Страница 104 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

5.26 РАССУЖДАЕМ

Угол $ \angle AOB $ равен $ 48^\circ $ (рис. 5.19, а–в). Луч OC – биссектриса угла $ \angle AOB $, луч OM – биссектриса угла $ \angle AOC $. Какой из рисунков соответствует этим условиям?

а) б) в) Рис. 5.19

По условию задачи дано, что $\angle AOB = 48°$.

Луч $OC$ является биссектрисой угла $AOB$. Биссектриса делит угол на две равные части. Следовательно, мы можем вычислить величину углов $AOC$ и $COB$:
$\angle AOC = \angle COB = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{48°}{2} = 24°$.

Далее, луч $OM$ является биссектрисой угла $AOC$. Это означает, что луч $OM$ проходит между лучами $OA$ и $OC$ и делит угол $AOC$ пополам. Вычислим величину углов $AOM$ и $MOC$:
$\angle AOM = \angle MOC = \frac{\angle AOC}{2} = \frac{24°}{2} = 12°$.

Основываясь на этих вычислениях, мы можем определить правильное расположение лучей. Луч $OC$ находится между лучами $OA$ и $OB$. Луч $OM$ находится между лучами $OA$ и $OC$. Таким образом, если двигаться от луча $OB$ к лучу $OA$ (против часовой стрелки), их порядок должен быть следующим: $OB$, $OC$, $OM$, $OA$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных рисунков:

а) На этом рисунке луч $OM$ расположен между лучами $OB$ и $OC$. Это не соответствует условию, согласно которому $OM$ является биссектрисой угла $AOC$.

б) На этом рисунке лучи расположены в правильном порядке: $OB$, $OC$, $OM$, $OA$. Луч $OC$ визуально делит угол $AOB$ пополам, а луч $OM$ делит пополам угол $AOC$. Этот рисунок полностью соответствует условиям задачи.

в) На этом рисунке луч $OM$ расположен за пределами угла $AOB$, что противоречит условию, так как он должен быть биссектрисой угла $AOC$, который является частью угла $AOB$.

Следовательно, единственным верным является рисунок б).

Ответ: б).

5.27 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ И АНАЛИЗИРУЕМ

1) Следуя алгоритму, сделайте модель:

• Начертите на листе бумаги угол, равный $120^\circ$; обозначьте его $AOB$ (буквы проставьте внутри угла).

• Вырежите угол.

• Проведите внутри угла произвольный луч $OC$.

• Перегните угол $AOC$ пополам, получившуюся биссектрису обозначьте $OK$.

• Перегните угол $BOC$ пополам, получившуюся биссектрису обозначьте $OM$.

2) Используя модель, догадайтесь, чему равна величина угла $MOK$.

3) Решите задачу: «Угол $AOB$ равен $90^\circ$ (рис. 5.20). Лучи $OM$ и $OK$ – биссектрисы углов $COB$ и $COA$. Найдите величину угла $MOK$».

Рис. 5.20

1) Следуя алгоритму, создадим и проанализируем модель.
• Начертим угол $AOB$, равный $120°$.
• Проведем внутри него произвольный луч $OC$. Этот луч делит угол $AOB$ на два угла: $AOC$ и $BOC$. Сумма их величин равна величине угла $AOB$, то есть $∠AOC + ∠BOC = 120°$.
• Проведем биссектрису $OK$ угла $AOC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам, поэтому $∠KOC = \frac{1}{2}∠AOC$.
• Проведем биссектрису $OM$ угла $BOC$. Аналогично, $∠MOC = \frac{1}{2}∠BOC$.
В результате мы получили модель, где угол $MOK$ состоит из двух углов: $KOC$ и $MOC$.

2) Используя модель, определим величину угла $MOK$.
Угол $MOK$ является суммой углов $KOC$ и $MOC$:
$∠MOK = ∠KOC + ∠MOC$.
Из первого пункта мы знаем, что $∠KOC = \frac{1}{2}∠AOC$ и $∠MOC = \frac{1}{2}∠BOC$.
Подставим эти выражения в формулу для угла $MOK$:
$∠MOK = \frac{1}{2}∠AOC + \frac{1}{2}∠BOC$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$∠MOK = \frac{1}{2}(∠AOC + ∠BOC)$.
Так как луч $OC$ проходит между сторонами угла $AOB$, то сумма углов $AOC$ и $BOC$ равна углу $AOB$: $∠AOC + ∠BOC = ∠AOB$.
Следовательно, формула для нахождения угла $MOK$ выглядит так: $∠MOK = \frac{1}{2}∠AOB$.
Подставим значение угла $AOB$ из условия эксперимента ($120°$):
$∠MOK = \frac{1}{2} \times 120° = 60°$.
Этот результат не зависит от положения луча $OC$ внутри угла $AOB$.
Ответ: $60°$.

