Номер 5.46, страница 108 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 5.3. Ломаные и многоугольники. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 5.46, страница 108.

5.46 1) Убедитесь в том, что верны следующие равенства:

$11^2 = 121,$

$101^2 = 10 \ 201,$

$1001^2 = 1 \ 002 \ 001.$

2) Подметьте закономерность и предположите, квадратом какого числа является число 100 020 001; проверьте правильность вашего предположения.

3) Запишите, не выполняя вычислений, значение степени $100 \ 001^2$, проверьте свой ответ вычислением.

1) Убедимся в верности равенств, выполнив вычисления. Для удобства можно использовать формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

• $11^2 = 11 \times 11 = 121$. Равенство верно.

• $101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$. Равенство верно.

• $1001^2 = (1000 + 1)^2 = 1000^2 + 2 \cdot 1000 \cdot 1 + 1^2 = 1000000 + 2000 + 1 = 1002001$. Равенство верно.

Ответ: все равенства верны.

2) Из первого пункта можно заметить закономерность: квадрат числа, состоящего из двух единиц, между которыми стоит $n$ нулей, равен числу, состоящему из единицы, $n$ нулей, двойки, снова $n$ нулей и единицы.

В числе $100 020 001$ до и после двойки стоит по три нуля. Это соответствует случаю, когда $n=3$.

Следовательно, можно предположить, что это число является квадратом числа $10001$.

Проверим это предположение вычислением:

$10001^2 = (10000 + 1)^2 = 10000^2 + 2 \cdot 10000 \cdot 1 + 1^2 = 100000000 + 20000 + 1 = 100020001$.

Предположение оказалось верным.

Ответ: $10001$.

3) Используя замеченную закономерность, запишем значение степени $100 001^2$. В числе $100 001$ между единицами четыре нуля ($n=4$).

Это значит, что результат должен начинаться с единицы, за которой следуют четыре нуля, затем двойка, затем снова четыре нуля и в конце единица. Таким образом, получаем число $1 000 020 001$.

Проверим свой ответ вычислением:

$100001^2 = (100000 + 1)^2 = 100000^2 + 2 \cdot 100000 \cdot 1 + 1^2 = 10000000000 + 200000 + 1 = 10000200001$.

Наш ответ, полученный на основе закономерности, совпадает с результатом вычислений.

Ответ: $1 000 020 001$.