Номер 5.44, страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 5. Углы и многоугольники. 5.3. Ломаные и многоугольники. Упражнения - номер 5.44, страница 108.

Условие.

5.44 Ищем способ подсчёта

Найдите все 35 треугольников на рисунке 5.32.

Рис. 5.32

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы найти и подсчитать все треугольники на рисунке, мы будем использовать систематический подход, классифицируя треугольники по типу их вершин. На рисунке 10 вершин: 5 внешних (A, B, C, D, E) и 5 внутренних (O, F, G, H, K). Внутренние вершины являются точками пересечения диагоналей внешнего пятиугольника ABCDE.

• Точка O — пересечение диагоналей AC и BE.
• Точка F — пересечение диагоналей AC и BD.
• Точка G — пересечение диагоналей BD и CE.
• Точка H — пересечение диагоналей CE и AD.
• Точка K — пересечение диагоналей AD и BE.

Всего на рисунке можно выделить 35 треугольников. Разобьем их на четыре группы.

Группа 1: Треугольники, у которых все три вершины являются внешними (10 треугольников).

Эти треугольники можно разделить на две подгруппы:

• 5 треугольников, образованных двумя смежными сторонами и одной диагональю внешнего пятиугольника:
  $\triangle$ABC, $\triangle$BCD, $\triangle$CDE, $\triangle$DEA, $\triangle$EAB.
• 5 больших треугольников, образующих "лучи" звезды, стороны которых являются диагоналями внешнего пятиугольника:
  $\triangle$ACE, $\triangle$BDA, $\triangle$CEB, $\triangle$DAC, $\triangle$EBD.

Группа 2: Треугольники, у которых две вершины внешние и одна внутренняя (15 треугольников).

Для каждой из пяти сторон внешнего пятиугольника существует по три таких треугольника:

• На стороне AB: $\triangle$ABO, $\triangle$ABF, $\triangle$ABK.
• На стороне BC: $\triangle$BCO, $\triangle$BCF, $\triangle$BCG.
• На стороне CD: $\triangle$CDF, $\triangle$CDG, $\triangle$CDH.
• На стороне DE: $\triangle$DEG, $\triangle$DEH, $\triangle$DEK.
• На стороне EA: $\triangle$EAH, $\triangle$EAK, $\triangle$EAO.

Группа 3: Треугольники, у которых одна вершина внешняя и две внутренние (5 треугольников).

Это 5 самых маленьких треугольников, расположенных на остриях внутренней звезды:

• $\triangle$AOK, $\triangle$BFO, $\triangle$CGF, $\triangle$DHG, $\triangle$EKH.

Группа 4: Треугольники, у которых все три вершины внутренние (5 треугольников).

Эти треугольники образуют лучи звезды, вписанной во внутренний пятиугольник KOFGH. Их стороны являются диагоналями этого внутреннего пятиугольника:

• $\triangle$KFG, $\triangle$OGH, $\triangle$FHK, $\triangle$GKO, $\triangle$HOF.

Суммируя количество треугольников во всех группах, получаем общее число:

$10 + 15 + 5 + 5 = 35$

Ответ: Всего на рисунке 35 треугольников, которые можно разделить на 4 группы по типу их вершин: 10 треугольников с 3 внешними вершинами, 15 треугольников с 2 внешними и 1 внутренней вершиной, 5 треугольников с 1 внешней и 2 внутренними вершинами и 5 треугольников с 3 внутренними вершинами.