3) Дано:
$∠AOB = 90°$.
$OK$ — биссектриса угла $COA$.
$OM$ — биссектриса угла $COB$.
Найти: $∠MOK$.
Решение:
Как было установлено в предыдущем пункте, величина угла, образованного биссектрисами двух смежных углов, равна половине величины угла, который составляют эти углы.
Угол $MOK$ образован биссектрисами $OM$ и $OK$ смежных углов $COB$ и $COA$, которые вместе составляют угол $AOB$.
Следовательно, для нахождения величины угла $MOK$ можно использовать формулу:
$∠MOK = \frac{1}{2}∠AOB$.
Подставим в формулу данное значение $∠AOB = 90°$:
$∠MOK = \frac{1}{2} \times 90° = 45°$.
Ответ: $45°$.

5.28 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Сколько углов, равных $60^\circ$ и имеющих общую вершину и общие с «соседями» стороны, можно построить? Обратите внимание: углы не могут частично перекрываться.

2) Отметьте точку и проведите из неё лучи так, чтобы все углы между двумя соседними лучами были тупыми.

3) Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести, чтобы все углы, образованные двумя соседними лучами, были острыми?

1) Сколько углов, равных 60° и имеющих общую вершину и общие с «соседями» стороны, можно построить?

Сумма всех углов, расположенных вокруг одной точки (общей вершины), составляет $360°$. Если углы примыкают друг к другу без перекрытия, то для нахождения их максимального количества необходимо разделить полный угол ($360°$) на величину одного угла.

Рассчитаем количество углов:
$360° \div 60° = 6$.

Таким образом, можно построить 6 таких углов, которые полностью заполнят пространство вокруг общей вершины.
Ответ: 6 углов.

2) Отметьте точку и проведите из неё лучи так, чтобы все углы между двумя соседними лучами были тупыми.

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90°$, но меньше $180°$. Сумма всех углов между соседними лучами, проведенными из одной точки, должна составлять $360°$.

Пусть $n$ — это количество лучей, которые образуют $n$ углов. Каждый из этих углов $\alpha_i$ должен быть тупым, то есть $90° < \alpha_i < 180°$.

Сумма всех углов равна $360°$: $\alpha_1 + \alpha_2 + ... + \alpha_n = 360°$.

Поскольку каждый угол больше $90°$, их сумма больше чем $n \times 90°$. Из этого следует неравенство: $n \times 90° < 360°$, что означает $n < 4$.

Также, поскольку каждый угол меньше $180°$, их сумма меньше чем $n \times 180°$. Отсюда следует, что $n \times 180° > 360°$, что означает $n > 2$.

Единственное целое число $n$, удовлетворяющее условию $2 < n < 4$, — это $n=3$.

Следовательно, можно провести 3 луча. Например, если углы между ними равны, то каждый будет $360° \div 3 = 120°$. Угол в $120°$ является тупым, так как $90° < 120° < 180°$.
Ответ: можно, для этого нужно провести 3 луча (например, так, чтобы углы между ними были по $120°$).

3) Какое наименьшее число лучей с началом в одной точке надо провести, чтобы все углы, образованные двумя соседними лучами, были острыми?

Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0°$ и меньше $90°$. Сумма всех углов вокруг одной точки равна $360°$.

Пусть $n$ — искомое наименьшее число лучей. Эти лучи образуют $n$ углов, и каждый из них по условию должен быть острым, то есть меньше $90°$.

Сумма всех этих углов равна $360°$. Если каждый из $n$ углов меньше $90°$, то их сумма будет меньше, чем $n \times 90°$.

Таким образом, мы получаем неравенство: $360° < n \times 90°$.

Чтобы найти $n$, разделим обе части неравенства на $90°$:
$n > 360° \div 90°$
$n > 4$.

Поскольку число лучей $n$ должно быть целым, наименьшее целое число, которое больше 4, это 5.

Проверим, возможно ли это для $n=5$. Если провести 5 лучей так, чтобы все углы между ними были равны, то величина каждого угла будет $360° \div 5 = 72°$. Угол $72°$ является острым ($0° < 72° < 90°$), значит, условие выполняется.
Ответ: 5 лучей.

5.29 a) В школе 92 пятиклассника, причём девочек на 16 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков и сколько девочек в пятых классах?

б) В соревнованиях приняли участие 117 спортсменов, причём юношей на 39 больше, чем девушек. Сколько юношей и сколько девушек приняло участие в соревнованиях?

