Страница 107 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.36 Чему равен периметр треугольника ABC со сторонами:

а) $AB = 3 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см } 5 \text{ мм}$, $AC = 5 \text{ см } 3 \text{ мм}$;

б) $AB = BC = 4 \text{ см}$, $AC = 7 \text{ см } 3 \text{ мм}$;

в) $AB = BC = AC = 6 \text{ см}$?

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Обозначим периметр буквой $P$. Формула для расчета периметра: $P = AB + BC + AC$.

а) Дано: $AB = 3$ см, $BC = 4$ см $5$ мм, $AC = 5$ см $3$ мм.

Для удобства вычислений переведем все длины в одну единицу измерения — миллиметры (мм). В 1 сантиметре 10 миллиметров.

$AB = 3$ см $= 3 \times 10$ мм $= 30$ мм.

$BC = 4$ см $5$ мм $= 4 \times 10$ мм $+ 5$ мм $= 40 + 5 = 45$ мм.

$AC = 5$ см $3$ мм $= 5 \times 10$ мм $+ 3$ мм $= 50 + 3 = 53$ мм.

Теперь вычислим периметр:

$P = 30$ мм $+ 45$ мм $+ 53$ мм $= 128$ мм.

Переведем результат обратно в сантиметры и миллиметры: $128$ мм $= 12$ см $8$ мм.

Ответ: $12$ см $8$ мм.

б) Дано: $AB = BC = 4$ см, $AC = 7$ см $3$ мм.

Переведем все длины в миллиметры:

$AB = 4$ см $= 40$ мм.

$BC = 4$ см $= 40$ мм.

$AC = 7$ см $3$ мм $= 7 \times 10$ мм $+ 3$ мм $= 70 + 3 = 73$ мм.

Вычислим периметр:

$P = 40$ мм $+ 40$ мм $+ 73$ мм $= 153$ мм.

Переведем результат обратно: $153$ мм $= 15$ см $3$ мм.

Ответ: $15$ см $3$ мм.

в) Дано: $AB = BC = AC = 6$ см.

Так как все стороны треугольника равны (треугольник равносторонний), его периметр можно найти, умножив длину одной стороны на 3.

$P = 3 \times AB = 3 \times 6$ см $= 18$ см.

Или сложив длины всех сторон:

$P = 6$ см $+ 6$ см $+ 6$ см $= 18$ см.

Ответ: $18$ см.

5.37 Периметр четырёхугольника КОРТ равен 17 см, $КО = 5$ см, $ОР = 6$ см, $РТ = КТ$. Найдите длину стороны КТ.

Периметр четырехугольника — это сумма длин всех его сторон. Для четырехугольника КОРТ периметр $P$ вычисляется по формуле:
$P = KO + OP + PT + KT$

Согласно условию задачи, нам дано:
Периметр $P = 17$ см.
Длина стороны $KO = 5$ см.
Длина стороны $OP = 6$ см.
Также известно, что стороны $PT$ и $KT$ равны: $PT = KT$.

Обозначим длину искомой стороны $KT$ через $x$ см. Поскольку $PT = KT$, то длина стороны $PT$ также равна $x$ см.

Теперь подставим все известные значения в формулу периметра и составим уравнение:
$17 = 5 + 6 + x + x$

Решим полученное уравнение для нахождения $x$:
$17 = 11 + 2x$
Вычтем 11 из обеих частей уравнения, чтобы найти значение $2x$:
$2x = 17 - 11$
$2x = 6$
Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{6}{2}$
$x = 3$

Таким образом, мы нашли, что длина стороны $KT$ составляет 3 см.

Ответ: 3 см.

5.38 Отметьте в тетради три точки, не принадлежащие одной прямой. Начертите два треугольника так, чтобы у одного из них эти точки являлись вершинами, а у другого — принадлежали его сторонам, но не являлись вершинами. Периметр какого треугольника больше?

Обозначим три заданные точки, не принадлежащие одной прямой, как $A$, $B$ и $C$.

Первый треугольник.
По условию, у первого треугольника точки $A$, $B$ и $C$ являются вершинами. Назовем этот треугольник $\triangle ABC$. Его периметр $P_1$ равен сумме длин его сторон: $P_1 = AB + BC + CA$.

Второй треугольник.
У второго треугольника точки $A$, $B$ и $C$ принадлежат его сторонам, но не являются вершинами. Построим такой треугольник, обозначив его вершины как $D$, $E$ и $F$. Пусть точка $A$ лежит на стороне $DE$, точка $B$ — на стороне $EF$, а точка $C$ — на стороне $FD$. Таким образом, $\triangle ABC$ оказывается вписанным в $\triangle DEF$. Периметр второго треугольника $P_2$ равен сумме длин его сторон: $P_2 = DE + EF + FD$.

