стороне DE: $\triangle$DEG, $\triangle$DEH, $\triangle$DEK.
• На стороне EA: $\triangle$EAH, $\triangle$EAK, $\triangle$EAO.

Группа 3: Треугольники, у которых одна вершина внешняя и две внутренние (5 треугольников).

Это 5 самых маленьких треугольников, расположенных на остриях внутренней звезды:

• $\triangle$AOK, $\triangle$BFO, $\triangle$CGF, $\triangle$DHG, $\triangle$EKH.

Группа 4: Треугольники, у которых все три вершины внутренние (5 треугольников).

Эти треугольники образуют лучи звезды, вписанной во внутренний пятиугольник KOFGH. Их стороны являются диагоналями этого внутреннего пятиугольника:

• $\triangle$KFG, $\triangle$OGH, $\triangle$FHK, $\triangle$GKO, $\triangle$HOF.

Суммируя количество треугольников во всех группах, получаем общее число:

$10 + 15 + 5 + 5 = 35$

Ответ: Всего на рисунке 35 треугольников, которые можно разделить на 4 группы по типу их вершин: 10 треугольников с 3 внешними вершинами, 15 треугольников с 2 внешними и 1 внутренней вершиной, 5 треугольников с 1 внешней и 2 внутренними вершинами и 5 треугольников с 3 внутренними вершинами.