Номер 5.35, страница 106 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 5.3. Ломаные и многоугольники. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 5.35, страница 106.

5.35 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Рассмотрите рисунок 5.27 и скажите, верно ли утверждение:

1) В пятиугольнике $\text{ABCDE}$ $\angle A$ прямой.

2) Стороны $\text{DE}$ и $\text{DC}$ равны.

3) Из всех сторон пятиугольника наибольшую длину имеет сторона $\text{BC}$.

4) Периметр пятиугольника больше 5 см.

5) Длина диагонали $\text{BE}$ больше длины стороны $\text{AE}$.

Придумайте два утверждения о данном пятиугольнике: верное и неверное. Попросите одноклассников ответить, верны ли ваши утверждения.

Рис. 5.27

Для решения задачи примем сторону одной клетки на рисунке за 1 условную единицу длины (ед.). Для нахождения длин сторон, которые не идут вдоль линий сетки, будем использовать теорему Пифагора $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ - длина стороны (гипотенуза), а $a$ и $b$ - проекции этой стороны на горизонтальную и вертикальную оси (катеты).

1) В пятиугольнике ABCDE угол A прямой.
Сторона AE является вертикальным отрезком, а сторона AB — горизонтальным. Угол между вертикальным и горизонтальным отрезками всегда составляет 90°, то есть является прямым. Утверждение верно.
Ответ: верно.

2) Стороны DE и DC равны.
Найдем длину стороны DE. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 ед. и 1 ед. Длина DE равна $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ ед.
Найдем длину стороны DC. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 ед. и 3 ед. Длина DC равна $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ед.
Так как $\sqrt{5} \neq \sqrt{10}$, стороны не равны. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

3) Из всех сторон пятиугольника наибольшую длину имеет сторона BC.
Найдем длины всех сторон:
- Длина AE (вертикальный отрезок) = 4 ед.
- Длина AB (горизонтальный отрезок) = 2 ед.
- Длина BC = $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ ед. $(\approx 2.24$ ед.)
- Длина CD = $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ ед. $(\approx 3.16$ ед.)
- Длина DE = $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ ед. $(\approx 2.24$ ед.)
Сравнивая длины сторон (4, 2, $\sqrt{5}$, $\sqrt{10}$, $\sqrt{5}$), видим, что наибольшую длину имеет сторона AE (4 ед.). Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

4) Периметр пятиугольника больше 5 см.
Предположим, что 1 ед. = 1 см. Периметр P равен сумме длин всех сторон:
$P = AE + AB + BC + CD + DE = 4 + 2 + \sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{5} = 6 + 2\sqrt{5} + \sqrt{10}$ см.
Поскольку $2\sqrt{5} > 2\sqrt{4} = 4$ и $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$, то $P > 6 + 4 + 3 = 13$ см.
$13$ см > $5$ см. Утверждение верно.
Ответ: верно.

5) Длина диагонали BE больше длины стороны AE.
Длина стороны AE равна 4 ед.
Найдем длину диагонали BE. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 ед. (разница по горизонтали между B и E) и 4 ед. (разница по вертикали).
Длина BE = $\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ ед.
Сравним длину BE и AE: $\sqrt{20}$ и 4. Так как $4 = \sqrt{16}$, а $\sqrt{20} > \sqrt{16}$, то длина диагонали BE больше длины стороны AE. Утверждение верно.
Ответ: верно.

---

Придумайте два утверждения о данном пятиугольнике: верное и неверное.

Верное утверждение: Стороны BC и DE равны между собой.
Проверка: Длина BC = $\sqrt{5}$ ед. и длина DE = $\sqrt{5}$ ед. Утверждение истинно.

Неверное утверждение: Пятиугольник ABCDE является выпуклым.
Проверка: Угол при вершине C является внутренним углом, который больше 180°. Фигура с таким углом является невыпуклой (вогнутой). Утверждение ложно.