Периметр какого треугольника больше?

Чтобы сравнить периметры $P_1$ и $P_2$, рассмотрим три треугольника, которые образуются в углах большего треугольника $\triangle DEF$: это $\triangle DAC$, $\triangle EAB$ и $\triangle FBC$.

Применим для каждого из этих "угловых" треугольников неравенство треугольника, которое утверждает, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон:

• Для $\triangle DAC$ справедливо неравенство: $AC < DA + DC$.
• Для $\triangle EAB$ справедливо неравенство: $AB < EA + EB$.
• Для $\triangle FBC$ справедливо неравенство: $BC < FB + FC$.

Теперь сложим левые и правые части этих трех неравенств:
$AC + AB + BC < (DA + DC) + (EA + EB) + (FB + FC)$

Сгруппируем слагаемые в правой части полученного неравенства:
$AB + BC + AC < (DA + EA) + (EB + FB) + (DC + FC)$

По построению, точка $A$ лежит на отрезке $DE$, поэтому сумма длин отрезков $DA$ и $EA$ равна длине стороны $DE$. То есть, $DA + EA = DE$. Аналогично для двух других сторон: $EB + FB = EF$ и $DC + FC = DF$.

Подставим эти равенства в наше неравенство:
$AB + BC + CA < DE + EF + FD$

Это означает, что $P_1 < P_2$. Таким образом, периметр второго треугольника, на сторонах которого лежат заданные точки, всегда больше периметра первого треугольника, для которого эти точки являются вершинами.

Ответ: Периметр треугольника, у которого данные точки принадлежат сторонам, больше.

5.39 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ Начертите четырёхугольник, у которого являются тупыми:

а) два соседних угла;

б) два противоположных угла.

a) два соседних угла;

Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Тупым называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

Чтобы начертить четырёхугольник, у которого два соседних угла являются тупыми, нужно, чтобы сумма этих двух углов была больше $180^\circ$. Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ соседние углы $\angle B$ и $\angle C$ — тупые. Например, возьмём $\angle B = 110^\circ$ и $\angle C = 120^\circ$.

Их сумма составляет $\angle B + \angle C = 110^\circ + 120^\circ = 230^\circ$.

Тогда сумма двух оставшихся углов $\angle A$ и $\angle D$ будет равна:

$\angle A + \angle D = 360^\circ - (\angle B + \angle C) = 360^\circ - 230^\circ = 130^\circ$.

Поскольку сумма углов $\angle A$ и $\angle D$ меньше $180^\circ$, они оба могут быть (и в данном случае будут) острыми.

Примером такого четырёхугольника может служить трапеция, у которой углы при меньшем основании — тупые. Если $BC$ — меньшее основание трапеции $ABCD$, а $AD$ — большее, то углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ будут тупыми, а углы $\angle BAD$ и $\angle CDA$ — острыми. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCD$ являются соседними.

Ответ: Примером является трапеция, у которой углы при меньшем основании тупые.

б) два противоположных угла.

Чтобы начертить четырёхугольник с двумя тупыми противоположными углами, воспользуемся теми же принципами. Пусть в четырёхугольнике $ABCD$ противоположные углы $\angle B$ и $\angle D$ — тупые. Например, возьмём $\angle B = 110^\circ$ и $\angle D = 130^\circ$.

Их сумма составляет $\angle B + \angle D = 110^\circ + 130^\circ = 240^\circ$.

Тогда сумма двух других противоположных углов $\angle A$ и $\angle C$ будет равна:

$\angle A + \angle C = 360^\circ - (\angle B + \angle D) = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ$.

Так как сумма углов $\angle A$ и $\angle C$ меньше $180^\circ$, они оба будут острыми.

Хорошим примером такого четырёхугольника является ромб, который не является квадратом. У ромба противоположные углы равны, а сумма соседних углов составляет $180^\circ$. Если один угол ромба тупой, например $120^\circ$, то и противоположный ему угол будет равен $120^\circ$. Два других противоположных угла будут острыми и равными $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ каждый.

Другим примером может служить дельтоид (фигура, похожая на воздушного змея), у которого одна пара равных противоположных углов. Если сделать эти углы тупыми, то получится искомый четырёхугольник.

Ответ: Примером является ромб, не являющийся квадратом, или дельтоид с одной парой тупых противоположных углов.

5.40 Начертите четырехугольник с двумя прямыми углами. Могут ли два других его угла быть не прямыми?

Четырехугольник с двумя прямыми углами можно начертить в виде прямоугольной трапеции. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны (основания), а одна из боковых сторон перпендикулярна этим основаниям. Углы при этой боковой стороне и будут прямыми.

