Номер 5.38, страница 107 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 5. Углы и многоугольники. 5.3. Ломаные и многоугольники. Упражнения - номер 5.38, страница 107.

Условие.

5.38 Отметьте в тетради три точки, не принадлежащие одной прямой. Начертите два треугольника так, чтобы у одного из них эти точки являлись вершинами, а у другого — принадлежали его сторонам, но не являлись вершинами. Периметр какого треугольника больше?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Обозначим три заданные точки, не принадлежащие одной прямой, как $A$, $B$ и $C$.

Первый треугольник.
По условию, у первого треугольника точки $A$, $B$ и $C$ являются вершинами. Назовем этот треугольник $\triangle ABC$. Его периметр $P_1$ равен сумме длин его сторон: $P_1 = AB + BC + CA$.

Второй треугольник.
У второго треугольника точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат его сторонам, но не являются вершинами. Построим такой треугольник, обозначив его вершины как $D$, $E$ и $F$. Пусть точка $A$ лежит на стороне $DE$, точка $B$ — на стороне $EF$, а точка $C$ — на стороне $FD$. Таким образом, $\triangle ABC$ оказывается вписанным в $\triangle DEF$. Периметр второго треугольника $P_2$ равен сумме длин его сторон: $P_2 = DE + EF + FD$.

Периметр какого треугольника больше?

Чтобы сравнить периметры $P_1$ и $P_2$, рассмотрим три треугольника, которые образуются в углах большего треугольника $\triangle DEF$: это $\triangle DAC$, $\triangle EAB$ и $\triangle FBC$.

Применим для каждого из этих "угловых" треугольников неравенство треугольника, которое утверждает, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон:

• Для $\triangle DAC$ справедливо неравенство: $AC < DA + DC$.
• Для $\triangle EAB$ справедливо неравенство: $AB < EA + EB$.
• Для $\triangle FBC$ справедливо неравенство: $BC < FB + FC$.

Теперь сложим левые и правые части этих трех неравенств:
$AC + AB + BC < (DA + DC) + (EA + EB) + (FB + FC)$

Сгруппируем слагаемые в правой части полученного неравенства:
$AB + BC + AC < (DA + EA) + (EB + FB) + (DC + FC)$

По построению, точка $A$ лежит на отрезке $DE$, поэтому сумма длин отрезков $DA$ и $EA$ равна длине стороны $DE$. То есть, $DA + EA = DE$. Аналогично для двух других сторон: $EB + FB = EF$ и $DC + FC = DF$.

Подставим эти равенства в наше неравенство:
$AB + BC + CA < DE + EF + FD$

Это означает, что $P_1 < P_2$. Таким образом, периметр второго треугольника, на сторонах которого лежат заданные точки, всегда больше периметра первого треугольника, для которого эти точки являются вершинами.

Ответ: Периметр треугольника, у которого данные точки принадлежат сторонам, больше.