Номер 5.32, страница 106 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Упражнения. 5.3. Ломаные и многоугольники. Глава 5. Углы и многоугольники - номер 5.32, страница 106.

5.32 АНАЛИЗИРУЕМ

1) Измерьте величины углов треугольника $ABC$ (рис. 5.25). Назовите углы в порядке возрастания их градусных мер.

2) Измерьте длины сторон треугольника $ABC$. Назовите стороны в порядке убывания их длин.

3) Назовите угол треугольника, который лежит против стороны $AB$; стороны $BC$; стороны $AC$. Верно ли, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол?

Рис. 5.25

1) Измерьте величины углов треугольника ABC (рис. 5.25). Назовите углы в порядке возрастания их градусных мер.

Для решения этой задачи воспользуемся транспортиром для измерения углов треугольника, изображенного на рисунке. Если измерить углы, получатся следующие приблизительные значения:

• Угол при вершине A, $∠A$, является прямым. Его градусная мера равна $90^\circ$.
• Угол при вершине C, $∠C$, является острым. Его градусная мера примерно составляет $35^\circ$.
• Угол при вершине B, $∠B$, также является острым. Его градусная мера примерно составляет $55^\circ$.

Сумма углов треугольника равна $90^\circ + 35^\circ + 55^\circ = 180^\circ$, что подтверждает корректность измерений.

Теперь расположим углы в порядке возрастания их градусных мер: $35^\circ < 55^\circ < 90^\circ$.
Этому порядку соответствуют углы: $∠C, ∠B, ∠A$.

Ответ: $∠C, ∠B, ∠A$.

2) Измерьте длины сторон треугольника ABC. Назовите стороны в порядке убывания их длин.

Для измерения длин сторон треугольника воспользуемся линейкой. Так как масштаб изображения неизвестен, мы получим относительные длины сторон. Измерения показывают:

• Длина стороны AB (катет) — наименьшая.
• Длина стороны AC (катет) — больше стороны AB.
• Длина стороны BC (гипотенуза) — наибольшая, так как она лежит против прямого угла.

Например, измерения могут дать такие результаты: $AB \approx 2.8$ см, $AC \approx 4.0$ см, $BC \approx 4.9$ см.

Требуется назвать стороны в порядке убывания их длин. Сравнивая полученные значения, получаем следующий порядок: $BC > AC > AB$.

Ответ: BC, AC, AB.

3) Назовите угол треугольника, который лежит против стороны AB; стороны BC; стороны AC. Верно ли, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол?

Угол, лежащий против стороны, — это угол, вершина которого не является концом данного отрезка (стороны).

• Против стороны AB лежит угол при вершине C, то есть $∠C$.
• Против стороны BC лежит угол при вершине A, то есть $∠A$.
• Против стороны AC лежит угол при вершине B, то есть $∠B$.

Теперь сопоставим результаты, полученные в предыдущих пунктах, чтобы ответить на второй вопрос.

Порядок сторон в порядке убывания длин: BC, AC, AB.
Порядок противолежащих им углов: $∠A, ∠B, ∠C$.

Величины этих углов в том же порядке убывания: $90^\circ > 55^\circ > 35^\circ$.

Мы видим, что большей стороне BC соответствует больший угол $∠A$, средней стороне AC соответствует средний по величине угол $∠B$, и меньшей стороне AB соответствует меньший угол $∠C$.
Следовательно, утверждение "против большей стороны в треугольнике лежит больший угол" является верным. Это одна из основных теорем геометрии о соотношении сторон и углов в треугольнике.

Ответ: Против стороны AB лежит угол C, против стороны BC лежит угол A, против стороны AC лежит угол B. Да, верно, что против большей стороны в треугольнике лежит больший угол.