Номер 5.42, страница 107 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 5.3. Ломаные и многоугольники. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 5.42, страница 107.

5.42 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Число диагоналей многоугольника (рис. 5.30) можно подсчитать так:

• найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, — их на 3 меньше, чем вершин;

• умножить это число на число вершин;

• разделить результат на 2 (объясните почему).

Сколько диагоналей у семиугольника, десятиугольника, стоугольника? Рис. 5.30

Для решения задачи воспользуемся предложенным алгоритмом и выведем общую формулу для подсчета числа диагоналей в многоугольнике с $n$ вершинами.

1. Найти число диагоналей, выходящих из одной вершины. Из любой вершины многоугольника можно провести линии ко всем остальным $n-1$ вершинам. Однако диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Поэтому мы должны исключить саму вершину и две соседние с ней. Итого, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

2. Умножить это число на число вершин. Так как в многоугольнике $n$ вершин, то, умножив количество диагоналей из одной вершины на общее число вершин, мы получаем $n \times (n-3)$.

3. Разделить результат на 2 (объяснение). Предыдущий шаг учитывает каждую диагональ дважды. Например, диагональ, соединяющую вершину А и вершину В, мы посчитали один раз как исходящую из вершины А, и второй раз — как исходящую из вершины В. Поскольку это одна и та же диагональ (АВ и ВА — один отрезок), для получения правильного числа уникальных диагоналей результат необходимо разделить на 2.

Таким образом, итоговая формула для расчета числа диагоналей ($D$) в $n$-угольнике выглядит так:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Теперь рассчитаем количество диагоналей для многоугольников, указанных в задаче.

Семиугольник

Для семиугольника число вершин $n = 7$.

Применяем формулу:

$D = \frac{7 \times (7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$

Ответ: 14.

Десятиугольник

Для десятиугольника число вершин $n = 10$.

Применяем формулу:

$D = \frac{10 \times (10-3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$

Ответ: 35.

Стоугольник

Для стоугольника число вершин $n = 100$.

Применяем формулу:

$D = \frac{100 \times (100-3)}{2} = \frac{100 \times 97}{2} = 50 \times 97 = 4850$

Ответ: 4850.