Да, могут. Согласно свойству о сумме углов четырехугольника, сумма всех его внутренних углов равна $360^\circ$.

Пусть два угла четырехугольника прямые. Тогда их сумма равна:

$90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Следовательно, на два других угла приходится оставшаяся часть от общей суммы:

$360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — это два оставшихся угла. Их сумма должна быть равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

Это равенство выполняется не только в случае, когда $\alpha = \beta = 90^\circ$ (как в прямоугольнике), но и во многих других случаях. Например, если один из углов будет острым (меньше $90^\circ$), то другой обязательно будет тупым (больше $90^\circ$).

Например, пусть $\alpha = 65^\circ$, тогда $\beta = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$. В этом случае оба угла не являются прямыми.

Ответ: Да, два других угла такого четырехугольника могут быть не прямыми. Их сумма всегда будет равна $180^\circ$.

5.41 НАБЛЮДАЕМ

a) Сколько треугольников на рисунке 5.28?

б) Сколько четырёхугольников на рисунке 5.29?

Рис. 5.28

Рис. 5.29

а) Сколько треугольников на рисунке 5.28?

Для подсчёта всех треугольников на рисунке 5.28 будем действовать по порядку, от меньших к большим.
Сначала посчитаем самые маленькие треугольники: их 2 в верхней части фигуры.
Далее, есть треугольники, состоящие из нескольких частей:
- один треугольник вверху, образованный слиянием двух маленьких;
- один треугольник, составляющий левую половину всей фигуры;
- один треугольник, составляющий правую половину всей фигуры.
И, наконец, самый большой треугольник — это вся фигура целиком.
Таким образом, общее количество треугольников: $2$ (маленьких) $+ 3$ (средних) $+ 1$ (большой) $= 6$.

Ответ: 6 треугольников.

б) Сколько четырёхугольников на рисунке 5.29?

Для подсчёта всех четырёхугольников на рисунке 5.29 также будем считать их по размеру, исходя из того, что исходная фигура разделена на 4 малые части.
- Четырёхугольники из одной части: их 4 (это самые маленькие четырёхугольники).
- Четырёхугольники из двух частей: их тоже 4 (два горизонтальных, образованных верхним и нижним рядами, и два вертикальных, образованных левым и правым столбцами).
- Четырёхугольники из трёх частей составить нельзя.
- Четырёхугольник из четырёх частей: 1 (это вся фигура целиком).
Сложим все найденные четырёхугольники: $4 + 4 + 1 = 9$.

Ответ: 9 четырёхугольников.

5.42 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Число диагоналей многоугольника (рис. 5.30) можно подсчитать так:

• найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, — их на 3 меньше, чем вершин;

• умножить это число на число вершин;

• разделить результат на 2 (объясните почему).

Сколько диагоналей у семиугольника, десятиугольника, стоугольника? Рис. 5.30

Для решения задачи воспользуемся предложенным алгоритмом и выведем общую формулу для подсчета числа диагоналей в многоугольнике с $n$ вершинами.

1. Найти число диагоналей, выходящих из одной вершины. Из любой вершины многоугольника можно провести линии ко всем остальным $n-1$ вершинам. Однако диагональ — это отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Поэтому мы должны исключить саму вершину и две соседние с ней. Итого, из каждой вершины можно провести $n-3$ диагонали.

2. Умножить это число на число вершин. Так как в многоугольнике $n$ вершин, то, умножив количество диагоналей из одной вершины на общее число вершин, мы получаем $n \times (n-3)$.

3. Разделить результат на 2 (объяснение). Предыдущий шаг учитывает каждую диагональ дважды. Например, диагональ, соединяющую вершину А и вершину В, мы посчитали один раз как исходящую из вершины А, и второй раз — как исходящую из вершины В. Поскольку это одна и та же диагональ (АВ и ВА — один отрезок), для получения правильного числа уникальных диагоналей результат необходимо разделить на 2.

Таким образом, итоговая формула для расчета числа диагоналей ($D$) в $n$-угольнике выглядит так:

$D = \frac{n(n-3)}{2}$

Теперь рассчитаем количество диагоналей для многоугольников, указанных в задаче.

Семиугольник

Для семиугольника число вершин $n = 7$.

Применяем формулу:

$D = \frac{7 \times (7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$

Ответ: 14.

Десятиугольник

Для десятиугольника число вершин $n = 10$.

Применяем формулу:

$D = \frac{10 \times (10-3)}{2} = \frac{10 \times 7}{2} = \frac{70}{2} = 35$

Ответ: 35.

Стоугольник

Для стоугольника число вершин $n = 100$.

Применяем формулу:

$D = \frac{100 \times (100-3)}{2} = \frac{100 \times 97}{2} = 50 \times 97 = 4850$

Ответ: 4850.