а)

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество девочек.
По условию, мальчиков на 16 больше, чем девочек, следовательно, количество мальчиков можно выразить как $(x + 16)$.
Всего в пятых классах учится 92 школьника. Мы можем составить уравнение, сложив количество девочек и мальчиков:
$x + (x + 16) = 92$
Теперь решим это уравнение:
$2x + 16 = 92$
$2x = 92 - 16$
$2x = 76$
$x = 76 / 2$
$x = 38$
Итак, мы нашли, что в школе 38 девочек-пятиклассниц.
Теперь найдем количество мальчиков:
$38 + 16 = 54$
Проверка: общее количество учеников $38 + 54 = 92$, что соответствует условию задачи.
Ответ: в пятых классах 54 мальчика и 38 девочек.

б)

Обозначим количество девушек, принявших участие в соревнованиях, через $y$.
Из условия известно, что юношей было на 39 больше. Значит, количество юношей равно $(y + 39)$.
Всего в соревнованиях участвовало 117 спортсменов. Составим уравнение, сложив количество девушек и юношей:
$y + (y + 39) = 117$
Решим полученное уравнение:
$2y + 39 = 117$
$2y = 117 - 39$
$2y = 78$
$y = 78 / 2$
$y = 39$
Следовательно, в соревнованиях приняли участие 39 девушек.
Теперь вычислим количество юношей:
$39 + 39 = 78$
Проверка: общее число спортсменов $39 + 78 = 117$, что соответствует условию.
Ответ: в соревнованиях приняли участие 78 юношей и 39 девушек.

5.30 Найдите значение выражения $(7470 : 18 - 319) + (2060 - 24 \cdot 45) : 28.$

Для нахождения значения выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических действий. Сначала выполняются действия в скобках (сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание), после этого — действия за скобками (также сначала умножение и деление, а затем сложение и вычитание).

1) Выполним деление в первой скобке:

$7470 : 18 = 415$

2) Выполним вычитание в первой скобке:

$415 - 319 = 96$

3) Выполним умножение во второй скобке:

$24 \cdot 45 = 1080$

4) Выполним вычитание во второй скобке:

$2060 - 1080 = 980$

5) Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

$96 + 980 : 28$

Выполним деление:

$980 : 28 = 35$

6) Выполним последнее действие — сложение:

$96 + 35 = 131$

Ответ: 131

5.31 Запишите число, представленное в виде суммы разрядных слагаемых:

а) $4 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 1$;

б) $9 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 9$;

в) $5 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 + 4$;

г) $3 \cdot 10^4 + 9 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 3$.

а) Сумма разрядных слагаемых $4 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10 + 1$ представляет собой число, в котором цифра 4 стоит в разряде сотен (так как умножается на $10^2 = 100$), цифра 8 — в разряде десятков (умножается на $10^1 = 10$), а цифра 1 — в разряде единиц.
Выполним вычисления: $4 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 1 = 400 + 80 + 1 = 481$.
Ответ: 481

б) Сумма разрядных слагаемых $9 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10 + 9$ представляет собой число, в котором цифра 9 стоит в разряде сотен (умножается на $10^2 = 100$), цифра 0 — в разряде десятков (умножается на $10^1 = 10$), а цифра 9 — в разряде единиц.
Выполним вычисления: $9 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 9 = 900 + 0 + 9 = 909$.
Ответ: 909

в) Сумма разрядных слагаемых $5 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 + 4$ представляет собой число, в котором цифра 5 стоит в разряде тысяч (умножается на $10^3 = 1000$), цифра 2 — в разряде сотен (умножается на $10^2 = 100$), цифра 4 — в разряде десятков (умножается на $10^1 = 10$), а цифра 4 — в разряде единиц.
Выполним вычисления: $5 \cdot 1000 + 2 \cdot 100 + 4 \cdot 10 + 4 = 5000 + 200 + 40 + 4 = 5244$.
Ответ: 5244

г) Сумма разрядных слагаемых $3 \cdot 10^4 + 9 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10 + 3$ представляет собой число, в котором цифра 3 стоит в разряде десятков тысяч (умножается на $10^4 = 10000$), цифра 9 — в разряде тысяч (умножается на $10^3 = 1000$), цифра 0 — в разряде сотен (умножается на $10^2 = 100$), цифра 1 — в разряде десятков (умножается на $10^1 = 10$), а цифра 3 — в разряде единиц.
Выполним вычисления: $3 \cdot 10000 + 9 \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 3 = 30000 + 9000 + 0 + 10 + 3 = 39013$.
Ответ: 39013